Daily Archives: 15 octubre 2008

P.FERMAT – L’equació de Pell (I)

En 1929, el matemàtic David Eugene Smith va publicar amb l’editorial McGraw-Hill un interessant source book de les matemàtiques que Dover va reeditar en 1959. Per qui no ho sàpiga, un source book és una recol·lecció de publicacions originals que l’autor es dedica a anotar i que serveix a l’interessat per poder llegir directament les paraules de l’autor. El llibre està estructurat en cinc parts (teoria de nombres, àlgebra, geometria, probabilitats i càlcul, funcions i quaternions) i hi apareixen fragments d’obres que van des de matemàtics del s. XV a Abel, Bessel o Hamilton. En aquesta entrada he posat l’atenció en les pàgines 214-216 on hi ha una breu explicació de la feina que va fer Fermat sobre l’equació de Pell, coneguda actualment amb el nom de Fermat-Pell. Més endavant, he traduït al català les paraules de Fermat (en vermell) amb les disculpes que per començar demano a Fermat ja que ell la va escriure en llatí, en el llibre està en anglès i jo n’he fet la segona versió i no directament de l’original.

Smith comença l’episodi recordant-nos que va ser Pierre de Fermat (c. 1608-1665) el primer en dir que l’equació de Pell:

x2 – Ay2 = 1

amb A un nombre no quadrat, té infinites solucions enteres. La idea de resoldre aquesta estrany equació se li va acudir al pensar en un nombre qualsevol x tal que al fer 2x + 5 i 5x +3, ambdós resultats fossin un quadrat perfecte. Smith també ens explica que Fermat va proposar la resolució de l’equació de Pell com a repte en forma de carta als matemàtics anglesos Lord Brouncker i John Wallis i després, va oferir el repte a tota la comunitat matemàtica: i aquestes són les paraules de Fermat en aquesta segona carta de febrer de 1657:

No hi ha gairebé ningú que exposi qüestions purament aritmètiques i tampoc gairebé ningú que les entengui. No és perquè l’aritmètica ha estat tractada fins ara geomètricament i no aritmèticament? Això és certament perquè ha estat intimidada per molts treballs dels escriptors antics i moderns, inclòs Diofant. Malgrat que ell es va separar una mica més de la geometria que la resta, va limitar el seu estudi només als nombres racionals. Tanmateix, la Zetetica de Viète, en la qual el mètode de Diofant s’extén a les quantitats contínues i d’aquesta manera a la geometria, prova suficientment que aquesta branca no està totalment separada de la geometria.

Així, l’aritmètica demana per sí mateixa la teoria de tots els nombres com a estat propi. Els Aritmètics (“nens de l’aritmètica”) han de procurar en fer-la avançar ja que va ser representada imperfectament per Euclides als seus Elements i a més a més, no està suficientment defensada per aquells que el van seguir. Potser està conciliada en aquells llibres de Diofant els quals van ser destruïts pels mals fets pel pas del temps.

A aquests, per tal de mostrar-los-hi la llum que ha de marcar el camí, proposo el següent teorema o problema per a ser provat o resolt. A més a més, si el descobreixen, admetran que qüestions d’aquest tipus no són inferiors a les més que celebrades de la geometria ni en subtilesa o dificultat ni en mètode de prova. Donat qualsevol nombre no quadrat, aleshores hi ha un nombre infinit de quadrats que multiplicats pel nombre donat, donen com a resultat un altre quadrat al sumar-los amb la unitat.

Exemple: donat el 3, que és un nombre no quadrat; aquest nombre multiplicat pel nombre quadrat 1 i sumant 1 al resultat, dóna com a resultat 4, que també és un quadrat. A més a més, el mateix 3 multiplicat pel quadrat 16 i sumant-hi 1 dóna 49, que també és un quadrat. I a banda de l’1 i del 16, un nombre infinit de quadrats es poden trobar amb la mateixa propietat. Tanmateix, de mano una norma general per qualsevol nombre no quadrat donat. El que busquem és, per exemple, trobar un quadrat tal que quan el multipliquem per 149, 109, 433… el resultat sigui un altre quadrat quan li sumem una unitat.

Com es pot llegir, Fermat era un apassionat de l’aritmètica i, justament per això, no va conjeniar amb Blaise Pascal, més interessat per la naixent probabilitat. Smith també ens comenta que el nom de Pell donat a aquest tipus d’equació ve d’un error d’un dels matemàtics més prolífics de la història: Leonhard Euler. Ell va pensar que… no, no. Potser que us ho mireu vosaltres, no?