Proves Cangur 2010

Avui s’han celebrat com cada any les proves Cangur impulsades per la Societat Catalana de Matemàtiques.

Són unes proves adreçades a l’alumnat des de tercer d’ESO a segon de batxillerat agrupades en quatre categories o nivells, un per a cada curs.

Com ja ve sent costum, l’IES Rovira-Forns ha estat un dels centres seus per acollir les proves.

Aquest cop hi han participat alumnes de l’IES Marina de La Llagosta i alumnat del nostre centre fent un total d’aproximadament 60 nois i noies, que han marxat amb un bon record de la trobada, un diploma commemoratiu, un bolígraf i una insígnia amb el logotip del Cangur.

Hem passat una estona tots plegats fent matemàtiques i això és el més important.

De tota manera, ja veurem si hi haurà algun guanyador o guanyadora entre els nostres concursants!

Temps de neu, temps de matemàtiques

Avui Catalunya ha patit una de les pitjors tempestes de neu dels últims anys. És per això que vull aprofitar l’ocasió per presentar-vos una famosa corba fractal anomenada “floc de neu” de KochCorba de Koch, que té un perímetre infinit i que tanca una regió d’àrea finita.

Aquesta corba va ser creada pel matemàtic Helge von Koch al 1904.

Es construeix de manera iterativa (aquí en veiem el resultat de set iteracions).

Per construir-la se segueix un procés a partir de cadascun dels costats d’un triangle rectangle, de la manera següent:

koch

Es divideix el costat en tres parts de la mateixa longitud.

Es construeix un triangle equilàter amb base el segment central del pas anterior.

S’elimina el segment base del triangle del pas anterior.

Es torna primer pas, aplicant ara els passos a cada un dels segments que sorgeixen.

La corba de Koch és el límit de seguir el procediment anterior de forma infinita.

Quin fred que fa!

Exercicis de repàs de polinomis i fraccions algèbriques

Avui us proposo un seguit d’exercicis amb les seves solucions relatius a aquest tema extrets de la interessant pàgina www.toomates.net.

Espero que en feu ús i que us resultin d’utilitat.

Mètode de Ruffini.

Valor numèric i operacions amb polinomis.

Teorema del residu.

Operacions generals amb polinomis.

Factor comú i productes notables.

Operacions amb fraccions algèbriques.

Fins a la propera!

Dos i dos fan quatre?

Sempre s’associen les matemàtiques amb l’exactitud i sovint s’utilitza l’expressió ” 2 i 2 fan quatre” per expressar una veritat immutable i indiscutible – això és així com que dos i dos fan quatre -. Però, realment això és sempre així?

La resposta és clarament, no.

Dins el conjunt de nombres on ens movem habitualment – el conjunt de nombres reals – això és realment cert, però si treballem dins una altra estructura algèbrica, aquest fet pot variar.

Concretament, si considerem el conjunt de nombres format només per {0,1,2} amb una operació de suma i de producte que es regeixen per les següents taules:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Si ens fixem en el quadre de la suma, veiem com en aquest cas “2 + 2 = 1”, i no a quatre, senzillament perquè quatre no és un nombre del conjunt (de fet, es pot considerar que 4 s’identifica amb 1 seguint el següent criteri: s’agafa un nombre concret, en aquest cas el 4 i es divideix entre el nombre d’elements del conjunt -en aquest exemple, 3- i es pren com a nombre el residu de la divisió entera [4 : 3 dóna 1 i en sobra 1 (el residu)]).

Aquesta estructura s’anomena el conjunt de classes d’equivalència de residus mòdul 3, i com que aquest nombre és primer, aleshores el conjunt té una estructura especial i s’anomena Cos Finit F3.

Aquesta estructura, més enllà del concepte teòric i abstracte, dóna lloc a tota una teoria que té nombroses aplicacions, principalment en el camp de la criptografia i de la teoria de codis, usant-se bàsicament en comunicacions. Destaquem el famós codi binari emprat en informàtica on només s’utilitzen zeros i uns.

Paradoxa geomètrica

Hi ha paradoxes de diversos tipus: lògiques, numèriques, estadístiques, geomètriques, etc. D’entre aquestes últimes us presento avui la de la desaparició i aparició de la figura d’una persona com per art de màgia.

Fixeu-vos-hi bé. Quantes persones veieu, 12 o 13 ?

quants?

Aquest truc geomètric és una versió digital de “The Vanishing Leprechaun Puzzle” de Pat Patterson (1968) on 14 follets passen a ser 15.

13544987tjgsdpdabz_ph1

El quid està en què els follets de la primera fotografia i els de la segona no són comparables perquè són diferents, uns són 1/15 part més baixos que els altres i els altres són 1/14 part més alts que el primers. Tot es deu a una reestructuració de la fotografia fent el tall en el lloc adient i repartint el quinzè follet al llarg dels altres 14.

Que vagi bé!

Llibres i matemàtiques per Nadal

Ara que s’apropen les festes nadalenques, voldria recomanar un parell de llibres que poden resultar un bon regal.

En primer lloc vull recuperar un títol de l’any 2000 que va ser publicat amb motiu de l’any mundial de les matemàtiques. Es tracta de “Fotografiando las matemáticas”Fotografiando-las-matematicas de l’editorial Carroggio. És un llibre d’una bellesa extrema, en el que es combinen fotografies de la vida quotidiana amb contingut matemàtic amb textos explicatius del fenomen o fenòmens que hi ha al darrere. El seu format també és matemàtic: té les dimensions d’un rectangle auri (31 cm. x 19,3 cm.).

el-rostro-humano-de-las-matematicasEn segon lloc, vull esmentar una obra de l’any passat “El rostro humano de las matemáticas” de l’editorial Nivola. En ell es recull una breu biografia molt didàctica i entenedora d’un bon grapat de matemàtics i matemàtiques de totes les èpoques, des de Pitàgores a Emmy Noether, passant pel català Lluís Antoni Santaló o la científica de moda, Hipàtia d’Alexandria.  Al costat de cada explicació hi ha una caricatura de cadascun d’ells.  De lectura molt agradable, ens apropa una mica més a tots aquests grans personatges posant-hi un rostre al seus noms.

I ara per acabar, un petit concurs nadalenc.

Heu de respondre correctament a la següents preguntes:

  • Quin diabòlic llibre fa somniar un nen per aprendre matemàtiques?
  • Quin és el seu autor?

Podeu deixar les vostres respostes en forma de comentari fins el dia 5 de gener.

No us oblideu de posar el vostre correu electrònic ja que els qui ho encerteu, rebreu un petit obsequi per aquest mitjà.

Bones vacances, i visca les matemàtiques!

A propòsit d’Escher

Amb aquest article vull deixar palesa l’estreta relació existent entre Maurits Cornelius Escher  (“Pintura i matemàtiques” ) i els dissenys arquitectònics àrabs ( “L’art musulmà hispànic”).

En aquesta ocasió us presento aquest vídeo on es mostra la influència dels mosaics àrabs en l’obra d’aquest artista holandès.

Fins aviat!

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/slm2PVbWtdU" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Ball triangular de papallones

Triangle de papallones

Aquesta fotografia vaig fer-la fa poc més d’un any, a l’estiu de 2008. En ella es veuen tres papallones dansant al ritme d’una música inexistent, només seguint el seus rellotges interns. Tres papallones formant un triangle dinàmic però sempre respectant la distància entre elles.
Un cop més, les matemàtiques i la natura es posen d’acord per oferir-nos un espectacle d’indubtable bellesa.

EXERCICI DE SUCCESSIONS I PROGRESSIONS DE BATXILLERAT

En el viatge de fi de curs volem visitar un temple que hi ha a les afores de la ciutat. L’únic inconvenient però, és que per arribar a la porta, hem de pujar una escalinata de 128 graons. El primer graó té una alçada de 20 centímetres. A partir d’aquí, cada un dels següents té una alçada de 15 centímetres.

a) Escriu els cinc primers termes de la successió d’alçades que hi ha des de cada graó que pugem fins a terra.

b) Aquesta successió és algun tipus de progressió? De quin? Raona la resposta.

c) Escriu el terme general d’aquesta successió.

d) Quina és la distància que hauré d’acabar pujant fins arribar a dalt de tot?

Per entrar a aquest temple es cobra un preu segons l’ordre d’entrada en el dia. Si estàs entre els deu primers, pagues 1 cèntim d’euro. Si estàs entre l’onzè i el vintè, en pagues 2. Si estàs entre el vint-i-unè i el trentè, 4 cèntims i així successivament (només admeten 100 visitants diaris).

e) Si arribes a dalt i entres en el lloc número 71, quant hauràs de pagar?

Aquí tens la solució:

L’art musulmà hispànic

De la meva recent visita a la ciutat de Sevilla, a banda del clima, la gastronomia i el paisatge, vull fer esment per damunt de tot, dels seus conjunts monumentals. Especial atenció es mereixen la Catedral, la Giralda i Los Reales Alcázares, considerats patrimoni de la humanitat.Giralda

En aquest últim monument, format per construccions de diferents èpoques, destaquen clarament els espais conservats dels anys de l’Al-Andalus, a on s’aprecia l’art geomètric que va inspirar les seves decoracions tant en les seves parets com en els seus sostres.

Cal recordar que la seva religió els prohibia representar tant figures humanes com animals, i per això van recórrer a representacions geomètriques fent servir els moviments i les transformacions en el pla (translacions, simetries, rotacions i lliscaments) amb una precisió total.

Aquestes decoracions són presents en els seus frisos (sanefes) i en els seus mosaics.

El concepte principal consisteix en la repetició d’un motiu o motius fent servir aquestes transformacions geomètriques per guarnir una franja de paret amb rajoles o bé recobrir-la tota sencera.

De fet es poden considerar autèntiques poesies matemàtiques realitzades segles abans de detall de mosaicla sistematització i classificació d’aquest tipus de moviments en el pla.

Hi ha cinc tipus diferents de moviments per a fer frisos i disset per a fer mosaics. Els àrabs d’aquella època els coneixien tots.

Finalment aquí us deixo un petit reportatge d’aquest fet que es centra en  La Alhambra de Granada el principal exponent d’aquest tipus d’art: . Visita obligada que espero fer en un futur.

Que en gaudiu!

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/oNnK28Eqmj8" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

I aleshores, es produeix un miracle

Riure és sa. Riure’s d’un mateix, saníssim.

Malgrat que uns dels objectius d’aquest bloc és fer divulgació de les matemàtiques per desmitificar la fama que tenen d’avorrides, difícils i incomprensibles, trobo que de tant en tant buscar una mirada crítica també està bé, ni que sigui en forma d’acudit.

Som-hi doncs:

i aleshores, es produeix un miracle “Crec que hauria de ser més explícit aquí, en el segon pas”

Hipàtia

Ja ha arribat la tardor, i amb ella, les novetats cinematogràfiques.

Estic esperant amb expectació l’ultima pel·lícula d’Alejandro Amenábar “Àgora”, d’estrena imminent. En ella, es narra part de la vida d’Hipàtia d’Alexandria, una de les més brillants científiques del món antic.

De la mateixa manera que molts altres dels grans noms de la cultura clàssica, va cultivar diversos camps del coneixement. Així, va destacar com a filòsofa, matemàtica i astrònoma.

Per tant, aquest film pot ser una molt bona aportació si l’emmarquem dins d’aquest 2009, any mundial de l’astronomia.

Més enllà que el rigor científic es vegi sacrificat com moltes altres vegades en pro d’una més gran comercialitat del producte i més en les grans superproduccions, el segell d’Amenábar acostuma a ser sinònim de qualitat. És per això, i pel fet que sempre és d’agrair la presència més o menys explícita de les matemàtiques en el cinema, que l’aniré a veure tant bon punt l’estrenin.

De moment, aquí us deixo el tall publicitari que corre per la xarxa.

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/odDNTlASNQY" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Exercici de nombres reals de primer de batxillerat (previ)

Com que aquest tema és molt senzill, abans de poder realitzar l’exercici, haureu d’esbrinar la contrasenya de cinc lletres que hi dóna accés.

Cadascuna de les cinc lletres és la inicial de cada resposta corresponent a les cinc preguntes (també sobre aquest tema) que us faig a continuació.

1- Nom d’un matemàtic grec que dóna nom a un famós teorema.

2- El conjunt de nombres format pels racionals i els irracionals.

3- El nombre  2,71828182…

4- El número mil escrit en numeració romana.

5- Totes les arrels quadrades no exactes ho són.

Atenció! Totes les lletres s’han d’escriure en minúscules.

No cal dir que el visitant ocasional d’aquest bloc també pot fer aquest petit joc i, per què no?, també intentar l’exercici.

Visca les matemàtiques!

El garbell d’Eratòstenes

Retrat d'Eratòstenes

Ara que comença el curs, anem a repassar el concepte de nombre primer.  A més, amb l’ajut de l’algoritme de càlcul “El Garbell d’Eratòstenes” – anomenat així en honor al matemàtic que el dissenyà – anem a calcular els nombres primers més petits que 100.

Eratòstenes era un home polifacètic, ja que a més de matemàtic era astrònom, geògraf  i expert en moltes altres disciplines.

Feliç inici de curs a tothom!