Category Archives: Matemàtica moderna

Sota aquest nom s’amaguen les publicacions relacionades amb la història de la matemàtica desenvolupada a partir del segle XVI a Europa. Des de François Viète a Leonhard Euler passant per Descartes, Fermat, Newton i Leibnitz: els vestigis de la matemàtica que fem servir avui dia.

R.DESCARTES. La Geometria / Introducció, traducció i notes de J. Pla i Carrera, P. Viader i Canals

L’any 1999 es va publicar aquesta obra del francès René Descartes traduïda al català. El llibre està dividit en quatre parts comptant una extensa bibliografia i dos índexs del llibre: un d’onomàstic i un altre d’analític. La primera part serveix com a introducció i és l’espai on els autors fan una magnífica introducció a aquesta referència dins de la història de la matemàtica. La Geometria és un dels tres assaigs del Discurs del Mètode, obra que en la seva totalitat va aparèixer en 1637 a Leiden (Holanda). Descartes volia mostra que el seu mètode era totalment nou i el va aplicar a la geometria i també a l’òptica i l’astronomia. Segons ens explica el seu primer biògraf Adrien Baillet, la nit del 10 de novembre de 1619, a Descartes “li fou revelada la clau màgica que li obria l’accés al tresor de la naturalesa i que el col·locava en situació de posseir els vertaders fonaments de totes les ciències“. Amb aquesta obra, Descartes “crea” la geometria algebraica reduint tots els problemes geomètrics a equacions polinòmiques. Així, el llibre I es titula “Dels problemes que es poden construir fent ús exclusiu de les circumferències i de les línies rectes” i en ell, comença donant les regles per multiplicar, dividir i extraure l’arrel quadrada de segments donats usant únicament regle i compàs. Ell mateix ens avisa que sovint no cal dibuixar aquestes línies sobre el paper. És suficient designar-les mitjançant lletres, una lletra per cada línia. Així per tal d’addicionar la línia BD a GH, anomeno a una d’elles i b, a l’altra, i escric a + b. Escriuré a – b per indicar que he sostret b de a. I ab, per indicar la multiplicació de l’una per l’altra. Posaré a/b [usant la notació habitual per les fraccions] per tal de dividir. I aa, o a2 per indicar que he multiplicat a per ella mateixa…. Amb aquesta premisa, el plantejament dels problemes de tot el llibre serà el següent: “si volem, doncs, resoldre un problema qualsevol, caldrà d’antuvi suposar-lo ja resolt i aleshores donar nom a totes les línies que ens semblin necessàries per a la seva construcció, tant les que són desconegudes com les altres. Aleshores, sense fer cap mena de distinció entre les línies conegudes i les que no, cal recórrer la dificultat d’acord amb l’ordre que ens mostri de la forma més natural possible les relacions que hi ha entre elles, fins a aconseguir expressar una mateixa quantitat de dues maneres: això és el que s’anomena equació, atès que els temes d’una de les expressions són iguals als de l’altra“. Si l’equació que obté és de 2n grau, diu que es pot resoldre amb regle i compàs i d’aquesta manera, resol l’equació general de segon grau mitjançant la construcció d’un triangle rectangle i una circumferència. També resol el problema d’Apol·loni de les tres i quatre rectes. Aquest problema consisteix en, donades les rectes AB, AD, EF, GH… en posició (i.e. coneixem la seva posició relativa), hem de determinar els punts C tals que si tirem rectes CB, CD, CF, CH… formant angles donats amb les anteriors, es compleixi la relaió CB · CD = k · CF · CH amb k constant. Descartes resol el problema fent servir l’àlgebra bàsica i arriba a la conclusió que el lloc geomètric dels punts C és una cònica.

El llibre II porta el títol “De la naturalesa de les línies corbes” i és l’espai on Descartes fa geometria algebraica pròpiament dita. S’ha de tenir en compte que els grecs tenien tres tipus de problemes: els plans  (regle i compàs), els sòlids (còniques) i els linelas (on s’havia d’usar una corba arbitrària). Descartes inventa un compàs per generar corbes i es dedica a investigar quin tipus de corbes pot obtenir: el resultat són les corbes x4n = a2 (x2 + y2)2n-1 per n > 0. Un cop resolt, classifica les corbes segons el gènere (i no el grau!): 1r gènere per les corbes de 1r i 2n grau, 2n gènere per les de 3r i 4t, 3r gènere per les de 5è i 6è… Després d’explica un altre compàs generador, Descartes diu que el seu mètode pot resoldre el problema de les cinc rectes d’Apol·loni que els grecs no sabien resoldre. Tanmateix, només resol el cas de quatre paral·leles equidistants i una perpendicular. Una altra de les innovacions del francès és la de plantejar-se trobar l’angle entre dues corbes. Descartes busca la recta normal a una el·lipse i introdueix el mètode dels coeficients indeterminats per resoldre el problema.

Finalment, en el llibre III, sota el títol “De la construcció de problemes sòlids i més que sòlids“, Descartes desenvolupa la seva àlgebra i l’escriu igual que ho faríem actualment nosaltres: x, y… per les incògnites i a, b… per les constants. També desenvolupa la coneguda com regla dels signes de Descartes on pot determinar el nombre d’arrels positives i el de negatives tan sols analitzant el nombre de canvis de signe dels coeficients d’un polinomis. També dóna la regla de Ruffini i resol gràficament la cúbica, la quàrtica, la quíntica i la sèxtica.

La segona part d’aquesta edició catalana és la traducció íntegra del text amb més de tres-centes notes explicatives que fan que el text esdevingui una font d’informació molt interessant tant des del punt de vista històric, com des del punt de vista matemàtic.

FITXA TÈCNICA:

PUNTUACIÓ (sobre 5):

NIVELL: Batxillerat.       Nº PÀGINES: 169.             ISBN: 84-7283-453-0

EDITORIAL: Institut d’Estudis Catalans/Eumo Editorial/Editorial Pòrtic

“René Descartes”, un quadre de Frans Hals (1649)

Frans Hals - Portret van René Descartes.jpgRené Descartes va néixer el 31 de març de 1596 a la localitat bretona de La Haye. El seu pare Joachim Descartes era conseller del parlament de la Bretanya a Rennes i René és el tercer fill del seu matrimoni amb Jeanne Brochard. Quan tenia un any, la seva mare va morir i va passar a ser educat per  la seva àvia i per una dida que no podrà oblidar en la resta de la seva vida. Cap als onze anys, entra al col·legi de La Flèche on viu dins de l’activitat pròpia d’una institució educativa: se sap, per exemple, que en 1611 els descobriments de Galileu Galilei hi van ser molt celebrats amb el que el podem situar assebentat dels avenços científics del seu temps. Hi va estar fins el 1614, un any abans d’entrar als estudis de dret de la universitat de Poitiers (es llicencia un any més tard). En 1618 es traslladà a Breda on es va allistar als exèrcits protestants de Maurice de Nassau que estaven en guerra contra el catolicisme dels reis espanyols. En aquesta etapa holandesa es produeix el seu trobament amb el científic i filosòf Isaac Beeckman (1588-1637). Beeckman s’havia graduat en medicina a Caen el mateix any 1618 éssent alumne del matemàtic flamenc Simon Stevin (1548/9-1620). Únicament com a apunt, s’ha de dir que Beeckman va desenvolupar la teoria atomista oposant-se als ensenyaments d’Aristòtil i teoremes com el de la inercia o el de la freqüència de la corda vibrant. Descartes tenia per aquell moment 22 anys i estava a punt de viure la gran revelació: la nit del 10 de novembre de 1619 té els tres somnis que són la seva iniciació a una nova ciència i que donaran lloc al seu futur Discurs del Mètode. En 1622 va tornar a França i concretament a París on comença a fer estudis en òptica, camp on cinc anys més tard serà capaç d’enunciar la llei de Snell. Tanmateix, el seu desig de conèixer Galileu el porten a viatjar a Itàlia en 1623 aprofitant un possible promès pelegrinatge a Loreto. Val a dir que no el troba però a la seva tornada en 1624 se situa el seu possible contacte amb Marín Mersenne (1588-1648). L’interès del pare mínim Mersenne l’havia anat convertint en el nucli fonamental de la ciència europea del moment. Es cartejava amb les grans ments contemporànies i fins i tot organitzava trobades on els diferents científics i filòsofs es dedicaven a opinar i compartir els seus descobriments. La vida de Descartes viu alts i baixos i arriba a batre’s en dol per una dama fins que en 1629 comença la seva etapa holandesa que durarà vint anys En els primers anys a Holanda, va escriure un perdut Tractat de la metafísica, l’obra titulada El món i el Tractat de la llum i de l’home. També resol el problema de Pappus de les tres i quatre rectes el qual serà la base de la seva Geometria. Tal i com passarà amb molts dels grans científics d’aquesta etapa històrica, la seva gran activitat intel·lectual es va veure frenada per la condemna de la Inquisició a Galileu (1633) i va decidir no publicar res per si de cas. L’obra més damnificada per aquesta decisió va ser el Discurs del Mètode i els seus tres apèndixos: la Diòptrica, els Meteors i la Geometria. El 8 de juny de 1637 es van imprimir a Leiden aquests tres apèndixos en francès però de forma anònima i de seguida van tenir un gran èxit: set anys més tard va aparèixer la traducció llatina. Va ser un home de caràcter difícil que el va enfrontar amb els grans matemàtics Pierre de Fermat i Gilles Personne de Roberval i que el van portar a salvar les aparences al reconèixer la filla Francine que va tenir amb la seva minyona com a una neboda. Francine va morir en 1640, el mateix any de la mort del seu pare i de la publicació de les seves Meditacions metafísiques, obra que va ahaver de defensar sempre i que va fer que fos condemnat per heretge des de la universitat d’Utrecht. En 1649, Descartes va acceptar la invitació de la reina Cristina de Suècia per establir-se a Estocolm i redactar un projecte d’estatuts de l’Acadèmia Sueca. A començaments de febrer de 1650 va contraure una pulmonia que va acabar amb la seva vida el dia 11. O no? Johann van Mullen, el metge de la cort que el va atendre en els seus últims dies va escriure “com vostè ja sap, uns mesos enrera, Descartes va arribar a Suècia per a retre homentage a Sa Majestat la Reina […]. Justament ara, abans de la quarta hora de l’alba, aquest home va expirar… La reina va voler veure aquesta carta abans d’enviar-la i va voler saber què vaig escriure als meus amics sobre la mort de Descartes. Em va ordenar estríctament que la meva carta caigués en mans d’estranys“. A més, el metge va redactar els símptomes dels seus últims dies “durant els primers dos dies, la seva son va ser profunda i no va menjar, ni va beure ni va prendre cap medicament. El tercer i quart dia estava agitat i no va dormir seguint sense menjar ni medicar-se. Em van cridar al cinquè dia però nop va voler ser tractat. Com els senyals de la seva mort eren evidents, vaig acceptar mantenir-me gustosament allunyat del moribund. Al passar el cinquè i sisè dies, es va queixar de mareig i febre interna. Al vuitè dia, de singlot i de vòmits negres. Després va tenir respiració inestable i la mirada extraviada presagiant la mort. Al novè dia, tot estava perdut. Al matí del desè dia, la seva ànima va tornar a Déu“. Els símptomes són més propis d’un enverinament amb arsènic que els d’una pulmonia però, qui sap. Descartes era un estranger a la cort sueca i va despertar moltes enveges que potser van acabar amb la seva vida. En 1667, les seves despulles mutilades es van traslladar a París i en 1819 es va enterrar el seu cos a l’església de Saint-Germain-des-Prés de París. Només el seu cap se’n va quedar fora i actualment es pot contemplar al Museu de l’Home de la capital francesa.

Respecte del pintor: Frans Hals (1580/5-1666) va néixer a Antwerpen i pertany a l’escola barroca flamenca. De jove va treballar al costat del mestre Karel van Mander (1548-1606) fins que en 1610 va entrar en ontacte amb el gremi d’artistes de Haarlem, ciutat on actualment es pot visitar el Museu Frans Hals (http://www.franshalsmuseum.nl) on es conserva la seva obra més antiga: el retrat de Jacobus Zaffius (1611). En aquest mateix any es va casar amb Anneke Hermansz a qui aquest genial retratista no va voler pintar mai i a qui possiblement va pegar i maltractar fins a quedar-se vidu en 1616: un any més tard es va casar amb Lysbeth Reyniers amb qui va tenir vuit fills. Aquesta família tan nombrosa va fer que Hals hagués de dedicar-se a altres feines temporals per portar diners a casa i no és precisament perquè li faltés la feina com a pintor! Els seus retrats van captar la psicologia interna del personatge i van ser ràpidament reconeguts pels nobles. Potser el seu tret distintiu va ser que va decidir no acabar mai definitivament les seves pintures, separant-se així de la tècnica de tots els seus contemporanis. Hals va morir a Haarlem en 1666 i actualment està enterrat a la catedral de Sant Bavó de la ciutat holandesa. Per cert, la pintura que acompanya aquestes línies es “la Gitaneta” de 1628/30.

N.COPÈRNIC. Commentariolus (IV)

SETÈ POSTULAT

Els moviments aparentment retrògrads i directes dels planetes no es deuen en realitat al seu propi moviment sinó al de la Terra. Per tant, per sí mateix aquest moviment és suficient per explicar moltes de les aparents irregularitats que en el cel s’observen.

Un cop establerts aquests postulats, vaig a tractar de mostrar breument com pot preservar-se sistemàticament la uniformitat dels moviments. M’ha semblat que en benefici de la brevetat, convindria prescindir aquí de les demostracions matemàtiques les quals reservo per a una obra més àmplia. Tanmateix, en el transcurs de la explicació dels cercles es donaran les longituds dels radis de les esferes i, gràcies a això, qualsevol mínimament versat en matemàtiques podrà advertir amb facilitat l’estreta correspondència entre aquesta disposició dels cercles i les dades numèriques i les observacions.

L’ORDRE DE LES ESFERES

Les esferes celests s’inscriuen les unes dins de les altres segons l’ordre següent. La superior és l’esfera immòbil dels estels fixos la qual conté tota la resta i els hi dóna un lloc. Immediatament després es troba l’esfera de Saturn seguida de la de Júpiter i, a continuació, per la de Mart. Sota d’aquesta es troba l’esfera en la qual girem nosaltres, a la qual segueixen l’esfera de Venus i, finalment, la de Mercuri. L’esfera lunar per la seva banda gira al voltant del centre de la Terra i és arrossegada amb ella a la manera d’un epicicle. Idèntic ordre guarden les velocitats de revolució de les esferes segons siguin majors o menors els cercles que descriuen. Així, el període de revolució de Saturn és de trenta anys, de dotze el de Júpiter, dos el de Mart, un any el de la Terra, nou mesos el de Venus i tres el de Mercuri.

Continuarà…

N.COPÈRNIC. Commentariolus (III)

Aquests postulats, denominats axiomes, són els següents:

PRIMER POSTULAT

No existeix un centre únic de tots els cercles o esferes celests.

SEGON POSTULAT

El centre de la Terra no és el centre del món, sinó tan sols el centre de gravetat i el centre de l’esfera lunar.

TERCER POSTULAT

Totes les esferes giren al voltant del Sol, el qual es troba en mig de totes elles, raó per la qual el centre del món està situat en les proximitats del Sol.

QUART POSTULAT

La raó entre la distància del Sol a la Terra i la distància a la que està situada l’esfera dels estels fixos és molt menor que la raó entre el radi de la Terra i la distància que separa el nostre planeta del Sol, fins al punt que aquesta última resulta gairebé imperceptible en comparació amb l’alçada del firmament.

CINQUÈ POSTULAT

Qualsevol moviment que sembli passar en l’esfera dels estels fixos no es deu en realitat a cap moviment d’aquesta sinó al moviment de la Terra. Així doncs, la Terra -juntament als elements circundants- fa diàriament una revolució completa al voltant dels seus dos pols fixos, mentre que l’esfera dels estels fixos i últim cel roman immòbil.

SISÈ POSTULAT

Els moviments dels quals aparentment està dotat el Sol no es deuen en realitat a ell sinó al moviment de la Terra i de la nostra pròpia esfera amb la qual, girem al voltant del Sol exactament igual que la resta de planetes. La Terra té doncs més d’un moviment.

Continuarà…

N.COPÈRNIC. Commentariolus (II)

Calippus i Éudox els quals van tractar de resoldre el problema mitjançant cercles concèntrics, no van ser capaços d’explicar per aquest procediment tots els moviments planetaris. No només havien d’explicar les revolucions aparents dels planetes sinó també el fet que tals cossos, de vegades sembli que pugen en els cels i de vegades que baixin. Aquest és el motiu per a que semblés millor l’ús de les excèntriques i epicicles, preferència que gairebé tots els savis van acabar seguint.

Les teories planetàries proposades per Ptolemeu i gairebé tota la resta d’astrònoms, malgrat que guardaven un acord perfecte amb les dades numèriques, semblaven comportar una dificultat no menor. Efectivament, aquestes teories només resultaven satisfactòries al preu d’haver d’imaginar certs equants, en raó dels quals el planeta sempre sembla moure’s amb una velocitat sempre uniforme però no amb respecte al seu deferent ni tampoc respecte del seu propi centre. Per aquest motiu, una teoria d’aquestes característiques no semblava ni suficientment elaborada ni tan sols suficientment d’acord amb la raó.

Havent reparat en tots aquests defectes, sovint em preguntava si seria possible trobar un sistema de cercles més racional mitjançant el qual, s’expliquessin totes les irregularitats aparents sense haver de postular cap moviment diferent de l’uniforme al voltant dels centres corresponents tal i com el principi del moviment perfecte exigeix. Després d’abordar aquest problema extraordinàriament difícil i gairebé insoluble, per fi se’m va acudir com es podria resoldre mitjançant construccions molt més senzilles i adequades que les tradicionalment usades, a condició únicament que se’m concedeixin alguns postulats.

Continuarà…

N.COPÈRNIC. Commentariolus (I)

L’altre dia, per casualitat, vaig trobar un exemplar del llibre “Opúsculos sobre el moimiento de la Tierra” publicat per Alianza Editorial en 1983. En ell hi podem llegir fragments de tres obres que tenen una gran importància dins de la història de la ciència i, concretament, dins de la història de l’astronomia: el Commentariolus de Copèrnic, una Perfecta descripció de les esferes celests […] de Digges i les Consideracions sobre l’opinió copernicana de Galileu. Aquí ara anem a dedicar-nos al Commentariolus. Abans de publicar el De Revolutionibus (1543) que canviaria la història, Copèrnic no estava massa segur de l’acollida que tindrien les noves idees geocèntriques i va decidir escriure aquest petit opuscle que va fer circular entre els seus amics. L’obra va tenir molt d’impacte: mentre des de Roma, se li va demanar que enviés una còpia per poder conèixer el nou sistema del món, en 1539 Martin Luter criticava les noves idees i al seu autor. Per a fer-nos una idea del que va escriure Copèrnic, anem aquí a reproduir una petita part:

Observo que els nostres predecessors van recórrer a un elevat nombre d’esferes celests sobre tot amb la finalitat de poder explicar el moviment aparent dels planetes respectant el principi d’uniformitat. Realment semblava completament absurd que un cos celest no es mogués uniformement al llarg d’un cercle perfecte. Però es van adonar que mitjançant diferents composicions i combinacions de moviments uniformes podien aconseguir que un cos semblés que es movia cap a qualsevol lloc de l’espai.

Continuarà…