Acabo en aquest post amb la traducció del capítol II, on Euler dóna les definicions de nombres positius, negaitus i, en general, de nombres enters:

15. No serà considerat amb major dificultat si, per tal de generalitzar aquestes operacions, fem ús de les lletres en lloc dels nombres. És evident que, per exemple, a – b – c + d – e, significa que tenim uns nombres expressats per a i per d i que d’ells o de la seva suma, hem de restar els nombes expressats per les lletres  b, c i e els quals tenen davant el signe -.

16. Per tant, és absolutament necessari considerar que el signe està preficat a cada nombre amb el que en Àlgebra, les quantitats simples són nombres considerats afectats pels signe que els precedeixen. A més a més, anomenem nombres positius a aquells que tenen davant un signe + i nombres negatius a aquells que estan afectats pel signe -.

17. La manera en la qual calculem generalment la propietat d’una persona és una il·lustració apta del que hem dit fins ara. Denotem el que un home posseeix mitjançant nombres positius usant o entenent el signe + mentre que el que deu ho representem amb nombres negatius, o usant el signe -. Aixé, quan es diu que un té 100 corones però en deu 50, això significa que la seva possessió real és de 100 -50, o el que és el mateix, +100 – 50 que dóna 50.

18. Com els nombres negatius poden ser considerats com deutes ja que els positius representen les possessions, hem de dir que els nombres negatius són menors que no res. Així, quan un home no té res i deu 50 corones, és cert que té 50 corones menys que no res; perquè si algú li fes un regal de 50 corones per pagar els seus deutes, encara estaria en el punt del no res malgrat que fos més ric que abans.

19. De la mateixa manera, els nombres positius són incontestablement majors que no res i els negatius menors que el no res. Ara, obtenim nombres positius afegint 1 al 0 o, el que és el mateix, 1 a res; i podem continuar sempre incrementant a partir d’una unitat. Això és l’origen de les sèries de nombres anomenats nombres naturals; els següents són els primers termes de la sèrie: 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10 i així fins l’infinit. Però si, en lloc de continuar aquesta sèrie per addicions contínues, continuem en direcció oposada perpétuement restant una unitat, tindrem la següent sèrie de nombres negatius: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10 i així fins l’infinit.

20. Tots aquests nombres tant si són positius com negatius, tenen el conegut nom de nombres sencers o enters els quals conseqüentment són majors o menors que no res. Els anomenem enters per distingir-los de les fraccions, i de tants altres tipus de nombres dels quals ja en parlarem […].

21. És de gran importància a través de tota l’Àlgebra que una idea precisa es formi sobre les quantitats negatives i sobre el que hem estat parlant. Tanmateix, remarcaré aquí que les expressions tals com +1 – 1, +2 – 2, +3 – 3, +4 – 4, etc. són iguals a 0 o a res. I que +2 – 5 és igual a -3 perquè si una persona té 2 corones i en deu 5, no només no té res sinó que encara deu 3 corones. De la mateixa manera, 7 – 12 és igual a -5, i 25 – 40 és igual a -15.

22. Les mateixes observacions són veritat quan al fer l’expressió més general, usem les lletres en lloc dels nombres, ja que 0 o res sempre serà el valor de +a – a, però si volem saber el valor de a – b, haurem de considerar dos casos: el primer quan a sigui més gran que b; b ha de ser aleshores restat d’a i el resultat (abans del qual s’entén que hem de posar el signe +) mostra el valor buscat. El segon cas és que a sigui menor que b: aquí a ha de ser restat de b i el resultat serà fet negatiu posant-hi davant el signe – serà el valor buscat.

Seguim aquí amb la primera part del segon capítol dels Elements d’Àlgebra (1770) de Leonhard Euler. Després d’haver introduït l’aritmètica i l’àlgebra al primer capítol I, en aquest segon capítol explica les operacions de nombres enters on només hi apareixen sumes i restes i acaba amb la definició de nombres enters. Vegem-ho:

Capítol II: explicació dels signes + més i – menys

8. Quan hem d’afegir un nombre donat a un altre, això és indicat amb el signe + el qual situarem abans del segon nombre, i el llegirem om més. Així, 5+3 significa que hem d’afegir 3 al nombre 5 i, en aquest cas, tothom sap que el resultat és 8. De la mateixa manera 12 + 7 fan 19; 25 + 16 fan 41; la suma de 25 + 41 és 66, etc.

9. També podem fer ús del mateix signe + més per connectar diversos nombres junts; per exemple, 7 + 5 + 9 significa que al nombre 7 li afegim 5 i també 9, que fan 21. El lector podrà aleshores entendre per 8 + 5 + 13 + 11 + 1 + 3 + 10, la suma de tots aquests nombres la qual és 51.

10. Tot això és evident i només hem de mencionar que en Àlgebra, per tal de generalitzar els nombres, els representem per lletres tals com a, b, c, d, etc. Així, l’expressió a + b significa la suma de dos nombres els quals estan representats per a i b i aquests nombres poden ser molt grans o molt petits. De la mateixa manera, f + m + b + x significa la suma de quatre nombres representats per aquestes quatre lletres. Per tant, si sabem que els nombres estan representats per lletres, podrem sempre trobar per l’aritmètica la suma o valor d’aquestes expressions.

11. Pel contrari, quan se’n demana restar un nombre donat d’un altre, aquesta operació és representada pel signe – menys que significa menys i s’ha de posar  abans del nombre que ha de ser restat; així, 8 – 5 significa que el nombre 5 ha de ser restat del 8 i, al fer-ho, s’obté 3. De la mateixa manera, 12 – 7 dóna 5; i 20 – 14 dóna 6, etc.

12. Algunes vegades, podem tenir diversos nombres per ser restats d’un d’únic com, per exemple, 50 – 1 – 3 – 5 – 7 – 9. Això significa que, primer, resta 1 de 50 i donarà 49; resta 3 del resultat i tindrem 46; resta-li 5 i dóna 41; resta-li 7 i dóna 34; finalment, resta-li 9 i dóna 25: aquest últim resultat és el valor de l’expressió. Però els nombres 1, 3, 5, 7, 9 estan tots per ser restats i és el mateix que si restem la seva suma la qual és 25 d’un sol cop al 50 i el resultat serà 25 com abans.

13. És també fàcil determinar el valor d’expressions similars en les quals estan els dos signes + més i – menys. Per exemple, 12 – 3 – 5 + 2 – 1 és el mateix que 5. Només hem d’ajuntar per separat els nombres que tenen + davant d’ells i restar d’ells la suma dels que tenen – davant d’ells. Així, la suma de 12 i 2 és 14 i la de 3, 5 i 1 és 9. Per tant, 9 restat de 14 és 5.

14. D’aquests exemples es pot observar que l’ordre en el qual escrivim els nombres és perfectament indeferents i arbitrari, provist del signe en cadascun dels casos. Podríem haver escrit de la mateixa manera en l’article precedent 12 + 2 – 5 – 3 -1 o 2 – 1 – 3 – 5 + 12 o 2 `+ 12 – 3 – 1 – 5 o en altres ordres; ha de ser observat que en la primera expressió posada, el signe + se suposa que està davant del 12.

Continuarà…

Quan Leonhard Euler tenia 63 anys, va veure la llum els seus Elements d’Àlgebra (1770), publicats en alemany per la Reial Acadèmia de les Ciències de Sant Petersburg. El llibre fa un repàs a diversos temes aritmètics, algebraics i d’anàlisi com són les potències i arrels, els logaritmes, les progressions aritmètiques i geomètriques, la resolució d’equacions… L’obra està estructurada en dues parts, la primera dedicada a l'”anàlisi de quantitats determinades” i la segona dedicada a les “indeterminades”. Per començar a fer-nos una idea de l’abast del llibre, aquí us deixo la traducció al català del primer capítol de la primera seció (“sobre els diferents mètodes de càlcul de quantitats simples”) de la primera part:

Capítol I: Sobre les Matemàtiques en general

Article I: Anomenem magnitud o quantitat a tot allò que pot créixer o decréixer. Una suma de diners és doncs una quantitat ja que la podem fer augmentar o disminuir. Passa el mateix amb el pes i altres coses d’aquesta naturalesa.

2. És evident a partir d’aquesta definició que els diferents tipus de magnituds són tan variats que ens provoca gran dificultat per poder-les enumerar: i això és l’origen de les diferents branques de la Matemàtica, cadascuna de les quals dedicada a un tipus particular de magnitud. Les Matemàtiques, en general, és la ciència de la quantitat; o, la ciència que investiga els significats de la mesura de la quantitat.

3. Ara, no podem mesurar o determinar cap quantitat excepte si considerem alguna altra quantitat del mateix tipus com coneguda i assenyalant la seva mútua relació. Per exemple, si fos proposat que es determinés la quantitat d’una suma de diners, hauríem de prendre alguna peça monetària coneguda com és un lluís, una corona, un ducat o qualsevol altra moneda i trobar quantes d’elles estan contingudes en la suma donada. De la mateixa manera, si fos proposada la determinació d’una quantitat de pes, hauríem de prendre un cert pes conegut; per exemple, una lliura, una unza, etc. i aleshores mirar quantes vegades un d’aquests pesos està contingut en el que volem trobar. Si volem mesurar una longitud o extensió, hem d’usar una longitud coneguda tal com el peu.

4. Per tant, la determinació o mesura de les magnituds de qualsevol tipus es redueix a: fixar una certa magnitud coneguda de la mateixa espècie que la que volem determinar i considerar-la com si fos la mesura o unitat; aleshores, determinar la proporció de la magnitud proposada respecte de la magnitud coneguda. Aquesta proporció està sempre representada pels nombres; per tant, un nombre no és res més que la proporció d’una magnitud respecte d’una altra d’arbitrària la qual s’assumeix com la unitat.

5. D’això se’n desprèn que totes les magnituds han de ser expressades amb nombres i que la fundació de totes les Ciències Matemàtiques ha de partir d’un tractat complet sobre els nombres i d’un examen acurat dels possibles mètodes de càlcul diferents. Aquesta part fonamental de les matemàtiques s’anomena Anàlisi o Àlgebra.

6. En Àlgebra doncs, considerem només els nombres que representen quantitats sense reparar en els diferents tipus de quantitats. Aquests són l’objecte d’estudi d’altres branques de les matemàtiques.

7. L’Aritmètica tracta els nombres en particular i és la ciència dels nombres pròpiament dita; però aquesta ciència s’extén només a certs mètodes de càlcul que passen a la pràctica habitual: l’Àlgebra, pel contrari, comprèn en general tots els casos que poden existir en la doctrina i el càlcul dels nombres.