Donats els punts A=(1,0) , B=(4,4) i C=(1,4). Calculeu:
a) Les equacions de les bisectrius de cadascun dels angles interiors del triangle format per aquests tres punts.
b) El punt d’intersecció de les tres bisectrius.
c) Com es diu aquest punt tant especial?
d) Quina figura relacionada amb el triangle es pot formar a partir d’aquest punt?
Aquí tens la solució:
En una guerra entre dos exèrcits, l’exèrcit vermell fa servir els vectors (1,1) i (-1,3) com a base del pla, mentre que l’exèrcit negre fa servir la base formada per (1,2) i (6,6). Si el vermell intercepta un missatge de l’exèrcit negre indicant la posició dels seus tancs en el punt A = (1,3), quines seran les components del vector posició corresponents a aquest punt segons la base vermella?
Si els míssils de l’exèrcit vermell tenen un abast exacte de 5 Km. (els punts dels plànols estan situats segons aquesta unitat), quants Km. han d’avançar des de l’origen de coordenades en la direcció del vector posició anterior, per tal de destruir els tancs enemics?
Aquí tens la solució:
Algunes paraules que fem servir en matemàtiques tenen un origen àrab. Així, la paraula àlgebra prové d’un llibre escrit cap a l’any 830 per l’astrònom i matemàtic Mohamed ibn Musa al-Khowârizmi, titulat Al-jabr w’al muqâbala, que vindria a ser més o menys, restauració i simplificació, és a dir, equilibrar una equació i simplificar-la. Va ser una obra molt important de resolució d’equacions per aquells temps i per molts és considerada com la mare de l’àlgebra moderna.
Si l’obra d’aquest autor va donar nom a l’àlgebra, el seu propi nom va donar lloc a altres dos conceptes, com són algorisme i guarisme (del castellà guarismo).
El creixement de dos tipus diferents de bacteris es regeix respectivament per aquestes fórmules:
C1(t) = 5,3 · 1,173t i C2(t) = 3,2 · 1,71t , t expressat en hores i C(t) en milers.
a) Al cap de quant de temps coincidirà el nombre d’individus de cada tipus?
b) A partir d’aquest moment, quin cultiu creixerà més ràpidament?
Aquí tens la solució:
A vegades el que sembla aparentment evident no ho és tant. Vegeu aquesta escena i després la comentem:
[kml_flashembed movie="http://es.youtube.com/v/0Nj1axW-Sb4" width="425" height="350" wmode="transparent" /]
Per si no ho teniu encara clar, anem a intentar explicar-ho amb més detall:
Però si encara no esteu convençuts, plantegeu-vos la següent situació:
En comptes d’haver tres portes, n’hi ha cent. Quan feu la primera elecció, només teniu un 1% de probabilitats d’encertar. Creieu que si el presentador obre 98 portes amb cabres (que ja sabíem que hi eren), la vostra opció té la mateixa probabilitat que l’altra porta que encara està tancada?
A reflexionar!
a) Escriu l’expressió d’una funció amb domini R – {-2,0,3} que tingui una discontinuïtat asimptòtica en x=-2, una d’evitable en x=3, i una de salt en x=5.
b) Calcula els límits d’aquesta funció quan x tendeixi a més infinit i quan tendeixi a menys infinit.
Aquí tens la solució:
Anem a estudiar com es propaguen els rumors a un poble com Santa Perpètua.
Suposem que una noia li confessa un secret a les seves millors amigues, concretament a quatre d’elles.
Cadascuna d’aquestes, amb la discreció que les caracteritza, triga “només” una hora a dir el secret a unes altres quatre persones.
Si suposem que aquest ritme continua igual, i cada nova persona que ho sap, ho explica a quatre íntims en una hora:
a) Quantes persones ho sabran al cap de 3 hores?. I de 5 hores?
b) Si la població major de 3 anys de Santa Perpètua és de uns 21845 habitants, quant de temps trigaran tots a saber el secret aproximadament?
Aquí tens la solució:
Aquest cop us recomano diverses coses classificades segons els vostres interessos.
Si sou especialistes, us pot agradar el curt Évariste Galois que recrea l’última nit de vida del genial matemàtic.
Un film interessant és l’argentina Moebius (si la podeu trobar) fet per una universitat d’allà.
Un tractament més històric, el trobem a la pel·lícula Enigma , situada a la segona guerra mundial.
A Perros de paja, trobem a Dustin Hoffman en el paper d’un matemàtic que es trasllada a viure a un poblet amb la seva dona.
Més moderna és la sèrie policíaca “Numb3rs” (disponible en algun canal de televisió per cable) on les matemàtiques són la via de resolució dels casos.
Per acabar, cal fer referència a L’habitació de Fermat, pel·lícula espanyola molt recomanable.
Fins aviat, i bon cinema!!!
Considera la funció f(x) que consisteix en sumar quatre unitats al producte de la variable independent per -12. Calcula:
a) El seu domini.
b) (f ºf) (x).
c) La seva funció inversa.
d) Comprova que f composada amb la seva inversa dóna la funció identitat, i a l’inrevés, que la seva inversa composada amb f també dóna la identitat.
e) Dibuixa les dues funcions. Què observes?
Aquí tens la solució:
Aquí tens la solució:
Tenim un triangle equilàter d’un metre de costat.
a) Calcula la seva àrea.
Si unim els punts mitjans dels seus costats, obtenim un altre triangle.
b) Calcula la seva àrea.
Si repetim aquesta mateixa operació en aquest triangle i així successivament, anem obtenint diversos triangles.
c) Si considerem la successió formada per les àrees de tots aquests triangles, troba l’expressió del seu terme general.
d) Troba el límit d’aquesta successió.
e) Geomètricament, el límit de la successió formada per aquests triangles encaixats és un punt molt especial del triangle inicial. De quin punt es tracta?
Aquí tens la solució:
Hi ha pel·lícules que han intentat aproximar-se al fet matemàtic amb més o menys èxit. N’hi ha de populars, com ara “Una ment meravellosa” o “L’indomable Will Hunting“, i d’altres més exòtiques com ara “Pi, fe en el caos” , o bé “Cube”. També els dibuixos animats s’han sumat al tema amb “Donald en el país de les matemàtiques”. En tot cas, més enllà dels possibles errors conceptuals, sempre és un exercici interessant veure aquests films amb la ment ben oberta i receptiva.
Si veieu alguna d’aquestes pel·lícules i us agraden, digueu-m’ho i us en recomenaré més.
Si dues rectes que es tallen en un punt (concurrents) són tallades per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats a les rectes concurrents són proporcionals.
Si voleu una versió lúdica del teorema, vegeu el següent video amb música del grup argentí LES LUTHIERS
Aquest objecte matemàtic és una superfície amb una característica molt especial. Abans de continuar però, anem a construir aquesta “banda” o “cinta”.
Prenem un full de paper (din A-3, per exemple) i hi retallem un rectangle com el de la figura:
Girem la cinta 180º:
I tot seguit enganxem amb cola els extrems com indica la figura:
Si ara intentem pintar d’un color, per exemple blau, la cara interna i de vermell l’externa, veurem que els dos colors es solapen. Això vol dir que no hi ha una cara interna i una d’externa com una cinta normal sinó que només hi ha una sola cara!!
Aquesta propietat prové del fet que es tracta d’una superfície que a matemàtiques anomenem no orientable.
Si voleu jugar una mica amb aquesta banda, dibuixeu una línia longitudinal que passi pel mig de la cinta i retalleu al llarg d’aquesta línia.
Què obtenim? Una banda o dues?.
El resultat és una banda de Möbius? Perquè creus que passa això?
Si en comptes de tallar per una línia que passi pel mig de la cinta, ho fas a un terç de distància d’una de les vores, què creus que s’obté?
Comprova-ho i raona per què passa això.
Ara que ja ens hem divertit, també cal comentar que aquestes matemàtiques tenen aplicació al món real i no només són un entreteniment com podria semblar en aquest cas. Aquesta banda té aplicacions com a cinta transportadora de manera que es duplica la seva vida útil ja que els rodets o cilindres per on passa la desgasten per tota la superfície i no només per una cara com passaria amb una cinta tradicional.
Aquesta cinta també és present a l’art. L’artista M.C. Escher, famós pels seus treballs amb rerefons matemàtics, té una obra on apareixen nou formigues caminant al voltant d’una cinta de Möbius.
