Daily Archives: 14 febrer 2010

Dos i dos fan quatre?

Sempre s’associen les matemàtiques amb l’exactitud i sovint s’utilitza l’expressió ” 2 i 2 fan quatre” per expressar una veritat immutable i indiscutible – això és així com que dos i dos fan quatre -. Però, realment això és sempre així?

La resposta és clarament, no.

Dins el conjunt de nombres on ens movem habitualment – el conjunt de nombres reals – això és realment cert, però si treballem dins una altra estructura algèbrica, aquest fet pot variar.

Concretament, si considerem el conjunt de nombres format només per {0,1,2} amb una operació de suma i de producte que es regeixen per les següents taules:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Si ens fixem en el quadre de la suma, veiem com en aquest cas “2 + 2 = 1”, i no a quatre, senzillament perquè quatre no és un nombre del conjunt (de fet, es pot considerar que 4 s’identifica amb 1 seguint el següent criteri: s’agafa un nombre concret, en aquest cas el 4 i es divideix entre el nombre d’elements del conjunt -en aquest exemple, 3- i es pren com a nombre el residu de la divisió entera [4 : 3 dóna 1 i en sobra 1 (el residu)]).

Aquesta estructura s’anomena el conjunt de classes d’equivalència de residus mòdul 3, i com que aquest nombre és primer, aleshores el conjunt té una estructura especial i s’anomena Cos Finit F3.

Aquesta estructura, més enllà del concepte teòric i abstracte, dóna lloc a tota una teoria que té nombroses aplicacions, principalment en el camp de la criptografia i de la teoria de codis, usant-se bàsicament en comunicacions. Destaquem el famós codi binari emprat en informàtica on només s’utilitzen zeros i uns.