Abû Kâmil va néixer a Egipte al voltant del segle X i pot ser considerat un dels grans matemàtics àrabs del seu temps. En la seva Àlgebra (Kitâb fî al-jabr wa’l muqâbalah) va resoldre les equacions de segon grau que mig segle abans al-Khwârizmî havia estat capaç de demostrar al món que la seva resolució estava íntimament lligada a la geometria. Aquí us passo el text original d’aquesta resolució:

“En primer lloc, és necessari que el lector d’aquest llibre sàpiga que, d’acord amb els llibres de Muhammad al-Khwârizmî, hi ha tres categories. Aquestes són les arrels, els quadrats i els nombres. L’arrel és qualsevol cosa la qual està multiplicada per ella mateixa igual o major que 1 i totes les seves fraccions, i totes les fraccions de les seves fraccions i així successivament. El quadrat és el producte d’una arrel per ella mateixa, sencera o fraccionària. El nombre, el qual s’aguanta per sí mateix i no és arrel ni quadrat, es relaciona amb les unitats des de cadascuna de les altres categories; també és cert per les dues altres categories. Cadascun d’ells pot ser igual a qualsevol de les altres categories, és a dir, el quadrat és igual a les arrels, i el quadrat és igual als nombres, i les arrels són iguals als nombres. Si una categoria és igual a dues de les altres categories, és una d’aquestes, quadrats i arrels són iguals a nombres, i quadrats i nombres són iguals a arrels, i arrels i nombres són iguals a quadrats. Hi ha sis casos necessaris d’explicar. Pel quadrat el qual és igual a les arrels, és com si un diu que el quadrat és igual a 5 arrels perquè el quadrat és igual a 5 d’aquestes arrels. Això és perquè l’arrel del quadrat és sempre d’acord amb la suma de les arrels d’aquest quadrat. Aquí l’arrel és el 5. El quadrat és 25 el qual és igual a 5 d’aquestes arrels. Més endavant explicaré que l’arrel del quadrat està d’acord amb el total de les arrels. Fonamentaré la meva explicació en aquesta qüestió. Per exemple, construeixo el quadrat com la superfície quadrada ABCD. Els seus costats són AB, BC, CD i DA. Cadascun d’aquests costats multiplicat per una unitat de la longitud total d’aquesta superfície és una arrel de la unitat de superfície. El resultat del producte d’AB per la unitat [de longitud], diguem-li BE, és la superfície AE [ABEL]. Aquesta és una arrel d’AC la qual està dividida en cinc parts iguals, les superfícies AE, LF, KG, JH i IC. La línia BC és 5 i és l’arrel del quadrat; el quadrat és 25. Això és el que un pretenia explicar. És com això. Quan un diu que del quadrat és igual a 10 arrels, el quadrat total és igual a 20 arrels. Així, l’arrel del quadrat és 20 i, per tant, el quadrat és 400. Aleshores, quan un diu 5 quadrats igual a 20 arrels, el quadrat és igual a 4 arrels. L’arrel del quadrat és 4 i el quadrat és 16. Si el quadrat és engrandit o fet més petit, sempre retorna a la unitat quadràtica. Així, un fa totes les arrels en el quadrat que siguin iguals. El quadrat és igual a nombres pel cas quan el quadrat és igual a 16; la seva arrel és igual a 4. El mateix quan 5 quadrats són igual a 45. La unitat del quadrat és 1/2, o 9. Si un diu 1/3 del quadrat és igual a 27, aleshores el quadrat és 81. Així, per cada quadrat engrandit o fet més petit, sempre es retorna al mateix quadrat. I aixó és així quan un iguala a nombres. Les arrels són iguals a nombres com quan un diu que l’arrel és igual a 4. L’arrel és 4 i el quadrat 16. Així mateix, si dius 5 arrels són iguals a 30, l’arrel és igual a 6 i el quadrat és 36. Si un diu 1/2 de l’arrel és igual a 10, l’arrel és igual a 20 i el quadrat és 400. Per tant, totes les arrels engrandides o fetes més petites tornen a la unitat d’arrel. I això és respecte dels nombres. Un troba aquestes tres categories. Anomenem-les: aquestes són el quadrat i les arrels són igual als nombres; el quadrat i els nombres són iguals a les arrels; les arrels i els nombres són iguals al quadrat”. 

 Continuarà…