Category Archives: Cultura i matemàtiques

Tot cercant l’infinit

Infinit

Com ja sabeu -i si no us ho explico ara- m’agraden molt els relats breus (escriure’ls i llegir-los). Doncs bé, arran de la meva estada a la platja amb l’observació de l’horitzó al fons i de la sorra a sota dels meus peus, m’ha vingut al cap un relat de l’autor que més i millor ha sabut combinar literatura i matemàtiques. Us parlo ni més ni menys que de Jorge Luis Borges.

El relat en qüestió és “El libro de arena”, narració que forma part del llibre del mateix nom. En aquest escrit fantàstic, l’autor ens endinsa en el món d’un llibre que té infinites pàgines, no té principi ni fi, i en tot el que això suposa. És molt breu i us el recomano fortament; si aneu a l’enllaç es llegeix en pocs minuts.

Arran d’això, aprofito per fer alguns comentaris al voltant de l’infinit.

Hi ha diferents tipus d’infinits: l’infinit numerable i el no numerable. El primer, el més entenedor, és el numerable. És el que es correspon amb els nombres naturals, on sempre hi ha un terme següent a un de donat i no s’acaben mai. El conjunt del nombres racionals (les fraccions) també són d’aquest tipus d’infinit, encara que entre dos nombres racionals quassevol hi ha infinits nombres també racionals.

Aquest infinit és el que està format per elements discrets, és a dir aïllats els uns dels altres. És el que planteja aquest conte, ja que cada full està numerat amb un nombre en principi arbitrari i entre la tapa i la primera teòrica plana brollen continuament noves pàgines, així com entre la hipotètica última plana i la contraportada.

Un conjunt que té un nombre d’elements infinit numerable es diu que té el primer cardinal infinit amb el nom d’aleph zero.

(aleph és la primera lletra de l’alfabet hebreu i també el títol d’una de les obres cabdals de Borges).

L’infinit no numerable és el que es correspondria amb el conjunt dels nombres reals, que també conté infinits elements, però que no estan aïllats sinó que estan disposats de forma contínua (si miressim una recta amb un microscopi veuríem els nombres racionals representats de forma aïllada i en canvi  els reals omplen tota la recta ).

Sembla que Borges faci esment a aquest tipus d’infinit a l’inici del relat quan parla de rectes i plans.  Aquest infinit té cardinal aleph u.

I és que l’infinit és un concepte d’allò més complex.

Per últim , el fet que mai es repetís el visionat d’una pàgina concreta és degut a que la probabilitat que surti un nombre específic entre infinites possibilitats és zero.

Us en podria dir moltes més coses però no vull cansar-vos més.

Que us vagi bé!

Un tortell matemàtic: el tor

torusAvui us vull presentar un objecte matemàtic molt especial: el tor. El tor es una superfície de revolució generada per un cercle que gira al voltant d’un eix que està en el mateix pla que ell, creant així una estructura semblant a un tortell o un flotador.
Aquesta superfície és orientable. Això vol dir de forma planera que un ésser que visqués dins aquesta superfície sabria en tot moment on es troba, si a la part de dintre o de fora de l’estructura. Per contra, la banda de Möebius és un altre objecte topològic del qual ja vam parlar en un altre article i que és no orientable.

Per tal de treballar millor amb el tor, existeix una representació d’aquesta superfície dins del pla de dos dimensions que és la següent:

Es tracta d’un quadrat amb els costats identificats dos a dos,  és a dir, que enganxaríem un costat blau amb l’altre costat blau form150px-toresvgant un cilindre i després enganxaríem un costat vermell (ara convertit en circumferència vermella) amb l’altre costat vermell (circumferència vermella) reconstruint així el tor, sempre que el material ho permeti, és clar (aquests petits detalls tècnics els deixem pels físics).

D’aquesta manera es poden estudiar millor les seves propietats i és més fàcil de manipular.

En relació amb aquesta representació del tor, aquí va una petita picada d’ullet amb els amants dels videojocs. A l’inici de les màquines de matar marcians en el nostre país, les denominades “arcades” en anglès, existia una denominada Asteroids als finals dels anys setanta, que va ser un mite durant molt de temps. Els joves d’avui en dia segur que troben Asteroids completament desfasada, però jo us asseguro que com a pionera d’aquest tipus de videojocs valia molt la pena.

Tot això ve al cas perquè resulta que la pantalla on es desenvolupava el joc era una representació plana d’un tor.

Ara us deixo amb un vídeo que ho demostra. Fixeu-vos que els objectes que desapareixen pel marge superior tornen a aparèixer pel marge inferior i a la mateixa distància de les cantonades i seguint la mateixa trajectòria i a l’inrevés, i el mateix passa amb els límits esquerra i dret. Figura que els objectes donen la volta al tor, bé per la circumferència petita (dalt-baix) com per la gran (esquerra-dreta).

Ho veieu? L’univers on es desenvolupa l’acció és un univers tòric!

Podríem posar altres exemples com ara les juntes tòriques habitualment fetes de goma que s’usen principalment per assegurar l’estanquitat de fluids -en els desguassos de les piques, per exemple- però no us vull marejar més.

Per acabar, us proposo un petit joc estival: una sopa de lletres tòrica, és a dir,  que el taulell quadrat té els costats identificats com abans i per tant les paraules poden començar a un costat però acabar a la mateixa alçada del costat paral·lel oposat tot seguint la mateixa inclinació tal i com feien els asteroides del videojoc.

Heu de trobar sis paraules:

  • 2 noms de matemàtics cèlebres.
  • 2 operacions aritmètiques.
  • 2 objectes geomètrics.

Podeu deixar les solucions en forma de comentari o bé demanar algun tipus de pista si aneu molt perduts.

Bona sort!

A

I

B

C

D

F

A

Q

E

F

G

S

H

I

E

I

J

U

K

L

M

I

N

R

O

B

P

A

Q

R

S

O

A

T

U

O

V

D

W

X

Y

Z

A

B

C

N

D

R

E

F

G

H

I

J

K

A

L

A

M

N

O

P

R

O

Q

C

F

T

R

S

S

D

B

E

U

C

L

I

D

E

T

I

U

V

S

I

W

E

B

X

F

V

Y

Z

A

T

S

B

C

A

Visca la ciència!

Aquest dissabte he estat amb la meva família a la festa de la ciència 2010 al Parc de la Ciutadella de Barcelona. Ha fet molt bon temps i la festa ha estat un èxit rotund; l’únic punt fosc ha estat la relativa poca participació deguda clarament a la manca de publicitat als mitjans de comunicació audiovisuals.

A banda d’això, les activitats proposades han estat a l’alçada de les expectatives i la gent s’ho ha passat d’allò més bé amb la ciència.

Les xerrades han estat interessants, els tallers amens i les demostracions il·lustratives.

Aquí us deixo aquest àlbum de fotografies de l’esdeveniment i us animo a provar-ho l’any vinent.

La festa de la ciència 2010

Aquest cap de setmana s’organifesta-de-la-ciencia-2010tza al Parc de la Ciutadella de Barcelona la quarta edició de la festa de la ciència, trobada anual des de 2007.

Què hi podem trobar en aquesta festa? Doncs un munt d’activitats per triar i remenar -més de seixanta- totes elles amb el nexe comú de les ciències: física, matemàtiques, biologia, robòtica, química, astronomia, tecnologia, etc.

Hi haurà disset punts repartits al llarg del passeig dels til·lers del Parc, vorejant els museus de zoologia i de geologia. En aquests punts, i al llarg de les dues jornades podrem assistir a microxerrades, participar en tallers, jocs virtuals, espectacles, observació del cosmos…

Pel que respecta a l’àmbit matemàtic pròpiament dit, hi ha nombroses i interessants activitats de divulgació: taller de geometria dinàmica, demostració amb bombolles de sabó (espectacle a càrrec d’Anton Aubanell, professor meu de didàctica de les matemàtiques a la Universitat de Barcelona), taller de capses i empaquetaments, taller “anem de cubs”, l’enigma de Fermat i altres Eurekes, tallers de corbes (cicloides i catenària), xerrada concert còctel mate-musical, reptes matemàtics, etc.

A banda, també semblen molt prometedores activitats d’observació del cel de nit i altres aspectes de la física i de la tecnologia actuals.

Desitjo que aquells que llegeixin aquest article s’animin a anar-hi. És una oportunitat única de conèixer la ciència d’aprop i de manera entenedora i a l’abast de tothom!

A reveure!

Dos i dos fan quatre?

Sempre s’associen les matemàtiques amb l’exactitud i sovint s’utilitza l’expressió ” 2 i 2 fan quatre” per expressar una veritat immutable i indiscutible – això és així com que dos i dos fan quatre -. Però, realment això és sempre així?

La resposta és clarament, no.

Dins el conjunt de nombres on ens movem habitualment – el conjunt de nombres reals – això és realment cert, però si treballem dins una altra estructura algèbrica, aquest fet pot variar.

Concretament, si considerem el conjunt de nombres format només per {0,1,2} amb una operació de suma i de producte que es regeixen per les següents taules:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Si ens fixem en el quadre de la suma, veiem com en aquest cas “2 + 2 = 1”, i no a quatre, senzillament perquè quatre no és un nombre del conjunt (de fet, es pot considerar que 4 s’identifica amb 1 seguint el següent criteri: s’agafa un nombre concret, en aquest cas el 4 i es divideix entre el nombre d’elements del conjunt -en aquest exemple, 3- i es pren com a nombre el residu de la divisió entera [4 : 3 dóna 1 i en sobra 1 (el residu)]).

Aquesta estructura s’anomena el conjunt de classes d’equivalència de residus mòdul 3, i com que aquest nombre és primer, aleshores el conjunt té una estructura especial i s’anomena Cos Finit F3.

Aquesta estructura, més enllà del concepte teòric i abstracte, dóna lloc a tota una teoria que té nombroses aplicacions, principalment en el camp de la criptografia i de la teoria de codis, usant-se bàsicament en comunicacions. Destaquem el famós codi binari emprat en informàtica on només s’utilitzen zeros i uns.

A propòsit d’Escher

Amb aquest article vull deixar palesa l’estreta relació existent entre Maurits Cornelius Escher  (“Pintura i matemàtiques” ) i els dissenys arquitectònics àrabs ( “L’art musulmà hispànic”).

En aquesta ocasió us presento aquest vídeo on es mostra la influència dels mosaics àrabs en l’obra d’aquest artista holandès.

Fins aviat!

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/slm2PVbWtdU" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

L’art musulmà hispànic

De la meva recent visita a la ciutat de Sevilla, a banda del clima, la gastronomia i el paisatge, vull fer esment per damunt de tot, dels seus conjunts monumentals. Especial atenció es mereixen la Catedral, la Giralda i Los Reales Alcázares, considerats patrimoni de la humanitat.Giralda

En aquest últim monument, format per construccions de diferents èpoques, destaquen clarament els espais conservats dels anys de l’Al-Andalus, a on s’aprecia l’art geomètric que va inspirar les seves decoracions tant en les seves parets com en els seus sostres.

Cal recordar que la seva religió els prohibia representar tant figures humanes com animals, i per això van recórrer a representacions geomètriques fent servir els moviments i les transformacions en el pla (translacions, simetries, rotacions i lliscaments) amb una precisió total.

Aquestes decoracions són presents en els seus frisos (sanefes) i en els seus mosaics.

El concepte principal consisteix en la repetició d’un motiu o motius fent servir aquestes transformacions geomètriques per guarnir una franja de paret amb rajoles o bé recobrir-la tota sencera.

De fet es poden considerar autèntiques poesies matemàtiques realitzades segles abans de detall de mosaicla sistematització i classificació d’aquest tipus de moviments en el pla.

Hi ha cinc tipus diferents de moviments per a fer frisos i disset per a fer mosaics. Els àrabs d’aquella època els coneixien tots.

Finalment aquí us deixo un petit reportatge d’aquest fet que es centra en  La Alhambra de Granada el principal exponent d’aquest tipus d’art: . Visita obligada que espero fer en un futur.

Que en gaudiu!

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/oNnK28Eqmj8" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Hipàtia

Ja ha arribat la tardor, i amb ella, les novetats cinematogràfiques.

Estic esperant amb expectació l’ultima pel·lícula d’Alejandro Amenábar “Àgora”, d’estrena imminent. En ella, es narra part de la vida d’Hipàtia d’Alexandria, una de les més brillants científiques del món antic.

De la mateixa manera que molts altres dels grans noms de la cultura clàssica, va cultivar diversos camps del coneixement. Així, va destacar com a filòsofa, matemàtica i astrònoma.

Per tant, aquest film pot ser una molt bona aportació si l’emmarquem dins d’aquest 2009, any mundial de l’astronomia.

Més enllà que el rigor científic es vegi sacrificat com moltes altres vegades en pro d’una més gran comercialitat del producte i més en les grans superproduccions, el segell d’Amenábar acostuma a ser sinònim de qualitat. És per això, i pel fet que sempre és d’agrair la presència més o menys explícita de les matemàtiques en el cinema, que l’aniré a veure tant bon punt l’estrenin.

De moment, aquí us deixo el tall publicitari que corre per la xarxa.

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/odDNTlASNQY" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Vermell o negre

07portada

El meu afany divulgador i la meva passió matemàtica han fet una passa més enllà.

Em vaig decidir a escriure un relat breu que tingués les matemàtiques com a rerefons, i el resultat ha estat una història anomenada “Vermell o negre”, que vaig enviar a una editorial d’Ontinyent (País Valencià) que publica una revista de relats de ficció en format de llibre anomenada “La lluna en un cove”.

Aquesta història sembla que ha agradat, ja que s’han decidit a publicar-la.

En el número 7, corresponent al mes de juliol, apareix el meu escrit juntament amb altres narracions escrites en català.

Si algú es decideix a llegir-lo, desitjo de tot cor que li agradi.

Visca les matemàtiques!

Quadrats màgics

Un quadrat màgic és una disposició de nombres dins d’un quadrat en files i columnes de tal manera que la suma dels nombres de cada columna, la de cada fila i la de les dues diagonals és la mateixa: l’anomenada constant màgica.

El primer quadrat màgic que coneixem és del tercer mil·lenni abans de Crist en la Xina de l’emperador Yu. Diu la llegenda, que es va trobar escrit en la closca d’una tortuga un quadrat d’aquest tipus d’ordre tres (tres files i tres columnes) que anomenaren Lo Shu. Vegem-lo.

6

1

8

7

5

3

2

9

4

Si ens fixem, en aquest cas la constant màgica és 15.

Durant l’Edat Mitjana, els quadrats màgics s’usaven com a amulets per espantar els mals esperits i com a talismans.

Un altre de molt famós és el que es troba en el gravat d’Albrecht Dürer “malenconia”, on n’apareix un d’ordre quatre.

melencolia_i.jpg Amplieu la imatge i busqueu-lo.

Com a curiositat destacar que el quadre va ser pintat el 1514, que coincideix amb les xifres de les dues caselles inferiors centrals.

Molts han estat els estudiosos que s’han ocupat d’aquest tema, entre ells Fermat i Mersenne, que es van intercanviar correspondència al respecte. No obstant, destacaré la figura de Benjamin Franklin, que va crear un quadrat màgic d’ordre 8 ple de característiques especials.

franklin-8×8.jpg

Animeu-vos i intenteu fer-ne algun d’ordre 8, o de qualsevol altre ordre, la qüestió és fer servir el cervell!

Si aneu a visitar la Sagrada Família de Barcelona, busqueu-ne un d’ordre 4, amb algun nombre repetit, la constant màgica del qual és 33, l’edat de Crist!