Aquesta fotografia vaig fer-la fa poc més d’un any, a l’estiu de 2008. En ella es veuen tres papallones dansant al ritme d’una música inexistent, només seguint el seus rellotges interns. Tres papallones formant un triangle dinàmic però sempre respectant la distància entre elles.
Un cop més, les matemàtiques i la natura es posen d’acord per oferir-nos un espectacle d’indubtable bellesa.
Donats els punts A=(1,0) , B=(4,4) i C=(1,4). Calculeu:
a) Les equacions de les bisectrius de cadascun dels angles interiors del triangle format per aquests tres punts.
b) El punt d’intersecció de les tres bisectrius.
c) Com es diu aquest punt tant especial?
d) Quina figura relacionada amb el triangle es pot formar a partir d’aquest punt?
Aquí tens la solució:
Tenim un triangle equilàter d’un metre de costat.
a) Calcula la seva àrea.
Si unim els punts mitjans dels seus costats, obtenim un altre triangle.
b) Calcula la seva àrea.
Si repetim aquesta mateixa operació en aquest triangle i així successivament, anem obtenint diversos triangles.
c) Si considerem la successió formada per les àrees de tots aquests triangles, troba l’expressió del seu terme general.
d) Troba el límit d’aquesta successió.
e) Geomètricament, el límit de la successió formada per aquests triangles encaixats és un punt molt especial del triangle inicial. De quin punt es tracta?
Aquí tens la solució: