Arxiu mensual: octubre de 2008

L.PACIOLI. La Divina Proporción (I)

La divina proporción - Pacioli, LucaL’any 1987, Akal va editar en castellà aquesta obra de Luca Pacioli de 1509. El llibre comença amb una introducció biogràfica d’Antonio Manuel González que és força bona. Ens diu que Pacioli neix en 1445 a la localitat toscana de Borgo San Sepolcro on hi passa la seva joventut. Sabem que el seu pare es deia Bartolomeo i un dels seus tiets, Benedetto. Va ser aprenent a la casa de la família de Folco de Belfolci i va esdevenir amic del pintor Piero della Francesca, qui no parava d’anar a Borgo contínuament. Aquest contacte va introduir Pacioli a la cort dels Urbino, on el duc Federico de Montefeltro tenia una gran biblioteca. Cap als 20 anys es va traslladar a Venècia per treballar al costat del mercader Antonio Rompiasi com a preceptor dels seus dos fills. Va aprofitar la seva estada a la ciutat dels canals per anar a les lliçons públiques de matemàtiques de Doménico Bragadino i per convertir-se en tot un expert en aritmètica mercantil. Cap els 25 anys el trobem instal·lat a Roma on gràcies a della Francesca, va ser introduït a la cort papal. Va freqüentar l’alta societat romana i els cercles del cardenal Riario, molt interessat en les obres de l’arquitecte Vitrubi. En 1472 entra en l’ordre dels Franciscans Menors i tres anys més tard, esdevé lector de matemàtiques a Perugia on és contractat per 30 fiorins anuals durant un període de dos anys. En 1481 el trobem a la localitat dàlmata de Zarar on escriu un tractat d’àlgebra i després d’una breu estada a Florència, obté a Perugia el títol de Magíster que li dóna dret a obtenir una càtedra a la universitat. Ell mateix ens diu que donada la seva fràgil salut i l’esgotament en el que es trobava, abandona la docència i en 1488 el trobem a casa del bisbe de Carpentrasso a Roma fent de prelat. Dos anys més tard, viatja a Nàpols per tornar a la vida acadèmica i ensenyar matemàtiques i teologia i construir una col·lecció de políedres regulars que regalarà a Guidubaldo de Montefeltro. De 1490 a 1493 retorna a Borgo de San Sepolcro i prepara la seva Summa de Arithmetica i en 1493 dóna lliçons de geometria i aritmètica a Pàdua. En 1494 torna a Venècia i imprimeix la versió final de la Summa, obra que esdevindrà una autèntica enciclopèdia matemàtica. Retorna a Urbino d’on és la famosa pintura que el retracta demostrant un teorema d’Euclides. En aquesta introducció podem llegir les diferents versions sobre l’autoria del quadre. En 1496 accepta la invitació de Ludovico Sforza per anar a Milà a ensenyar matemàtiques. De seguida es fa amic de Leonardo da Vinci i producte d’aquesta relació neix el llibre De divina proportione (acabat el 14 de desembre de 1497) on Leonardo li va pintar els 60 cossos que hi estan representats. La caiguda de Ludovico el Moro en 1499 fa que tots dos se’n vagin de Milà i acabin a la cort de Màntova i després a Venècia i Florència. Pacioli comença a viatjar i a ensenyar a diferents universitats com Pisa (1500), Perugia (1500), Bologna (de 1501 a 1502) i, finalment, Florència (de 1502 a 1505) on compta amb la protecció i amistat de Pietro Soderini. En 1505 torna a la cort romana del vicecanciller Galeotto Franciotti i s’hi queda fins 1508, moment en el que retorna a Venècia per preparar la impressió de la seva versió dels Elements d’Euclides. També prepara la impressió del De divina proportione que s’imprimirà en 1509. El final de Pacioli comença amb el seu nou trasllat a Perugia i en febrer de 1510 és nomenat comissari del monestir de Borgo de San Sepolcro. El 21 de novembre de 1511 redacta un nou testament i en 1514 es trasllada a Roma sota el requeriment del papa Lleó X per a fer-se càrrec de la càtedra de matemàtiques de la Sapienza. Va morir a Borgo de San Sepolcro cap a l’any 1517.

“Arquimedes”, un quadre de José de Ribera (1630)

La vida d’Arquimedes de Siracussa se situa aproximadament entre els anys 287 i 212 aC i va ser considerat l’alfa dels grecs, és a dir, el número 1 per davant del beta Eratóstenes de Cirene. Va heretar la seva passió per les matemàtiques del seu pare, l’astrònom Fídies. La seva vida és un cúmul de llegendes que és difícil saber si són veritat o mentida. Sembla ser que va estudiar a l’Alexandria de la famosa biblioteca i que allí va poder posar-se en contacte amb els grans matemàtics i científics del moment com el mateix Eratóstenes i, per què no, el gran Euclides. La seva gran reputació el devien catapultar a alts càrrecs de la cort i de l’exèrcit i se li atribueixen diversos invents d’artilugis militars que van fer de Siracussa una ciutat inexpugnable. A la història de la física el seu nom va lligat al prinipi que va descobrir i al seu famós “Eureka”. El rei Hieró de Siracussa estava molt preocupat perquè havia encarregat a un joier que li construís una corona amb un lingot d’or. Al rebre la comanda, el monarca devia posar mala cara perquè va veure que la corona no semblava pesar la quantitat d’or que havia donat al joier. Què podia fer? Hieró va encarregar a Arquimedes que aconseguís trobar un mètode per poder decidir la veritat de la qüestió ja que no hi havia cap persona que fos capaç de fer-ho. Arquimedes es va dedicar en os i ànima dia i nit per trobar la solució del problema però la resposta no arribava. Un cert dia, mentre es relaxava a la banyera de casa seva, va observar que tal com es ficava dins de l’aigua, el nivell de l’aigua pujava de manera proporcional a la porció de cos que hi anava submergint. Arquimedes va veure la solució i de l’emoció, va sortir al carrer despullat com estava cridant ‘Eureka, Eureka’. Si la corona estava construïda amb el mateix lingot d’or que se li havia donat al joier, al submergir-la en una banyera, el nivell de l’aigua hauria de pujar fins la mateixa alçada que al submergir en la mateixa banyera una peça d’or igual que l’inicial. No sabem quina sort va córrer el joier però segurament devia sortir fugint de Siracussa ja que en aquelles èpoques era molt habitual que les comissions dels joiers es vegessin complementades amb sobresous provinents dels metalls que treballaven.

Respecte del pintor: José de Ribera, més conegut com “Lo Spagnoletto” va néixer a Xàtiva en 1591. Va estudiar pintura al taller de Francisco Ribalta i en 1616 es va instal·lar a Nàpols després de visitar i treballar a diverses ciutats italianes. Un cop establert, comencen els seus anys més prolífics (1620-1630). Va pintar segons el tenebrisme i va esdevenir un dels pintors més importants de l’escena europea del segle XVII.

L.EULER. Elements d’Àlgebra (II)

Seguim aquí amb la primera part del segon capítol dels Elements d’Àlgebra (1770) de Leonhard Euler. Després d’haver introduït l’aritmètica i l’àlgebra al primer capítol I, en aquest segon capítol explica les operacions de nombres enters on només hi apareixen sumes i restes i acaba amb la definició de nombres enters. Vegem-ho:

Capítol II: explicació dels signes + més i – menys

8. Quan hem d’afegir un nombre donat a un altre, això és indicat amb el signe + el qual situarem abans del segon nombre, i el llegirem om més. Així, 5+3 significa que hem d’afegir 3 al nombre 5 i, en aquest cas, tothom sap que el resultat és 8. De la mateixa manera 12 + 7 fan 19; 25 + 16 fan 41; la suma de 25 + 41 és 66, etc.

9. També podem fer ús del mateix signe + més per connectar diversos nombres junts; per exemple, 7 + 5 + 9 significa que al nombre 7 li afegim 5 i també 9, que fan 21. El lector podrà aleshores entendre per 8 + 5 + 13 + 11 + 1 + 3 + 10, la suma de tots aquests nombres la qual és 51.

10. Tot això és evident i només hem de mencionar que en Àlgebra, per tal de generalitzar els nombres, els representem per lletres tals com a, b, c, d, etc. Així, l’expressió a + b significa la suma de dos nombres els quals estan representats per a i b i aquests nombres poden ser molt grans o molt petits. De la mateixa manera, f + m + b + x significa la suma de quatre nombres representats per aquestes quatre lletres. Per tant, si sabem que els nombres estan representats per lletres, podrem sempre trobar per l’aritmètica la suma o valor d’aquestes expressions.

11. Pel contrari, quan se’n demana restar un nombre donat d’un altre, aquesta operació és representada pel signe – menys que significa menys i s’ha de posar  abans del nombre que ha de ser restat; així, 8 – 5 significa que el nombre 5 ha de ser restat del 8 i, al fer-ho, s’obté 3. De la mateixa manera, 12 – 7 dóna 5; i 20 – 14 dóna 6, etc.

12. Algunes vegades, podem tenir diversos nombres per ser restats d’un d’únic com, per exemple, 50 – 1 – 3 – 5 – 7 – 9. Això significa que, primer, resta 1 de 50 i donarà 49; resta 3 del resultat i tindrem 46; resta-li 5 i dóna 41; resta-li 7 i dóna 34; finalment, resta-li 9 i dóna 25: aquest últim resultat és el valor de l’expressió. Però els nombres 1, 3, 5, 7, 9 estan tots per ser restats i és el mateix que si restem la seva suma la qual és 25 d’un sol cop al 50 i el resultat serà 25 com abans.

13. És també fàcil determinar el valor d’expressions similars en les quals estan els dos signes + més i – menys. Per exemple, 12 – 3 – 5 + 2 – 1 és el mateix que 5. Només hem d’ajuntar per separat els nombres que tenen + davant d’ells i restar d’ells la suma dels que tenen – davant d’ells. Així, la suma de 12 i 2 és 14 i la de 3, 5 i 1 és 9. Per tant, 9 restat de 14 és 5.

14. D’aquests exemples es pot observar que l’ordre en el qual escrivim els nombres és perfectament indeferents i arbitrari, provist del signe en cadascun dels casos. Podríem haver escrit de la mateixa manera en l’article precedent 12 + 2 – 5 – 3 -1 o 2 – 1 – 3 – 5 + 12 o 2 `+ 12 – 3 – 1 – 5 o en altres ordres; ha de ser observat que en la primera expressió posada, el signe + se suposa que està davant del 12.

Continuarà…

“John Wallis”, un quadre de Godfrey Kneller (1701)

John Wallis 305è ANIVERSARI DE LA MORT DE JOHN WALLIS

Avui fa 305 anys de la mort d’un dels matemàtics anglesos més importants abans de l’aparició d’Isaac Newton. Seguint les paraules de Howard Eves a la seva An Introduction to the History of Mathematics, Wallis va néixer en 1616 i va ser un dels matemàtics més hàbils i originals de la seva època i un escriptor erudit en diversos camps. Va ser alumne de William Oughtred (1574-1660) i en 1649 va ser nomenat professor de geometria a Oxford en una plaça que mantindria fins el dia de la seva mort, el 28 d’octubre de 1703. Va introduir les sèries numèriques en l’anàlisi matemàtica i la seva tasca en aquest camp va fer molt en la preparació del camí del gran Newton.

Wallis va ser un dels primers en estudiar les còniques com a corbes de segon grau en lloc d’únicament com les seccions d’un con recte. En 1655 va publicar la seva Arithmetica infinitorum (dedicada a Oughtred), llibre que va esdevenir un tractat habitual en les lliçons d’aritmètica durant força anys. En aquesta obra hi trobem que l’àrea compresa per la corba y = xn. l’eix d’abscisses i les ordenades x = 0 i x = 1 és 1/(1+n) per qualsevol n racional diferent de -1. També va ser el primer en explicar amb tot detall el significat dels exponents racionals i dels negatius i va introduir el símbol actual per l’infinit.

Va aproximar el valor de pi mitjançant sèries infinites com la trobada en el càlcul de l’àrea d’un quadrant de cercle:

Pi/4 = (2·4·4·6·6·…)/(3·3·5·5·7·…)

a partir d’anar avaluant l’àrea entre les abscisses 0 i 1 de les corbes y = (1 – x2)n per n = 0, 1, 2…

Respecte del pintor: Sir Godfrey Kneller va néixer el 8 d’agost de 1646 a Lübeck, Alemanya. Va estudiar al costat de pintors de la talla de Ferdinand Bol (1616-1680) i Rembrandt van Rijn (1606-1669) esdevenint posteriorment un dels grans retratistes dels segles XVII-XVIII. Sempre va estar al costat de grans reis europeus com Guillem III d’Orange, Carles II i George I d’Anglaterra i va arribar a ostentar un títol nobiliari. Unes febres molt fortes el van portar a la mort el 19 d’octubre de 1723 i va ser enterrat a l’església de Twickenham.

B.DU MONT. “Ulugh Beg”, Investigación y Ciencia – Temas 41: Ciencia medieval, pàgs. 52-61

 559è ANIVERSARI DE LA MORT D’ULUGH BEG

El tercer número de la revista Temas d'”Investigación y ciencia” de l’any 2005 va estar dedicat a la ciència medieval. L’exemplar està dividit en tres grans blocs: Medicina i Ciències Naturals, Astronomia i, el tercer, Arquitectura i Tècnica. Dins del segon bloc, l’astronomia islàmica i Ulugh Beg són els grans protagonistes i m’ha semblat addient dedicar avui a aquest personatge el post d’avui, donat que estem en el 559è aniversari de la seva mort. Segurament, el número 559 no és l’ideal per celebrar res ja que estem acostumats a celebrar centenaris i dates de les quals fa 25, 50 o 75 anys que han passat però mira, sempre és interessant fer un cop d’ull al passat amb qualsevol excusa. Per cert, 559 és igual a 13 per 43 amb el que, si algú no està convençut, és una xifra d’anys molt bonica i curiosa.

L’article comença amb la següent frase la qual és tota una declaració d’intencions: “Uno de los astrónomos más famosos de Oriente en el siglo XV, este soberano hizo construir en Samarcanda un gran observatorio astronómico y realizó una competente investigación del firmamento“. La introducció està dedicada a Timur Lang (1337-1405), avi d’Ulugh Beg, qui va ser un militar mongol que va aconseguir restaurar l’antic imperi del gran Ghengis Khan: va invair i aniquilar tots els estats àrabs des de les muntanyes Urals fins a Síria i des de Turquia fins a l’Índia. Timur Lang va fer de Samarcanda la seva capital i a ella feia traslladar a tots els filòsofs, científics, arquitectes i matemàtics que trobava a les ciutats que arrassava, violava i aniquilava amb el que Samarcanda va esdevenir un dels centres culturals més importants del món. A més a més, la destrucció de les ciutats capdals de la ruta de la seda van provocar que tot el comerç passés per la nova capital amb el que va passar a ser el nus comercial per la que totes les caravanes europees, xineses i índies havien de passar. Timur Lang va escollir com a futur sobirà pel seu gran imperi al seu net, un tal Muhammad Taragau, nascut el 22 de març de 1394 a Sultanieh i que de seguida va adoptar el nom  de Gran Príncep, és a dir, Ulugh Beg. Malgrat que a l’edat de 10 anys el van casar amb una princesa mongola, Ulugh Beg va instruir-se en una cort d’elevat nivell cultural i va adquirir coneixements en matemàtiques, astronomia, filosofia, política, història, medicina i literatura àrab i persa amb les quals es va fer càrrec de l’imperi a la mort del seu pare en 1409. Ulugh Beg va rebre un estat política i administrativament molt ben organitzat i va proseguir la construcció de canals, vies de circulació, parcs, mesquites, madrasses, palaus… convertint Samarcanda en una de les més boniques ciutats del continent. Tanmateix, la feina com a cap d’estat no va impedir que se seguís dedicant a l’estudi.

Ulugh Beg observatory.JPGL’article continua amb un apartat dedicata a les “madrasses d’Ulugh Beg”. Els edificis construïts per Ulugh Beg ens donen una idea de l període en el qual va governar. Les madrasses eren escoles superiors on els alumnes quedaven internats i les que ell va fer construir són un símbol d’hegemonia i bonança econòmica. Se sap que a la madrassa de Samarcanda s’ensenyava teologia, astronomia, matemàtiques, lògica, geometria, geografia, medicina, dret, història, literatura i poesia i la llegenda li atribueix una biblioteca de 15.000 llibres. Fins i tot les dones van poder entrar en algunes d’aquestes madrasses malgrat que és molt difícil saber en quines condicions.

Els astrònoms col·laboradors d’Ulugh Beg també són objecte d’estudi: “el poeta persa Jameh (1414-1492) asistió a las lecciones de Salah al-Milla al-Din Musa, que provenía de Anatolia y que, por esta razón, era llamado Kazi Zadeh al-Rumi (1364-1436). Enviado por su maestro al-Fanari a Samarcanda, se encontró, entrado ya en los cuarenta años, en 1410, con Ulugh Beg, quien lo nombró profesor suyo y astrónomo principal“. Aquest personatge va escriure un Comentari al tractat sobre l’obra astronòmica d’al-Khwârizmî de Xagmini (m. 1220) i també un tractat sobre la determinació de la direcció de la Meca i el càlcul de la determinació del sin 1º. Tanmateix, el personatge dels cercles d’Ulugh Beg que mereix més renom és Jamshïd al-Dîn al-Kashî (1380-1429) a qui l’artile li dedica un parell de columnes.

Ulugh-beg Madrassa courtyard.JPGA partir d’aquí, l’obra d’Ulugh Beg en sí és la gran protagonista. En 1908 es va descobrir l’observatori que va fer fundar on es conserva encara el sextant Fahrí que s’hi va construir. Només hi queda la part soterrada en un soterrani de 2,5 metres d’ample i una profunditat d’11 metres. Entre les dues parets laterals (primera figura: imatge de Commons) hi ha un doble arc meridià de plaques de marbre d’un gruix de deu centímetres que contenen una escala graduada d’altures. En un dels arcs es distingeixen graduacions amb xifres àrabs i s’hi pot observar la graduació des de 58º a 81º.

La gran obra astronòmica d’Ulugh Beg és el seu zîj: unes taules astronòmiques amb unes instruccions de construcció i ús. Aquesta obra és el resultat complert de 30 anys d’observacions i representa el tractat d’astronomia de més precisió fins al moment. L’article descriu detalladament cadascun dels quatre llibres del zîj: el primer dedicat als càlculs del calendari, el segon, obra d’al-Kashî, dedicat a la trigonometria plana i esfèrica; el tercer on es troba un catàleg d’estrelles que conté observacions fins el 28 de gener de 1444 i; l’últim, dedicat  a l’astrologia matemàtica.

No explicaré el final de l’article que dedica dos petits apartats a la divulgació de les taules d’Ulugh Beg i a la decadència de l’astronomia a Samarcanda però, donat que conmemorem els 559 anys de la seva mort, sí faré referència a l’apartat sobre aquest tema. “Cuando el 12 de marzo de 1447 murió Shah Ruj en el oeste de Persia, Gauher Shad colocó a Abd al-Latif, hijo de Ulugh Beg, al frente del ejército. Como único hijo vivo de Shah Ruj y único nieto de Timur, Ulugh Beg exigió el mando del imperio mongol, pero no encontró apoyo. En las luchas sucesorias se alió Abd al-Latif con Hodsha Ubaidullah Akrar, jefe de la orden de Nakshband. El pulso lo ganó Abd al-Latif contra su padre. Ulugh Beg y su hijo Abd al-Aziz se rindieron al vencedor. Aquél pidió gracia y prometió que únicamente se dedicaría a la ciencia. Abd al-Latif se lo concedió y lo mandó de peregrinación a La Meca. Pero, a la vez y a escondidas de Ulugh Beg, convocó un juicio según la sharia. Los dignatarios religiosos elaboraron un decreto según el cual los imanes nombrados por Ulugh Beg en Samarcanda debían devolver sus credenciales. Además, reconocieron a un comerciante llamado Abbas, cuyo padre había sido ajusticiado por Ulugh Beg, el derecho a la venganza de sangre. Ya durante el primer día de la peregrinación, el 27 de octubre de 1449, Ulugh Beg, acompañado de una pequeña escolta, fue desviado mediante engaño hacia la aldea de Begum, 15 kilkómetros al sur de Samarcanda, donde lo esperaban Abbas y los suyos. El vengador lo decapitó de un solo golpe de espada. La cabeza de Ulugh Beg fue expuesta sobre el iwan de su madrasa en Samarcanda“. Amb aquesta cruel imatge va acabar la vida d’un dels sobirans que més va fer per la ciència. Si algun dia aneu a Samarcanda podreu admirar la seva obra. Quan hi estigueu davant, sobraran les paraules per definir-la.

“Galileu Galilei”, al Youtube (I)

Al canal de Historia (http://www.canaldehistoria.es/es/index2.php), van emetre un interessant documental titulat “Galileo y el telescopio del pecado”, presentat per l’americà Hunter Ellis. Veient-lo, podem seguir una mica de la història que va viure l’italià en la cort papal i que el va portar a haver de renegar de la seva obra. La versió que poso aquí és la que he trobat al Youtube.

Habiliteu el Javascript i el Flash per veure aquest Flash video.

Continua al següent post.

 

“L’últim sopar”, un quadre de Salvador Dalí (1955)

Si algun dia visiteu Washington no us podeu perdre la National Gallery of Art (http://www.nga.gov/) on podreu gaudir d’una de les obres d’un dels nostres pintors més universals, Salvador Dalí (1904-1989). El quadre L’últim sopar el va pintar en 1955 i en ell representa la famosa escena bíblica sota una volta dodecaèdrica, símbol platònic de Déu. Dalí va representar a un Jesucrist transparent, ros, sense barba i ensenyant un pit, una imatge completament atípica al que estem acostumats.

Respecte del pintor: la vida de Dalí representa el surrealisme en ella mateixa: als cinc anys els seus pares el van portar a la tomba d’un germà seu i li van dir que ell era la seva reencarnació. La passió per la pintura li va venir de petit i als 12 anys ja pintava al taller de l’artista Ramon Pichot i als 15 va poder exposar la seva obra a Figueres. Als 18 es va traslladar a Madrid per estudiar a la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando on va coincidir amb personatges com Garcia Lorca i Buñuel. Les seves excentricitats cada cop més incipients van provocar la seva expulsió de l’Academia ja que ell no considerava que cap professor fos prou competent com per avaluar-lo.

L.EULER. Elements d’Àlgebra (I)

Leonhard Euler by Handmann .pngQuan Leonhard Euler tenia 63 anys, va veure la llum els seus Elements d’Àlgebra (1770), publicats en alemany per la Reial Acadèmia de les Ciències de Sant Petersburg. El llibre fa un repàs a diversos temes aritmètics, algebraics i d’anàlisi com són les potències i arrels, els logaritmes, les progressions aritmètiques i geomètriques, la resolució d’equacions… L’obra està estructurada en dues parts, la primera dedicada a l'”anàlisi de quantitats determinades” i la segona dedicada a les “indeterminades”. Per començar a fer-nos una idea de l’abast del llibre, aquí us deixo la traducció al català del primer capítol de la primera seció (“sobre els diferents mètodes de càlcul de quantitats simples”) de la primera part:

Capítol I: Sobre les Matemàtiques en general

Article I: Anomenem magnitud o quantitat a tot allò que pot créixer o decréixer. Una suma de diners és doncs una quantitat ja que la podem fer augmentar o disminuir. Passa el mateix amb el pes i altres coses d’aquesta naturalesa.

2. És evident a partir d’aquesta definició que els diferents tipus de magnituds són tan variats que ens provoca gran dificultat per poder-les enumerar: i això és l’origen de les diferents branques de la Matemàtica, cadascuna de les quals dedicada a un tipus particular de magnitud. Les Matemàtiques, en general, és la ciència de la quantitat; o, la ciència que investiga els significats de la mesura de la quantitat.

3. Ara, no podem mesurar o determinar cap quantitat excepte si considerem alguna altra quantitat del mateix tipus com coneguda i assenyalant la seva mútua relació. Per exemple, si fos proposat que es determinés la quantitat d’una suma de diners, hauríem de prendre alguna peça monetària coneguda com és un lluís, una corona, un ducat o qualsevol altra moneda i trobar quantes d’elles estan contingudes en la suma donada. De la mateixa manera, si fos proposada la determinació d’una quantitat de pes, hauríem de prendre un cert pes conegut; per exemple, una lliura, una unza, etc. i aleshores mirar quantes vegades un d’aquests pesos està contingut en el que volem trobar. Si volem mesurar una longitud o extensió, hem d’usar una longitud coneguda tal com el peu.

4. Per tant, la determinació o mesura de les magnituds de qualsevol tipus es redueix a: fixar una certa magnitud coneguda de la mateixa espècie que la que volem determinar i considerar-la com si fos la mesura o unitat; aleshores, determinar la proporció de la magnitud proposada respecte de la magnitud coneguda. Aquesta proporció està sempre representada pels nombres; per tant, un nombre no és res més que la proporció d’una magnitud respecte d’una altra d’arbitrària la qual s’assumeix com la unitat.

5. D’això se’n desprèn que totes les magnituds han de ser expressades amb nombres i que la fundació de totes les Ciències Matemàtiques ha de partir d’un tractat complet sobre els nombres i d’un examen acurat dels possibles mètodes de càlcul diferents. Aquesta part fonamental de les matemàtiques s’anomena Anàlisi o Àlgebra.

6. En Àlgebra doncs, considerem només els nombres que representen quantitats sense reparar en els diferents tipus de quantitats. Aquests són l’objecte d’estudi d’altres branques de les matemàtiques.

7. L’Aritmètica tracta els nombres en particular i és la ciència dels nombres pròpiament dita; però aquesta ciència s’extén només a certs mètodes de càlcul que passen a la pràctica habitual: l’Àlgebra, pel contrari, comprèn en general tots els casos que poden existir en la doctrina i el càlcul dels nombres.

 

PLATÓ – El Timeu (II)

La narració de Timeu segueix amb l’assignació de cadascun dels políedres regulars als quatre elements fonamentals. Ja ha deixat clar que el cinquè cos es correspon amb l’univers i, per tant, el dodecàedre no entra en aquest repartiment. Les paraules de Timeu són les següents:

En primer lloc, tractaré la figura primera i més petita l’element de la qual és el triangle que té una hipotenusa d’una extensió que és el doble del costat menor. Quan s’uneixen dos d’aquests per la hipotenusa i això succeeix tres vegades de manera que les hipotenuses i els catets menors s’orientin cap a un mateix punt com a centre, es genera un triangle equilàter dels sis. La unió de quatre triangles equilàters segons tres angles plans genera un angle sòlid, el següent del més obtús dels angles plans. Quatre angles d’aquests generen la primera figura sòlida la qual divideix tota la superfície de l’esfera en parts iguals i semblants. El segon element es composa dels mateixos triangles quan s’uneixen vuit triangles equilàters i es construieix un angle sòlid a partir de quatre angles plans. Quan s’han generat sis d’aquests angles, es completa així el segon cos. El tercer cos neix de cent vint elements ensamblats i dotze angles sòlids, cadascun d’ells rodejat de cinc triangles equilàters plans i amb vint triangles equilàters per base. La funció d’un dels triangles elementals es va completar quan va generar aquests elements; el triangle isòsceles, d’altra banda, va generar el quart element, per composició de quatre triangles i reunió dels seus angles rectes en el centre per formar un quadrat equilàter. La reunió de sis figures semblants d’aquest tipus va produir vuit angles sòlids cadascun d’ells composat segons tres angles plans rectes. La figura del cos creat va ser cúbica amb sis cares de quadrats equilàters. Però encara hi havia una cinquena composició, el déu la va fer per a l’univers quan el va pintar. […] Assignem doncs la figura cúbica a la terra ja que és la menys mòbil dels quatre tipus i la més maleable d’entre els cossos i és de tota necessitat que tals qualitats les posseeixi l’element que tingui les cares més estables. Entre els triangles suposats al començament, la superfície de costats iguals és per naturalesa més segura que la de costats desiguals i la superfície quadrada formada per dos equilàters està sobre la seva base necessàriament de forma més estable que un triangle, tant en les seves parts com en el conjunt. Per tant, si atribuïm aquesta figura a la terra salvem el discurs probable i, a més a més, de la resta, a l’aigua, la que es mou amb menys dificultat; la més mòbil, al foc i la intermitja, l’aire i, un altre cop, la més petita, al foc, la més gran a l’aigua i la mitjana a l’aire i, finalment, la més aguda al foc, la segona més aguda a l’aire i la tercera a l’aigua. En tot això és necessari que la figura que té les cares més petites sigui per naturalesa la més mòbil, la més tallant i aguda de totes en tot sentit i, a més a més, la més liviana, doncs està composada del mínim nombre de parts semblants, i que la segona tingui aquestes mateixes qualitats en segon grau i la tercera, en tercer. Sigui doncs segons el raonament correcte i el probable, la figura sòlida de la piràmide element i llavor del foc, diguem que la segona en la generació correspon a l’aire i la tercera, a l’aigua.

P.FERMAT – L’equació de Pell (II)

El mateix mes de febrer de 1657, Fermat va enviar una carta a Bernanrd Frénicle de Bessy (c. 1606 – 1675) preguntant-li el mateix problema:

Cada nombre no quadrat és de tal naturalesa que un pot trobar una infinitud de quadrats pels quals pots multiplicar el nombre donat i si li afegeixes una unitat, obtenir un quadrat per resultat.

Per exemple: 3 és un nombre no quadrat que si multipliquem pel quadrat 1, dóna 3, i afegint-li la unitat, dóna 4, que és un quadrat.

El mateix 3, multiplicat per 16, que és un quadrat, dóna 48 i amb la unitat afegida dóna 49, que és un quadrat.

Hi ha una infinitud de quadrats que multiplicats pel 3 amb una unitat afegida donen un nombre quadrat.

Demano una regla general, -donat un  nombre no quadrat, trobar quadrats que multiplicats per un nombre donat donin un quadrat a l’afegir-los a una unitat.

Per exemple, quin és el menor quadrat que multiplicat per 61 amb una unitat afegida donarà un quadrat? A més a més, quin és el menor quadrat que multiplicat per 109 amb una unitat afegida donarà un quadrat?

Si no em dones la solució general, aleshores dóna una solució particular d’aquests dos casos els quals, els he escollit petits per tal de no posar gran dificultat. Després que hagi rebut la teva resposta, et proposaré una anltra matèria. No cal dir que la meva proposició és trobar enters que resolguin la qüestió ja que en el cas de les fraccions, el pitjor dels aritmètics podria trobar la solució.

Com a curiositat es pot dir que el matemàtic francès Frénicle de Bessy es va dedicar a la teoria de nombres i va ser capaç de resoldre molts dels problemes plantejats per Fermat.