Tag Archives: Geometria

Imaginary al CosmoCaixa

Quan només manca un dia per tancar la pregunta d’agost al voltant de l’exposició Imaginary, us porto un modest reportatge gràfic per aquells que no hi puguin anar . No és ben bé el mateix, però us podreu fer una idea del contingut.

Es tracta d’una sèrie d’imatges generades per ordinador a partir d’unes equacions algebraiques tot mostrant la seva representació geomètrica en tres dimensions, juntament amb unes explicacions aclaridores. Al seu costat, es mostren els objectes físics fets amb fusta per a la seva comparativa.

També vull afegir, que el fet que una companya de promoció de la universitat hagi format part d’aquest projecte – la Maria Alberich, cosa que desconeixia- fa que tingui encara més ganes d’explicar-lo.

Aquí us el deixo i desitjo que us agradi.

(Si hi cliqueu a sobre veureu les imatges més grans)

La pregunta de març

Les respostes a la pregunta del mes anterior de quin és el teu nombre preferit han estat molt diverses. S’han registrat un total de 10 respostes. D’aquestes, dues han mostrat la seva predilecció pel número 7, un clàssic ja que es considera un número que porta sort. La resta han estat per vuit nombres diferents, anant des del 0 i l’1 fins al 3, el 6, el 10 o el 21 passant pel nombre Pi, que si bé és molt important en matemàtiques, no l’associem amb una pregunta d’aquest estil donat que la majoria de nosaltres pensem en nombres naturals. Una persona expressa que no en té cap de preferit.
En qualsevol cas, gràcies per participar.

I ara, anem amb la pregunta d’aquest mes:

Disseny matemàtic

Ahir vaig assistir a la gala de lliurament dels Premis Blocs Catalunya 2010. Malauradament, “Matemàtiques, la meva passió” no va ser guardonat, el guanyador a la categoria d’educació va ser el bloc “El vaixell d’Odisseu“. Enhorabona.
També vull felicitar a la resta de participants i als altres guanyadors, especialment al bloc guanyador d’esports “Blaugranes en cadira de rodes“, mantingut pel meu cunyat Manel Mora.
A banda d’això, fent honor a la meva fal·lera per buscar matemàtiques a tot arreu, em vaig adonar que els dissenyadors del novíssim -de fet es va estrenar amb aquesta gala- edifici del TecnoCampus de Mataró-Maresme també van recórrer a les matemàtiques per escollir els seients de descans de la sala annexa a l’auditori.

Seients hexagonals

Concretament van emprar uns pufs hexagonals (els de la imatge) amb un cert aire a les cel·les d’una bresca d’abelles. Val a dir que eren força còmodes i funcionals.
Aprofitant aquest fet, m’agradaria fer esment que l’hexàgon regular és una de les úniques tres figures geomètriques amb els costats d’igual longitud que pot recobrir tot el pla sense deixar forats entremig (tesselació). És per aquest fet que les abelles utilitzen aquesta forma per fer les seves construccions.

Les altres figures que recobreixen el pla són el triangle equilàter i el quadrat.

Aquí les teniu:
.

Tesselació triangular

Tesselació triangular

Tesselació quadrada

Tesselació quadrada

Tesselació hexagonal

Tesselació hexagonal

.

Un tortell matemàtic: el tor

torusAvui us vull presentar un objecte matemàtic molt especial: el tor. El tor es una superfície de revolució generada per un cercle que gira al voltant d’un eix que està en el mateix pla que ell, creant així una estructura semblant a un tortell o un flotador.
Aquesta superfície és orientable. Això vol dir de forma planera que un ésser que visqués dins aquesta superfície sabria en tot moment on es troba, si a la part de dintre o de fora de l’estructura. Per contra, la banda de Möebius és un altre objecte topològic del qual ja vam parlar en un altre article i que és no orientable.

Per tal de treballar millor amb el tor, existeix una representació d’aquesta superfície dins del pla de dos dimensions que és la següent:

Es tracta d’un quadrat amb els costats identificats dos a dos,  és a dir, que enganxaríem un costat blau amb l’altre costat blau form150px-toresvgant un cilindre i després enganxaríem un costat vermell (ara convertit en circumferència vermella) amb l’altre costat vermell (circumferència vermella) reconstruint així el tor, sempre que el material ho permeti, és clar (aquests petits detalls tècnics els deixem pels físics).

D’aquesta manera es poden estudiar millor les seves propietats i és més fàcil de manipular.

En relació amb aquesta representació del tor, aquí va una petita picada d’ullet amb els amants dels videojocs. A l’inici de les màquines de matar marcians en el nostre país, les denominades “arcades” en anglès, existia una denominada Asteroids als finals dels anys setanta, que va ser un mite durant molt de temps. Els joves d’avui en dia segur que troben Asteroids completament desfasada, però jo us asseguro que com a pionera d’aquest tipus de videojocs valia molt la pena.

Tot això ve al cas perquè resulta que la pantalla on es desenvolupava el joc era una representació plana d’un tor.

Ara us deixo amb un vídeo que ho demostra. Fixeu-vos que els objectes que desapareixen pel marge superior tornen a aparèixer pel marge inferior i a la mateixa distància de les cantonades i seguint la mateixa trajectòria i a l’inrevés, i el mateix passa amb els límits esquerra i dret. Figura que els objectes donen la volta al tor, bé per la circumferència petita (dalt-baix) com per la gran (esquerra-dreta).

Ho veieu? L’univers on es desenvolupa l’acció és un univers tòric!

Podríem posar altres exemples com ara les juntes tòriques habitualment fetes de goma que s’usen principalment per assegurar l’estanquitat de fluids -en els desguassos de les piques, per exemple- però no us vull marejar més.

Per acabar, us proposo un petit joc estival: una sopa de lletres tòrica, és a dir,  que el taulell quadrat té els costats identificats com abans i per tant les paraules poden començar a un costat però acabar a la mateixa alçada del costat paral·lel oposat tot seguint la mateixa inclinació tal i com feien els asteroides del videojoc.

Heu de trobar sis paraules:

  • 2 noms de matemàtics cèlebres.
  • 2 operacions aritmètiques.
  • 2 objectes geomètrics.

Podeu deixar les solucions en forma de comentari o bé demanar algun tipus de pista si aneu molt perduts.

Bona sort!

A

I

B

C

D

F

A

Q

E

F

G

S

H

I

E

I

J

U

K

L

M

I

N

R

O

B

P

A

Q

R

S

O

A

T

U

O

V

D

W

X

Y

Z

A

B

C

N

D

R

E

F

G

H

I

J

K

A

L

A

M

N

O

P

R

O

Q

C

F

T

R

S

S

D

B

E

U

C

L

I

D

E

T

I

U

V

S

I

W

E

B

X

F

V

Y

Z

A

T

S

B

C

A

Paradoxa geomètrica

Hi ha paradoxes de diversos tipus: lògiques, numèriques, estadístiques, geomètriques, etc. D’entre aquestes últimes us presento avui la de la desaparició i aparició de la figura d’una persona com per art de màgia.

Fixeu-vos-hi bé. Quantes persones veieu, 12 o 13 ?

quants?

Aquest truc geomètric és una versió digital de “The Vanishing Leprechaun Puzzle” de Pat Patterson (1968) on 14 follets passen a ser 15.

13544987tjgsdpdabz_ph1

El quid està en què els follets de la primera fotografia i els de la segona no són comparables perquè són diferents, uns són 1/15 part més baixos que els altres i els altres són 1/14 part més alts que el primers. Tot es deu a una reestructuració de la fotografia fent el tall en el lloc adient i repartint el quinzè follet al llarg dels altres 14.

Que vagi bé!

L’art musulmà hispànic

De la meva recent visita a la ciutat de Sevilla, a banda del clima, la gastronomia i el paisatge, vull fer esment per damunt de tot, dels seus conjunts monumentals. Especial atenció es mereixen la Catedral, la Giralda i Los Reales Alcázares, considerats patrimoni de la humanitat.Giralda

En aquest últim monument, format per construccions de diferents èpoques, destaquen clarament els espais conservats dels anys de l’Al-Andalus, a on s’aprecia l’art geomètric que va inspirar les seves decoracions tant en les seves parets com en els seus sostres.

Cal recordar que la seva religió els prohibia representar tant figures humanes com animals, i per això van recórrer a representacions geomètriques fent servir els moviments i les transformacions en el pla (translacions, simetries, rotacions i lliscaments) amb una precisió total.

Aquestes decoracions són presents en els seus frisos (sanefes) i en els seus mosaics.

El concepte principal consisteix en la repetició d’un motiu o motius fent servir aquestes transformacions geomètriques per guarnir una franja de paret amb rajoles o bé recobrir-la tota sencera.

De fet es poden considerar autèntiques poesies matemàtiques realitzades segles abans de detall de mosaicla sistematització i classificació d’aquest tipus de moviments en el pla.

Hi ha cinc tipus diferents de moviments per a fer frisos i disset per a fer mosaics. Els àrabs d’aquella època els coneixien tots.

Finalment aquí us deixo un petit reportatge d’aquest fet que es centra en  La Alhambra de Granada el principal exponent d’aquest tipus d’art: . Visita obligada que espero fer en un futur.

Que en gaudiu!

Habiliteu el Javascript i el Flash per veure aquest Flash video.

EXERCICI DE BATXILLERAT DE GEOMETRIA EN EL PLA

Donats els punts A=(1,0) , B=(4,4) i C=(1,4). Calculeu:

a) Les equacions de les bisectrius de cadascun dels angles interiors del triangle format per aquests tres punts.

b) El punt d’intersecció de les tres bisectrius.

c) Com es diu aquest punt tant especial?

d) Quina figura relacionada amb el triangle es pot formar a partir d’aquest punt?

Aquí tens la solució:

EXERCICI DE SUCCESSIONS DE 1R DE BATXILLERAT

Tenim un triangle equilàter d’un metre de costat.

a) Calcula la seva àrea.

Si unim els punts mitjans dels seus costats, obtenim un altre triangle.

b) Calcula la seva àrea.

Si repetim aquesta mateixa operació en aquest triangle i així successivament, anem obtenint diversos triangles.

c) Si considerem la successió formada per les àrees de tots aquests triangles, troba l’expressió del seu terme general.

d) Troba el límit d’aquesta successió.

e) Geomètricament, el límit de la successió formada per aquests triangles encaixats és un punt molt especial del triangle inicial. De quin punt es tracta?

Aquí tens la solució: