Daily Archives: 14 novembre 2007

La banda de Möbius

Aquest objecte matemàtic és una superfície amb una característica molt especial. Abans de continuar però, anem a construir aquesta “banda” o “cinta”.

Prenem un full de paper (din A-3, per exemple) i hi retallem un rectangle com el de la figura: 

 

Girem la cinta 180º:

I tot seguit enganxem amb cola els extrems com indica la figura:

Si ara intentem pintar d’un color, per exemple blau, la cara interna i de vermell l’externa, veurem que els dos colors es solapen. Això vol dir que no hi ha una cara interna i una d’externa com una cinta normal sinó que només hi ha una sola cara!!

Aquesta propietat prové del fet que es tracta d’una superfície que a matemàtiques anomenem no orientable.

Si voleu jugar una mica amb aquesta banda, dibuixeu una línia longitudinal que passi pel mig de la cinta i retalleu al llarg d’aquesta línia.

Què obtenim? Una banda o dues?.

El resultat és una banda de Möbius? Perquè creus que passa això?

Si en comptes de tallar per una línia que passi pel mig de la cinta, ho fas a un terç de distància d’una de les vores, què creus que s’obté?

Comprova-ho i raona per què passa això.

Ara que ja ens hem divertit, també cal comentar que aquestes matemàtiques tenen aplicació al món real i no només són un entreteniment com podria semblar en aquest cas. Aquesta banda té aplicacions com a cinta transportadora de manera que es duplica la seva vida útil ja que els rodets o cilindres per on passa la desgasten per tota la superfície i no només per una cara com passaria amb una cinta tradicional.

Aquesta cinta també és present a l’art. L’artista M.C. Escher, famós pels seus treballs amb rerefons matemàtics, té una obra on apareixen nou formigues caminant al voltant d’una cinta de Möbius.