Monthly Archives: novembre 2007

La banda de Möbius

Aquest objecte matemàtic és una superfície amb una característica molt especial. Abans de continuar però, anem a construir aquesta “banda” o “cinta”.

Prenem un full de paper (din A-3, per exemple) i hi retallem un rectangle com el de la figura: 

 

Girem la cinta 180º:

I tot seguit enganxem amb cola els extrems com indica la figura:

Si ara intentem pintar d’un color, per exemple blau, la cara interna i de vermell l’externa, veurem que els dos colors es solapen. Això vol dir que no hi ha una cara interna i una d’externa com una cinta normal sinó que només hi ha una sola cara!!

Aquesta propietat prové del fet que es tracta d’una superfície que a matemàtiques anomenem no orientable.

Si voleu jugar una mica amb aquesta banda, dibuixeu una línia longitudinal que passi pel mig de la cinta i retalleu al llarg d’aquesta línia.

Què obtenim? Una banda o dues?.

El resultat és una banda de Möbius? Perquè creus que passa això?

Si en comptes de tallar per una línia que passi pel mig de la cinta, ho fas a un terç de distància d’una de les vores, què creus que s’obté?

Comprova-ho i raona per què passa això.

Ara que ja ens hem divertit, també cal comentar que aquestes matemàtiques tenen aplicació al món real i no només són un entreteniment com podria semblar en aquest cas. Aquesta banda té aplicacions com a cinta transportadora de manera que es duplica la seva vida útil ja que els rodets o cilindres per on passa la desgasten per tota la superfície i no només per una cara com passaria amb una cinta tradicional.

Aquesta cinta també és present a l’art. L’artista M.C. Escher, famós pels seus treballs amb rerefons matemàtics, té una obra on apareixen nou formigues caminant al voltant d’una cinta de Möbius.

El joc : AWALÉ

taulell d'awalé

Aquest és un joc d’estratègia i d’aritmètica d’origen africà.

El camp de joc està dividit en dos territoris de 6 forats cada un. Al principi es reparteixen 48 llavors en els dotze forats (4 per forat).

Els jugadors juguen un després de l’altre. El jugador que juga primer s’escull a l’atzar. El jugador agafa totes les llavors que hi ha en un dels forats del seu camp i les distribueix, una per forat, seguint el sentit invers al de les agulles del rellotge.

Objectiu del joc: Consisteix en prendre més llavors que l’adversari. Guanya el jugador que ha capturat més llavors al final de la partida.

Si la darrera llavor sembrada cau en un forat de l’adversari que, abans de sembrar, contenia 1 o 2 llavors, el jugador captura les 2 o 3 llavors que queden després d’haver sembrat. La casella es deixa buida. Les llavors capturades es treuen del tauler o es recullen en el forat “casa” propi. Per tant, només podrem capturar la casella si, un cop hem sembrat, conté dues o tres llavors.Quan un jugador pren 2 o 3 llavors, si la casella immediatament anterior també conté dues o tres llavors, aquestes també es capturen, i així successivament. Només es poden capturar llavors en el camp de l’adversari.

Si quan sembrem es dóna una volta completa al tauler, aleshores la casella de la qual partim s’haurà de saltar i, per tant, quedarà buida.

Està prohibit anihilar l’adversari: un jugador no pot jugar de manera que deixi sense llavors el territori de l’adversari i impedeixi que pugui jugar. Només es pot deixar a l’adversari sense llavors en cas d’impossibilitat d’efectuar una tirada que li proporcioni llavors.

El joc s’acaba quan un jugador ja no té llavors en el seu territori i no pot jugar. Aleshores, l’adversari captura totes les llavors que resten al taulell. O el joc s’acaba quan es crea un bucle indefinit sense que s’efectuïn captures (es produeix la mateixa situació després d’un cert nombre de voltes), en aquest cas, cada jugador es queda amb les llavors que hi ha al seu camp.

Hi ha taulers de molts tipus: de fusta com a la imatge, d’ivori, etc, però es poden construir taulers senzills amb una mica d’imaginació.

Aquest joc s’ha proposat en format de competició en els darrers cursos com a taller per la diada de Sant Jordi a càrrec del Departament de Matemàtiques de l’IES Rovira-Forns, fent servir com a taulers oueres de cartró, i com a llavors, cigrons.

La frase

La música és el plaer que experimenta la ment humana al comptar sense ser-ne conscient.

                                                                                                                                                    Gottfried Leibnitz