Arxiu d'etiquetes: estadística_atzar

Recursos finals

general, , ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Un cop tenim clar quants aliments segurs hem aconseguit per la nostra posició al track d’agricultura i de veure quina esperança matemàtica correspon a cada jugador és hora de fer el balanç final després de les quatre rondes inicials i descobrir, ara sí, si la situació dels jugadors és justa i equilibrada.

 Jugadors  Aliments segurs  Aliments esperança matemàtica  Total
         J1          4          3          7
         J2          3          4          7
         J3          2          3,5          5,5
         J4          1          3          4

Com podeu veure a la columna 4 les xifres finals deixen clara una situació de desequilibri absolut i per tant el següent pas seria intentar compensar-ho tot modificant el repartiment d’aliments que es fa en començar el joc.

Acabades les 4 rondes

general, , ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Com vau poder veure a la taula de l’article anterior, un cop fetes quatre rondes, tots els jugadors han tingut la possibilitat de situar un dels seus meeples tant al camp com al fabricant d’eines, tot i que el moment en que ho fan fet determina uns resultats força diferents, resultats que queden explicitats a la darrera columna.
Ara imaginem que quan no hi ha hagut aquesta possibilitat hem enviat el meeple a la praderia. Això representa que cadascú ha anat dues vegades a aquesta posició i que per tant poden haver assolit els mateixos resultats. Dues rondes dedicades a la cacera, dos llançaments de daus, dues esperances matemàtiques iguals… Per tant 1,5 + 1,5 = 3 àpats?
Doncs no, hem oblidat les destrals, que ens permeten incrementar en 1 el valor del dau i mentre que alguns poden afegir aquest punt la primera vegada que hi van, d’altres no poden fer-ho, fet que té conseqüències en l’esperança matemàtica. Ho aclarim amb una altra taula.
Les dues columnes dedicades a l’esperança matemàtica corresponen a la primera i segona vegada que accedeixen a la praderia.

 Jugadors  Consecució destral  Torns amb destral  Esp. matemàtica 1  Esp. matemàtica 2
         J1          ronda 4          1          ronda 2 = 1,5          ronda 3 = 1,5
         J2          ronda 1          4          ronda 3 = 2          ronda 4 = 2
         J3          ronda 2          3          ronda 1 = 1,5          ronda 4 = 2
         J4          ronda 3          2          ronda 1 = 1,5          ronda 2 = 1,5

Esperança matemàtica a la praderia

general, ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Al darrer paràgraf de l’article anterior comentàvem com es podia aconseguir menjar posant un meeple a la praderia, fet que ens permetia llençar un dau. El fet que els àpats aconseguits s’obtinguessin al dividir el resultat del dau entre 2 ens donava uns resultats que podien anar de 0 a 3 i que ja vam exposar.
Avui per acabar de veure que ens pot reportar aquesta acció calcularem l’esperança matemàtica, que en aquest cas seria la mitjana dels menjars que podem aconseguir llençant el dau un nombre considerable de vegades.

1,5 menjars sembla força interessant i per tant ser el tercer o quart jugador i en conseqüència no poder destinar un meeple al track d’agricultura, sinó enviar-lo de cacera, no sembla que hagi de posar-nos en inferioritat de condicions, però és això cert?

Condicions inicials d’un joc

general,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Molts jocs de taula fan que les condicions inicials de la partida siguin diferents pel primer jugador, el segon, el tercer… El motiu és intentar anul·lar els avantatges que proporciona ser el primer a triar en comptes de fer-ho quan ja ens han passat 3 o 4 al davant. D’altres no fan aquesta diferenciació perquè consideren que al llarg del joc aquest desequilibri inicial queda plenament compensat.
Avui parlarem d’un joc on tots els jugadors comencen en les mateixes condicions i veurem com les mates ens poden ajudar a corregir si s’escau aquesta situació. El joc és Stone Age. Un joc del que ja hem parlat en articles anteriors.
Us recomanem sentir el podcast enllaçat a l’article esmentat per tal d’entendre una mica el desenvolupament de la partida, ja que si no, no es pot entendre el que expliquem a partir d’aquest moment.
Quan comencem el joc tots els jugadors reben 12 racions de menjar, en gastarem cinc al final de la primera ronda per alimentar els 5 membres inicials de la nostra tribu, cinc més quan s’acabi la segona i així continuarem fins que incrementem el nombre de membres de la tripu amb el lògic increment de racions alimentàries.
Ara bé durant aquesta primera ronda el jugador inicial podrà posar el seu meeple a la granja i per tant avançar a la posició 1 del track d’agricultura i incrementar el 1 el nombre de racions produïdes abans del repartiment de menjar, és a dir que passaria a tenir-ne 6.
El jugador número 2 probablement anirà a agafar una destral que li permetrà incrementar en 1 la suma aconseguida en llençar els daus.
La resta de jugadors si volen augmentar la quantitat de menjar hauran d’anar a la praderia i llençar un dau, sabent que si treuen un 1 no aconseguiran res de res, amb un 2 o un 3 tindran una ració, amb un 4 o 5 dues racions i si són prou afortunats com per aconseguir un sis, llavors tindrien tres racions extres.
Què us sembla aquesta situació? Justa o injusta?

Can’t Stop VI

general, , ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Avui començarem passant les dades des resultats obtinguts a l’activitat anterior a un quadre com el que pots veure aquí sota. Ja tenies els numeradors de les fraccions que indiquen la probabilitat, ara et tocarà calcular els percentatges

 Suma dels dos daus  Probabilitat en fracció  Probabilitat en percentatge
         2          1/36          2,78%
         3          2/36          5,56%
         4          3/36          8,33%
         5          ?/36          ? %
         6          ?/36          ? %
         7          ?/36          ? %
         8          ?/36          ? %
         9          ?/36          ? %
         10          ?/36          ? %
         11          ?/36          ? %
         12          ?/36          ? %
  1. El camí del 12 té tres caselles. Si la probabilitat d’obtenir un suma igual a 12 és 1/36, és a dir que previsiblement aconseguiràs aquesta suma una vegada de cada 36 vegades que llencis. Quantes vegades hauries de llençar el dau per tal de completar-lo?
  2. Segons les dades obtingudes són iguals de fàcils els camins dels extrems (2 i 12) que el central (7)?
  3. Per tant quin camí intentaries fer primer?

El problema és que els altres jugadors pensaran el mateix i quan un jugador arriba al final tots els altres són expulsats del camí. A caram! amb això no hi comptavem oi? És una de les gràcies del joc i que t’ajuden a pensar que al capdavall els camins dels extrems no són tant dolents.
I encara no hem comentat un fet que és el més important, es juga amb quatre daus. Que per què no hem fet tots els càlculs amb 4 daus, perquè estem a primària i no volem que ens exploti el cap, amb dos has aconseguit reflexionar i descobrir relacions i pautes, que és el que ens interessava. D’aquí uns anys ja aprendràs unes paraulotes com ara combinacions, variacions i permutacions que t’ajudaran a treballar casos més complicats, però per ara ja hem fet prou i massa. Ara toca jugar-hi, aplicant el que hem aprés, i passar-s’ho bé.

Can’t Stop V

general, , ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Tal com vas deduir a la darrera activitat, si les probabilitats reflectissin fidelment i sempre el que passarà, n’hi hauria prou amb 78 tirades per completar el camí del número 7. Ara toca comprovar si el joc és equilibrat, és a dir si tots els camins suposen la mateixa dificultat, una dificultat semblant o no tenen res a veure els uns amb els altres.
Per poder-ho fer necessitem tot un seguit de dades que calcularàs avui. És una feina una mica lenta i que potser trobaràs avorrida, però necessària. Consisteix a descobrir totes les combinacions de daus que et permeten avançar per cadascun dels camins. Posem-nos-hi.

  1. Amb la parella de daus busca quantes combinacions hi ha que puguin donar 12 com a suma de dues cares.
  2. Fes el mateix amb 11.
  3. Amb 10.
  4. Amb 8.
  5. Amb 9. (al costat tens alguns casos però no tots).
  6. Amb 7 no cal que ho esbrinis, ja ho vas fer, però anota el resultat, per tal de veure millor si hi ha un patró que puguis identificar.
  7. Ara fes-ho amb 6.
  8. Aturem-nos un moment i, mirant el que t’ha sortit fins ara, intenta deduir que passarà amb la resta de sumes, les que poden donar 5, 4, 3 i 2. Una representació gràfica dels resultats anteriors et pot ajudar.
  9. Tria un dels quatre resultats i intenta comprovar si la teva hipòtesi és correcta.

Can’t Stop IV

general, , , ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Us recordem d’entrada, que aquestes activitats no són per que les faci la canalla sola, les han de fer amb l’ajuda d’un adult que formularà les preguntes de forma oral i l’ajudará a valorar les hipòtesis i conclusions a que arribi.
Possiblement al final de l’activitat anterior s’adonarà que com que hi ha 3 fitxes amb dos resultats possibles cadascuna s’aconsegueixen 2 x 2 x 2 = 8 resultats diferents. Si és així es pot passar a les preguntes i reflexions d’avui, si no, caldria una mica d’ajuda per part dels progenitors. Recordem que hem d’intentar sempre conduir-los cap a la resposta correcta, però evitant donar-los-hi.

Recuperem els daus del joc tot tenint present el que hem descobert amb les fitxes. Recorda que en primer cas has vist que…
2 opcions de la fitxa vermella x 2 opcions de la fitxa lila = 4 combinacions possibles
I en el segon…
2 opcions de la fitxa vermella x 2 opcions de la fitxa lila x 2 opcions de la fitxa negra = 8 combinacions possibles

  1. Si els daus tenen 6 cares i en llences dos, quantes combinacions possibles hi ha?
  2. Revisa Can’t Stop II i digues quantes combinacions donaven 7 al sumar-les.
  3. Aixó vol dir que d’un total de … opcions possibles, n’hi ha … que sumen 7. Escriu aquest fet en forma de fracció.
  4. Ara passa la fracció a percentatge.
  5. Segons el resultat obtingut de cada 100 tirades quantes donaran com a suma 7?
  6. Si de cada 100 tirades esperem aconseguir entre 16 i 17 (16,66 %) vegades una suma de 7. Quantes vegades hauríem de llençar per tal de confiar en aconseguir recórrer el camí del 7 que té 13 caselles?

Aquesta darrera pregunta es de deducció força complicada si no ha treballat prèviament les proporcions, per tant es valorarà positivament qualsevol mitjà (gràfics, dibuixos, fraccions equivalents, compte de la vella… ) que faci servir per a acostat-se a la resposta.

Can’t Stop III

general, ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Seguim les nostres reflexions matemàtiques al voltant del joc que dóna títol a l’article, aprofundint avui en les combinacions.

  1. Fes amb paper o cartolina les dues fitxes de la imatge. Enganxa l’anvers i el revers (tindràs el número 1 a una banda i el 2 a l’altra) i ara, tot posant-les una al costat de l’altra esbrina quantes combinacions diferents pots fer.
  2. Escriu tots els números diferents que t’han sortit
  3. Quants t’han sortit?
    Si ho has fet bé te n’hauran sortit 4 números diferents: 11, 12, 21 i 22.
  4. Fixa’t que has fet servir unes fitxes amb dues cares, és a dir que cada fitxa la podies veure per dues cares diferents, la de l’u i la del dos. I t’han sortit 4 resultats diferents. 2 fitxes, 2 cares, 4 resultats.
  5. Veus alguna relació entre el nombre de cares, el de fitxes, i els resultats possibles?
  6. Expressa aquesta relació en llenguatge matemàtic.
    7. Possiblement sortiran diverses hipòtesis com ara 2 fitxes + 2 cares = 4 resultats, 2 cares d’una fitxa + 2 cares de l’altra fitxa = 4, 2 fitxes x 2 cares = 4 resultats…
    Per comprovar quina hipòtesi és la correcta ara farem el mateix exercici amb tres fitxes. Per tant afegeixo una tercera imatge.

  7. Ara fes el mateix que has fet a l’exercici 1 amb les tres fitxes.
  8. Quants números t’han sortit ara?
  9. Escriu-los
    Si ho has fet bé, te n’hauran sortit 8: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 i 222.
  10. Confirma o reformula la hipòtesi que havies elaborat com a resposta al punt 6 en funció dels nous resultats assolits.

Can’t Stop II

general, , , ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Famílies / Mestres

Tal com vam comentar a l’anterior article, Can’t Stop és un joc que permet una llarga reflexió matemàtica i per tant avui en tornem a parlar per continuar amb la llista d’activitats possibles. Avui ens centrarem en continguts de càlcul, atzar i estadística.

  1. Agafa dos daus, si pot ser de diferent color per fer-ho més fàcil, i ves-los girant per tal d’intentar aconseguir que la suma de les seves cares sigui 7. Anota les opcions que vagis trobant. Pots fer servir una graella com la que he posat aquí. Tingues en compte que el número de fileres de la taula no condiciona la resposta, poden sobrar o faltar, ho descobriràs tu mateix.
    2.  Resultat dau vermell  Resultat dau blanc  Suma
                   7
                   7
                   7
  2. Quantes opcions diferents has trobat
  3. Ara fes el mateix però intentant aconseguir que el resultat de la suma sigui 12.
  4. Quantes opcions diferents has trobat
  5. Quina suma es més fàcil d’aconseguir?
  6. Perquè?
  7. Ara observa la llargada dels camins corresponents al 7 i al 12. Què pots dir si els comparem?
  8. Veus alguna relació entre la llargada dels camins i els resultats que has aconseguit en fer les dues primeres activitats?
  9. El camí del 6 és una mica més curt que el del 7, per què deu ser?
  10. El camí del 11 és una mica més llarg que el del 12, per què deu ser?
  11. El camí del 2 és igual de llarg que el del 12. Se t’acudeix el perquè?

Piko Piko a CS (1)

general, , ,
 Alumnes primària  Alumnes secundària  Adults: Pares / Mestres

De jocs de taula que permetin treballar l’estadística, les fraccions, els percentatges i el càlcul mental a classe n’hi ha un bon gruix. Buscarem però un que no ens demani gaire temps ni esforç, és a dir que es pugui explicar i jugar en poca estona, amb la finalitat de poder assignar un bon percentatge de la classe a la reflexió matemàtica. Triarem el Piko Piko, del matemàtic i creador de jocs Reiner Knizia, perquè s’ajusta perfectament al que volem.
Després de familiaritzar-nos amb els daus i les fitxes de joc, passarem a reflexionar sobre el que hem vist i ho farem començant amb les següents preguntes que farem de forma oral.

  1. Si juguem amb 8 daus {1, 2, 3, 4, 5, cuc} i els llenço tots sobre la taula, Poden sortir 8 cares diferents? Per què?
  2. I set? Perquè?
  3. Si els daus són hexàedres és inevitable que hi hagi valors/cares repetits. Quin és el mínim de daus que compartiran alguna cara repetida? Perquè?
  4. Les normes de joc diuen que per tal que una tirada es pugui considerar bona és imprescindible que surti com a mínim un cuc. Tenint en compte que aquest animaló val 5 punts, quina serà la suma més petita possible? I la més alta?
  5. Veus els valors de les respostes anteriors a alguna de les fitxes que formen part del joc? Perquè creus que no hi son?