L.EULER. Elements d’Àlgebra (II)

Seguim aquí amb la primera part del segon capítol dels Elements d’Àlgebra (1770) de Leonhard Euler. Després d’haver introduït l’aritmètica i l’àlgebra al primer capítol I, en aquest segon capítol explica les operacions de nombres enters on només hi apareixen sumes i restes i acaba amb la definició de nombres enters. Vegem-ho:

Capítol II: explicació dels signes + més i – menys

8. Quan hem d’afegir un nombre donat a un altre, això és indicat amb el signe + el qual situarem abans del segon nombre, i el llegirem om més. Així, 5+3 significa que hem d’afegir 3 al nombre 5 i, en aquest cas, tothom sap que el resultat és 8. De la mateixa manera 12 + 7 fan 19; 25 + 16 fan 41; la suma de 25 + 41 és 66, etc.

9. També podem fer ús del mateix signe + més per connectar diversos nombres junts; per exemple, 7 + 5 + 9 significa que al nombre 7 li afegim 5 i també 9, que fan 21. El lector podrà aleshores entendre per 8 + 5 + 13 + 11 + 1 + 3 + 10, la suma de tots aquests nombres la qual és 51.

10. Tot això és evident i només hem de mencionar que en Àlgebra, per tal de generalitzar els nombres, els representem per lletres tals com a, b, c, d, etc. Així, l’expressió a + b significa la suma de dos nombres els quals estan representats per a i b i aquests nombres poden ser molt grans o molt petits. De la mateixa manera, f + m + b + x significa la suma de quatre nombres representats per aquestes quatre lletres. Per tant, si sabem que els nombres estan representats per lletres, podrem sempre trobar per l’aritmètica la suma o valor d’aquestes expressions.

11. Pel contrari, quan se’n demana restar un nombre donat d’un altre, aquesta operació és representada pel signe – menys que significa menys i s’ha de posar  abans del nombre que ha de ser restat; així, 8 – 5 significa que el nombre 5 ha de ser restat del 8 i, al fer-ho, s’obté 3. De la mateixa manera, 12 – 7 dóna 5; i 20 – 14 dóna 6, etc.

12. Algunes vegades, podem tenir diversos nombres per ser restats d’un d’únic com, per exemple, 50 – 1 – 3 – 5 – 7 – 9. Això significa que, primer, resta 1 de 50 i donarà 49; resta 3 del resultat i tindrem 46; resta-li 5 i dóna 41; resta-li 7 i dóna 34; finalment, resta-li 9 i dóna 25: aquest últim resultat és el valor de l’expressió. Però els nombres 1, 3, 5, 7, 9 estan tots per ser restats i és el mateix que si restem la seva suma la qual és 25 d’un sol cop al 50 i el resultat serà 25 com abans.

13. És també fàcil determinar el valor d’expressions similars en les quals estan els dos signes + més i – menys. Per exemple, 12 – 3 – 5 + 2 – 1 és el mateix que 5. Només hem d’ajuntar per separat els nombres que tenen + davant d’ells i restar d’ells la suma dels que tenen – davant d’ells. Així, la suma de 12 i 2 és 14 i la de 3, 5 i 1 és 9. Per tant, 9 restat de 14 és 5.

14. D’aquests exemples es pot observar que l’ordre en el qual escrivim els nombres és perfectament indeferents i arbitrari, provist del signe en cadascun dels casos. Podríem haver escrit de la mateixa manera en l’article precedent 12 + 2 – 5 – 3 -1 o 2 – 1 – 3 – 5 + 12 o 2 `+ 12 – 3 – 1 – 5 o en altres ordres; ha de ser observat que en la primera expressió posada, el signe + se suposa que està davant del 12.

Continuarà…

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà Els camps necessaris estan marcats amb *