Continuant amb la meva cacera de fotografies matemàtiques d’aquest estiu, aquí us deixo aquesta successió de paràboles del poble de Batea (Terra Alta).
Desitjo que us agradi.
Si us fixeu bé però, veureu que les dues darreres arcades no són paràboles realment, sinó arcs ogivals gòtics.
Com ja sabeu -i si no us ho explico ara- m’agraden molt els relats breus (escriure’ls i llegir-los). Doncs bé, arran de la meva estada a la platja amb l’observació de l’horitzó al fons i de la sorra a sota dels meus peus, m’ha vingut al cap un relat de l’autor que més i millor ha sabut combinar literatura i matemàtiques. Us parlo ni més ni menys que de Jorge Luis Borges.
El relat en qüestió és “El libro de arena”, narració que forma part del llibre del mateix nom. En aquest escrit fantàstic, l’autor ens endinsa en el món d’un llibre que té infinites pàgines, no té principi ni fi, i en tot el que això suposa. És molt breu i us el recomano fortament; si aneu a l’enllaç es llegeix en pocs minuts.
Arran d’això, aprofito per fer alguns comentaris al voltant de l’infinit.
Hi ha diferents tipus d’infinits: l’infinit numerable i el no numerable. El primer, el més entenedor, és el numerable. És el que es correspon amb els nombres naturals, on sempre hi ha un terme següent a un de donat i no s’acaben mai. El conjunt del nombres racionals (les fraccions) també són d’aquest tipus d’infinit, encara que entre dos nombres racionals quassevol hi ha infinits nombres també racionals.
Aquest infinit és el que està format per elements discrets, és a dir aïllats els uns dels altres. És el que planteja aquest conte, ja que cada full està numerat amb un nombre en principi arbitrari i entre la tapa i la primera teòrica plana brollen continuament noves pàgines, així com entre la hipotètica última plana i la contraportada.
Un conjunt que té un nombre d’elements infinit numerable es diu que té el primer cardinal infinit amb el nom d’aleph zero.
(aleph és la primera lletra de l’alfabet hebreu i també el títol d’una de les obres cabdals de Borges).
L’infinit no numerable és el que es correspondria amb el conjunt dels nombres reals, que també conté infinits elements, però que no estan aïllats sinó que estan disposats de forma contínua (si miressim una recta amb un microscopi veuríem els nombres racionals representats de forma aïllada i en canvi els reals omplen tota la recta ).
Sembla que Borges faci esment a aquest tipus d’infinit a l’inici del relat quan parla de rectes i plans. Aquest infinit té cardinal aleph u.
I és que l’infinit és un concepte d’allò més complex.
Per últim , el fet que mai es repetís el visionat d’una pàgina concreta és degut a que la probabilitat que surti un nombre específic entre infinites possibilitats és zero.
Us en podria dir moltes més coses però no vull cansar-vos més.
Que us vagi bé!
Avui us vull presentar un objecte matemàtic molt especial: el tor. El tor es una superfície de revolució generada per un cercle que gira al voltant d’un eix que està en el mateix pla que ell, creant així una estructura semblant a un tortell o un flotador.
Aquesta superfície és orientable. Això vol dir de forma planera que un ésser que visqués dins aquesta superfície sabria en tot moment on es troba, si a la part de dintre o de fora de l’estructura. Per contra, la banda de Möebius és un altre objecte topològic del qual ja vam parlar en un altre article i que és no orientable.
Per tal de treballar millor amb el tor, existeix una representació d’aquesta superfície dins del pla de dos dimensions que és la següent:
Es tracta d’un quadrat amb els costats identificats dos a dos, és a dir, que enganxaríem un costat blau amb l’altre costat blau form
ant un cilindre i després enganxaríem un costat vermell (ara convertit en circumferència vermella) amb l’altre costat vermell (circumferència vermella) reconstruint així el tor, sempre que el material ho permeti, és clar (aquests petits detalls tècnics els deixem pels físics).
D’aquesta manera es poden estudiar millor les seves propietats i és més fàcil de manipular.
En relació amb aquesta representació del tor, aquí va una petita picada d’ullet amb els amants dels videojocs. A l’inici de les màquines de matar marcians en el nostre país, les denominades “arcades” en anglès, existia una denominada Asteroids als finals dels anys setanta, que va ser un mite durant molt de temps. Els joves d’avui en dia segur que troben Asteroids completament desfasada, però jo us asseguro que com a pionera d’aquest tipus de videojocs valia molt la pena.
Tot això ve al cas perquè resulta que la pantalla on es desenvolupava el joc era una representació plana d’un tor.
Ara us deixo amb un vídeo que ho demostra. Fixeu-vos que els objectes que desapareixen pel marge superior tornen a aparèixer pel marge inferior i a la mateixa distància de les cantonades i seguint la mateixa trajectòria i a l’inrevés, i el mateix passa amb els límits esquerra i dret. Figura que els objectes donen la volta al tor, bé per la circumferència petita (dalt-baix) com per la gran (esquerra-dreta).
Ho veieu? L’univers on es desenvolupa l’acció és un univers tòric!
Podríem posar altres exemples com ara les juntes tòriques habitualment fetes de goma que s’usen principalment per assegurar l’estanquitat de fluids -en els desguassos de les piques, per exemple- però no us vull marejar més.
Per acabar, us proposo un petit joc estival: una sopa de lletres tòrica, és a dir, que el taulell quadrat té els costats identificats com abans i per tant les paraules poden començar a un costat però acabar a la mateixa alçada del costat paral·lel oposat tot seguint la mateixa inclinació tal i com feien els asteroides del videojoc.
Heu de trobar sis paraules:
Podeu deixar les solucions en forma de comentari o bé demanar algun tipus de pista si aneu molt perduts.
Bona sort!
|
A |
I |
B
|
C
|
D
|
F
|
A
|
Q |
E
|
F |
|
G |
S |
H
|
I
|
E
|
I
|
J
|
U |
K
|
L |
|
M |
I |
N
|
R
|
O
|
B
|
P
|
A |
Q
|
R |
|
S |
O |
A
|
T
|
U
|
O
|
V
|
D |
W
|
X |
|
Y |
Z |
A
|
B
|
C
|
N
|
D
|
R |
E
|
F |
|
G |
H |
I
|
J
|
K
|
A
|
L
|
A |
M
|
N |
|
O |
P |
R
|
O
|
Q
|
C
|
F
|
T |
R
|
S |
|
S |
D |
B
|
E
|
U
|
C
|
L
|
I |
D
|
E |
|
T |
I |
U
|
V
|
S
|
I
|
W
|
E |
B
|
X |
|
F |
V |
Y
|
Z
|
A
|
T
|
S
|
B |
C
|
A |
Com ja sabeu, aquest espai a més de servir per treballar amb els meus alumnes de l’institut també vol ser una plataforma per reivindicar la importància de les matemàtiques i desvetllar en el gran públic un sentiment de simpatia i proximitat amb aquesta disciplina tant maltractada tradicionalment des de tots els àmbits.
Doncs bé, avui em poso en peu de guerra per denunciar un anunci de televisió on, un cop més, es presenta el fet matemàtic i numèric com quelcom incomprensible, farragós i confús.
Remarco aquesta publicitat i no una altra perquè és la darrera que he vist i per tant la que demostra que a dia d’avui encara hi ha un gran camí per recórrer per normalitzar les matemàtiques en particular i les ciències en general com a font de cultura, innovació i progrés, progrés que en aquest cas que ens ocupa -el producte que es vol vendre és un cotxe- seria impossible sense matemàtiques.
Tot seguit us deixo amb el vídeo. Disculpeu però no l’he trobat en català a la xarxa.
Avui 17 de juliol de 2010 ha estat entrevistat al programa “El suplement” de Catalunya Ràdio el catedràtic de matemàtiques Claudi Alsina, escriptor i gran divulgador d’aquesta ciència per presentar el seu llibre “Asesinatos matemáticos”, recopilació d’errors que es donen amb freqüència als mitjans de comunicació i el nostre parlar del dia a dia.
Per un bloc de divulgació matemàtica com aquest, és d’obligat compliment penjar aquesta entrevista pel que representa que algú com ell parli per la ràdio nacional de Catalunya -amb la gran audiència que té- reivindicant el paper que les matemàtiques tenen dins la nostra societat.
Que en gaudiu!
És clar que en aquest món globalitzat queda palesa la necessitat i la importància de compartir (experiències, coneixement, idees, etc), és per això que aquest bloc fa un pas més en el seu afany de fer arribar la matemàtica a tothom i amb l’ajut de tothom. A partir d’ara, tot aquell que vulgui participar amb els seus propis escrits ho podrà fer.
Com? Si aneu a l’apartat “Vols col·laborar?” de la capçalera del bloc, trobareu la manera de fer-ho.
Ja friso per veure les vostres aportacions!
A reveure!
Avui m’han regalat un televisor -quina il·lusió!- i això m’ha fet venir al cap una aplicació del teorema de Pitàgores en relació amb les polzades de l’aparell.
Una polzada és una mesura anglosaxona de longitud corresponent a la primera falange del dit polze d’una mà i que equival a 2,54 centímetres.
Això, i el fet que les polzades mesurin la longitud de la diagonal de la pantalla, fa que hi hagi una relació entre aquestes i la longituds dels costats del televisor, ja que la diagonal i els costats formen un triangle rectangle.
Us deixo tot seguit amb aquest vídeo corresponent a un espai del K3 relatiu al tema que ens ocupa.
Recordem abans però, l’enunciat del teorema de Pitàgores:
Espero que us agradi!
Un cop vist això i seguint una mica la mateixa línia, podem saber les dimensions d’un televisor que té un nombre determinat de polzades sense necessitat d’anar a cap botiga per saber si ens cap a l’espai que li tenim destinat:
Donat que les proporcions de les pantalles actuals són de 16:9, això vol dir que si un costat mesura 16X, l’altra en mesura 9X.
Així doncs, si l’aparell té per exemple 40 polzades, obtenim gràcies al teorema de Pitàgores que 402 = (16X)2 + (9X)2 ; 1600 = 256X2 + 81X2 ; 1600 = 337X2 ;
X2 = 1600 / 337 ; X2 =4,748 ; X = 2,179.
Així doncs, les dimensions de la pantalla seran aproximadament:
Per últim, aquí només caldrà afegir alguns centímetres extres pel marc de l’aparell.
Adéu-siau!
Avui he decidit dedicar aquest article a un petit espai radiofònic titulat “El joc mental” inclòs dins d’un magazín de Catalunya Ràdio anomenat “El suplement” i que s’emet els dissabtes i els diumenges al matí de 10:00 a 13:00 hores.
Aquesta secció del programa consisteix en un senzill joc de càlcul per a totes les edats on els oients escolten la situació que es proposa amb l’enigma a resoldre i truquen a un contestador automàtic donant la resposta. Amb posterioritat, els locutors donen la solució i s’efectua un sorteig d’un determinat premi entre els encertants.
Un bloc com aquest on la divulgació matemàtica és un dels seus principals motors no podia deixar passar un fet com aquest que, malgrat ser un pur divertiment i tenir algunes imprecisions de tant en tant, aconsegueix que un bon nombre de seguidors del programa es dediquin a calcular -si més no durant alguns instants- i a fer servir certs raonaments lògics, quelcom molt escàs en el panorama audiovisual actual.
Aquí us deixo l’enllaç
de l’últim programa del dia 27 de juny.
Si us animeu, podeu continuar navegant per la pàgina de Catalunya Ràdio per escoltar altres qüestions proposades en diferents programes.
Si encara us animeu més, podeu escoltar el programa algun dia i participar en directe.
I si encara aquest article us ha suscitat una gran passió pel càlcul i les matemàtiques, us animo a participar en la gran final que es disputarà en directe en els estudis de gravació el dia 18 de juliol; només cal enviar un missatge amb les vostres dades a jocmental@catradio.cat.
A calcular!
He presentat aquest bloc de matemàtiques: “Matemàtiques, la meva passió” als Premis Blocs Catalunya 2010.
Per ser finalista cal estar entre els millors a la votació popular.
Si aneu al següent enllaç, podreu fer la votació pel bloc i també per cadascun dels articles individuals que hi ha penjats.
Si us plau, si us agrada aquest bloc i teniu una estoneta (aproximadament 45 segons) feu aquesta acció per a poder arribar a la final.
Moltes gràcies.
