Tag Archives: Fractal

James Bond i les matemàtiques

Ara que s’estrena l’última pel·lícula de James Bond, trobo que és un bon moment per recordar un film de la saga, “Casino Royale” que van emetre l’altre dia per TV3.

Al llargmetratge, es fa alguna referència al càlcul de probabilitats expressats en forma de percentatges d’obtenir certes combinacions en el joc del póquer. Però més enllà d’això, vull fer esment a l’inici del film, on apareixen alguns fractals tot fent una picada d’ullet al famós conjunt de Mandelbrot.

Aquí us deixo el vídeo per veure si sou capaços de trobar el moment exacte del què us parlo.

Espero els vostres comentaris!

De falgueres i fractals

He passat uns dies a Sant Hilari Sacalm, el poble de les cent deus, com dieun per allà.

Efectivament, l’entorn natural és ple de fonts i l’ambient és humit. Per això, no´m’ha resultat gens estrany topar-me amb un nodrida representació de falgueres per tot arreu.

021

Aleshores, m’ha vingut al cap la modelització d’aquestes plantes a partir dels fractals.

 

 

 

 

 

 

Un objecte fractal A fractal fern destaca per la seva característica principal que és tenir una dimensió fraccionària (d’aquí el seu nom), és a dir, que les corbes fractals tenen dimensió entre 1 i 2 (en comptes d’1), les figures planes també entre 1 i 2 (en comptes de 2), i els volums fractals la tenen entre 2 i 3 ( en comptes de 3), podent posar com exemples les costes marítimes observades a qualsevol escala, les branques dels arbres, l’aparell circulatori humà, l’estructura de les falgures i un llarguíssim etcètera.

Es poden aconseguir models matemàtics a partir d’iteracions de formules simples amb números complexos.

En el cas que ens ocupa, les falgures , presenten un altre tret característic dels objectes fractals: la autosemblança. Si observem la falguera a diferents escales, veurem com cada part té una semblança gairebé idèntica amb el tot (de fet aquesta semblança és estadística, és a dir, la gran majoria de zooms que fem tindran aquesta característica, mentre que alguns pocs no).

Si visiteu l’enllaç de més amunt, veureu amb més detall la naturalesa d’aquests ens que ens envolten  i que són aparentment, difícils d’entendre.

M’acomiado deixant-vos aquestes dues fotografies, una d’una falguera real de Sant Hilari i l’altra d’una falguera virtual generada per ordinador.

Què en penseu?

Tot cercant l’infinit (2)

L’altre dia vaig tornar a veure (la vaig veure de jovenet ja fa uns anys) la pel·lícula “L’increïble home minvant”, un film de l’any 1957.  Jo ho vaig fer per un canal de televisió d’aquests que et trobes a vegades fent “zapping” però també es pot veure per internet.
A banda de recomanar-la per moltes raons -pels seus efectes especials que són força bons per l’època segons el meu punt de vista, per la seva temàtica i sobretot per un fantàstic monòleg final- vaig pensar que seria una bona manera de tornar a enfocar el concepte d’infinit però en aquest cas centrant-me en la idea d’infinitesimal, que és el substrat de la teoria de límits dins l’anàlisi matemàtica clàssica.
Gràcies a la característica de continuïtat (sense forats) de la recta real els nombres es poden fer tant petits com es vulgui, sense necessitat de desaparèixer; o bé es poden sumar infinits nombres i que el resultat sigui un altre nombre concret i finit. Aquests principis també es poden aplicar a nombrosos problemes físics (de fet problemes físics i mecànics van impulsar bona part de l’anàlisi matemàtica dels segles XVII i XVIII, i encara ara ho fan).
A partir d’aquí ja entraria en detalls massa tècnics i per tant aquí m’aturo.
Abans però, veieu aquest vídeo realitzat per TV3 on es veu la comparativa entre allò “infinitament” gran i allò “infinitament petit”.
Que en gaudiu!

L’Anna Maria, fidel seguidora d’aquest bloc, va deixar un comentari a l’altre article de l’infinit en el què feia referència a un relat circular de Borges, “Un sueño”. En aquest sentit, la realitat matemàtica que més s’apropa a aquesta idea és la de “fractal” objecte matemàtic que té com a una de les seves principals característiques que és autosemblant, és a dir, que té la mateixa estructura a grans trets independentment de la escala amb la que s’observi.

A reveure!

Temps de neu, temps de matemàtiques

Avui Catalunya ha patit una de les pitjors tempestes de neu dels últims anys. És per això que vull aprofitar l’ocasió per presentar-vos una famosa corba fractal anomenada “floc de neu” de KochCorba de Koch, que té un perímetre infinit i que tanca una regió d’àrea finita.

Aquesta corba va ser creada pel matemàtic Helge von Koch al 1904.

Es construeix de manera iterativa (aquí en veiem el resultat de set iteracions).

Per construir-la se segueix un procés a partir de cadascun dels costats d’un triangle rectangle, de la manera següent:

koch

Es divideix el costat en tres parts de la mateixa longitud.

Es construeix un triangle equilàter amb base el segment central del pas anterior.

S’elimina el segment base del triangle del pas anterior.

Es torna primer pas, aplicant ara els passos a cada un dels segments que sorgeixen.

La corba de Koch és el límit de seguir el procediment anterior de forma infinita.

Quin fred que fa!