Arxiu mensual: octubre de 2008

L.PACIOLI. La Divina Proporción (I)

La divina proporción - Pacioli, LucaL’any 1987, Akal va editar en castellà aquesta obra de Luca Pacioli de 1509. El llibre comença amb una introducció biogràfica d’Antonio Manuel González que és força bona. Ens diu que Pacioli neix en 1445 a la localitat toscana de Borgo San Sepolcro on hi passa la seva joventut. Sabem que el seu pare es deia Bartolomeo i un dels seus tiets, Benedetto. Va ser aprenent a la casa de la família de Folco de Belfolci i va esdevenir amic del pintor Piero della Francesca, qui no parava d’anar a Borgo contínuament. Aquest contacte va introduir Pacioli a la cort dels Urbino, on el duc Federico de Montefeltro tenia una gran biblioteca. Cap als 20 anys es va traslladar a Venècia per treballar al costat del mercader Antonio Rompiasi com a preceptor dels seus dos fills. Va aprofitar la seva estada a la ciutat dels canals per anar a les lliçons públiques de matemàtiques de Doménico Bragadino i per convertir-se en tot un expert en aritmètica mercantil. Cap els 25 anys el trobem instal·lat a Roma on gràcies a della Francesca, va ser introduït a la cort papal. Va freqüentar l’alta societat romana i els cercles del cardenal Riario, molt interessat en les obres de l’arquitecte Vitrubi. En 1472 entra en l’ordre dels Franciscans Menors i tres anys més tard, esdevé lector de matemàtiques a Perugia on és contractat per 30 fiorins anuals durant un període de dos anys. En 1481 el trobem a la localitat dàlmata de Zarar on escriu un tractat d’àlgebra i després d’una breu estada a Florència, obté a Perugia el títol de Magíster que li dóna dret a obtenir una càtedra a la universitat. Ell mateix ens diu que donada la seva fràgil salut i l’esgotament en el que es trobava, abandona la docència i en 1488 el trobem a casa del bisbe de Carpentrasso a Roma fent de prelat. Dos anys més tard, viatja a Nàpols per tornar a la vida acadèmica i ensenyar matemàtiques i teologia i construir una col·lecció de políedres regulars que regalarà a Guidubaldo de Montefeltro. De 1490 a 1493 retorna a Borgo de San Sepolcro i prepara la seva Summa de Arithmetica i en 1493 dóna lliçons de geometria i aritmètica a Pàdua. En 1494 torna a Venècia i imprimeix la versió final de la Summa, obra que esdevindrà una autèntica enciclopèdia matemàtica. Retorna a Urbino d’on és la famosa pintura que el retracta demostrant un teorema d’Euclides. En aquesta introducció podem llegir les diferents versions sobre l’autoria del quadre. En 1496 accepta la invitació de Ludovico Sforza per anar a Milà a ensenyar matemàtiques. De seguida es fa amic de Leonardo da Vinci i producte d’aquesta relació neix el llibre De divina proportione (acabat el 14 de desembre de 1497) on Leonardo li va pintar els 60 cossos que hi estan representats. La caiguda de Ludovico el Moro en 1499 fa que tots dos se’n vagin de Milà i acabin a la cort de Màntova i després a Venècia i Florència. Pacioli comença a viatjar i a ensenyar a diferents universitats com Pisa (1500), Perugia (1500), Bologna (de 1501 a 1502) i, finalment, Florència (de 1502 a 1505) on compta amb la protecció i amistat de Pietro Soderini. En 1505 torna a la cort romana del vicecanciller Galeotto Franciotti i s’hi queda fins 1508, moment en el que retorna a Venècia per preparar la impressió de la seva versió dels Elements d’Euclides. També prepara la impressió del De divina proportione que s’imprimirà en 1509. El final de Pacioli comença amb el seu nou trasllat a Perugia i en febrer de 1510 és nomenat comissari del monestir de Borgo de San Sepolcro. El 21 de novembre de 1511 redacta un nou testament i en 1514 es trasllada a Roma sota el requeriment del papa Lleó X per a fer-se càrrec de la càtedra de matemàtiques de la Sapienza. Va morir a Borgo de San Sepolcro cap a l’any 1517.

“Arquimedes”, un quadre de José de Ribera (1630)

La vida d’Arquimedes de Siracussa se situa aproximadament entre els anys 287 i 212 aC i va ser considerat l’alfa dels grecs, és a dir, el número 1 per davant del beta Eratóstenes de Cirene. Va heretar la seva passió per les matemàtiques del seu pare, l’astrònom Fídies. La seva vida és un cúmul de llegendes que és difícil saber si són veritat o mentida. Sembla ser que va estudiar a l’Alexandria de la famosa biblioteca i que allí va poder posar-se en contacte amb els grans matemàtics i científics del moment com el mateix Eratóstenes i, per què no, el gran Euclides. La seva gran reputació el devien catapultar a alts càrrecs de la cort i de l’exèrcit i se li atribueixen diversos invents d’artilugis militars que van fer de Siracussa una ciutat inexpugnable. A la història de la física el seu nom va lligat al prinipi que va descobrir i al seu famós “Eureka”. El rei Hieró de Siracussa estava molt preocupat perquè havia encarregat a un joier que li construís una corona amb un lingot d’or. Al rebre la comanda, el monarca devia posar mala cara perquè va veure que la corona no semblava pesar la quantitat d’or que havia donat al joier. Què podia fer? Hieró va encarregar a Arquimedes que aconseguís trobar un mètode per poder decidir la veritat de la qüestió ja que no hi havia cap persona que fos capaç de fer-ho. Arquimedes es va dedicar en os i ànima dia i nit per trobar la solució del problema però la resposta no arribava. Un cert dia, mentre es relaxava a la banyera de casa seva, va observar que tal com es ficava dins de l’aigua, el nivell de l’aigua pujava de manera proporcional a la porció de cos que hi anava submergint. Arquimedes va veure la solució i de l’emoció, va sortir al carrer despullat com estava cridant ‘Eureka, Eureka’. Si la corona estava construïda amb el mateix lingot d’or que se li havia donat al joier, al submergir-la en una banyera, el nivell de l’aigua hauria de pujar fins la mateixa alçada que al submergir en la mateixa banyera una peça d’or igual que l’inicial. No sabem quina sort va córrer el joier però segurament devia sortir fugint de Siracussa ja que en aquelles èpoques era molt habitual que les comissions dels joiers es vegessin complementades amb sobresous provinents dels metalls que treballaven.

Respecte del pintor: José de Ribera, més conegut com “Lo Spagnoletto” va néixer a Xàtiva en 1591. Va estudiar pintura al taller de Francisco Ribalta i en 1616 es va instal·lar a Nàpols després de visitar i treballar a diverses ciutats italianes. Un cop establert, comencen els seus anys més prolífics (1620-1630). Va pintar segons el tenebrisme i va esdevenir un dels pintors més importants de l’escena europea del segle XVII.

L.EULER. Elements d’Àlgebra (II)

Seguim aquí amb la primera part del segon capítol dels Elements d’Àlgebra (1770) de Leonhard Euler. Després d’haver introduït l’aritmètica i l’àlgebra al primer capítol I, en aquest segon capítol explica les operacions de nombres enters on només hi apareixen sumes i restes i acaba amb la definició de nombres enters. Vegem-ho:

Capítol II: explicació dels signes + més i – menys

8. Quan hem d’afegir un nombre donat a un altre, això és indicat amb el signe + el qual situarem abans del segon nombre, i el llegirem om més. Així, 5+3 significa que hem d’afegir 3 al nombre 5 i, en aquest cas, tothom sap que el resultat és 8. De la mateixa manera 12 + 7 fan 19; 25 + 16 fan 41; la suma de 25 + 41 és 66, etc.

9. També podem fer ús del mateix signe + més per connectar diversos nombres junts; per exemple, 7 + 5 + 9 significa que al nombre 7 li afegim 5 i també 9, que fan 21. El lector podrà aleshores entendre per 8 + 5 + 13 + 11 + 1 + 3 + 10, la suma de tots aquests nombres la qual és 51.

10. Tot això és evident i només hem de mencionar que en Àlgebra, per tal de generalitzar els nombres, els representem per lletres tals com a, b, c, d, etc. Així, l’expressió a + b significa la suma de dos nombres els quals estan representats per a i b i aquests nombres poden ser molt grans o molt petits. De la mateixa manera, f + m + b + x significa la suma de quatre nombres representats per aquestes quatre lletres. Per tant, si sabem que els nombres estan representats per lletres, podrem sempre trobar per l’aritmètica la suma o valor d’aquestes expressions.

11. Pel contrari, quan se’n demana restar un nombre donat d’un altre, aquesta operació és representada pel signe – menys que significa menys i s’ha de posar  abans del nombre que ha de ser restat; així, 8 – 5 significa que el nombre 5 ha de ser restat del 8 i, al fer-ho, s’obté 3. De la mateixa manera, 12 – 7 dóna 5; i 20 – 14 dóna 6, etc.

12. Algunes vegades, podem tenir diversos nombres per ser restats d’un d’únic com, per exemple, 50 – 1 – 3 – 5 – 7 – 9. Això significa que, primer, resta 1 de 50 i donarà 49; resta 3 del resultat i tindrem 46; resta-li 5 i dóna 41; resta-li 7 i dóna 34; finalment, resta-li 9 i dóna 25: aquest últim resultat és el valor de l’expressió. Però els nombres 1, 3, 5, 7, 9 estan tots per ser restats i és el mateix que si restem la seva suma la qual és 25 d’un sol cop al 50 i el resultat serà 25 com abans.

13. És també fàcil determinar el valor d’expressions similars en les quals estan els dos signes + més i – menys. Per exemple, 12 – 3 – 5 + 2 – 1 és el mateix que 5. Només hem d’ajuntar per separat els nombres que tenen + davant d’ells i restar d’ells la suma dels que tenen – davant d’ells. Així, la suma de 12 i 2 és 14 i la de 3, 5 i 1 és 9. Per tant, 9 restat de 14 és 5.

14. D’aquests exemples es pot observar que l’ordre en el qual escrivim els nombres és perfectament indeferents i arbitrari, provist del signe en cadascun dels casos. Podríem haver escrit de la mateixa manera en l’article precedent 12 + 2 – 5 – 3 -1 o 2 – 1 – 3 – 5 + 12 o 2 `+ 12 – 3 – 1 – 5 o en altres ordres; ha de ser observat que en la primera expressió posada, el signe + se suposa que està davant del 12.

Continuarà…

“John Wallis”, un quadre de Godfrey Kneller (1701)

John Wallis 305è ANIVERSARI DE LA MORT DE JOHN WALLIS

Avui fa 305 anys de la mort d’un dels matemàtics anglesos més importants abans de l’aparició d’Isaac Newton. Seguint les paraules de Howard Eves a la seva An Introduction to the History of Mathematics, Wallis va néixer en 1616 i va ser un dels matemàtics més hàbils i originals de la seva època i un escriptor erudit en diversos camps. Va ser alumne de William Oughtred (1574-1660) i en 1649 va ser nomenat professor de geometria a Oxford en una plaça que mantindria fins el dia de la seva mort, el 28 d’octubre de 1703. Va introduir les sèries numèriques en l’anàlisi matemàtica i la seva tasca en aquest camp va fer molt en la preparació del camí del gran Newton.

Wallis va ser un dels primers en estudiar les còniques com a corbes de segon grau en lloc d’únicament com les seccions d’un con recte. En 1655 va publicar la seva Arithmetica infinitorum (dedicada a Oughtred), llibre que va esdevenir un tractat habitual en les lliçons d’aritmètica durant força anys. En aquesta obra hi trobem que l’àrea compresa per la corba y = xn. l’eix d’abscisses i les ordenades x = 0 i x = 1 és 1/(1+n) per qualsevol n racional diferent de -1. També va ser el primer en explicar amb tot detall el significat dels exponents racionals i dels negatius i va introduir el símbol actual per l’infinit.

Va aproximar el valor de pi mitjançant sèries infinites com la trobada en el càlcul de l’àrea d’un quadrant de cercle:

Pi/4 = (2·4·4·6·6·…)/(3·3·5·5·7·…)

a partir d’anar avaluant l’àrea entre les abscisses 0 i 1 de les corbes y = (1 – x2)n per n = 0, 1, 2…

Respecte del pintor: Sir Godfrey Kneller va néixer el 8 d’agost de 1646 a Lübeck, Alemanya. Va estudiar al costat de pintors de la talla de Ferdinand Bol (1616-1680) i Rembrandt van Rijn (1606-1669) esdevenint posteriorment un dels grans retratistes dels segles XVII-XVIII. Sempre va estar al costat de grans reis europeus com Guillem III d’Orange, Carles II i George I d’Anglaterra i va arribar a ostentar un títol nobiliari. Unes febres molt fortes el van portar a la mort el 19 d’octubre de 1723 i va ser enterrat a l’església de Twickenham.

B.DU MONT. “Ulugh Beg”, Investigación y Ciencia – Temas 41: Ciencia medieval, pàgs. 52-61

 559è ANIVERSARI DE LA MORT D’ULUGH BEG

El tercer número de la revista Temas d’”Investigación y ciencia” de l’any 2005 va estar dedicat a la ciència medieval. L’exemplar està dividit en tres grans blocs: Medicina i Ciències Naturals, Astronomia i, el tercer, Arquitectura i Tècnica. Dins del segon bloc, l’astronomia islàmica i Ulugh Beg són els grans protagonistes i m’ha semblat addient dedicar avui a aquest personatge el post d’avui, donat que estem en el 559è aniversari de la seva mort. Segurament, el número 559 no és l’ideal per celebrar res ja que estem acostumats a celebrar centenaris i dates de les quals fa 25, 50 o 75 anys que han passat però mira, sempre és interessant fer un cop d’ull al passat amb qualsevol excusa. Per cert, 559 és igual a 13 per 43 amb el que, si algú no està convençut, és una xifra d’anys molt bonica i curiosa.

L’article comença amb la següent frase la qual és tota una declaració d’intencions: “Uno de los astrónomos más famosos de Oriente en el siglo XV, este soberano hizo construir en Samarcanda un gran observatorio astronómico y realizó una competente investigación del firmamento“. La introducció està dedicada a Timur Lang (1337-1405), avi d’Ulugh Beg, qui va ser un militar mongol que va aconseguir restaurar l’antic imperi del gran Ghengis Khan: va invair i aniquilar tots els estats àrabs des de les muntanyes Urals fins a Síria i des de Turquia fins a l’Índia. Timur Lang va fer de Samarcanda la seva capital i a ella feia traslladar a tots els filòsofs, científics, arquitectes i matemàtics que trobava a les ciutats que arrassava, violava i aniquilava amb el que Samarcanda va esdevenir un dels centres culturals més importants del món. A més a més, la destrucció de les ciutats capdals de la ruta de la seda van provocar que tot el comerç passés per la nova capital amb el que va passar a ser el nus comercial per la que totes les caravanes europees, xineses i índies havien de passar. Timur Lang va escollir com a futur sobirà pel seu gran imperi al seu net, un tal Muhammad Taragau, nascut el 22 de març de 1394 a Sultanieh i que de seguida va adoptar el nom  de Gran Príncep, és a dir, Ulugh Beg. Malgrat que a l’edat de 10 anys el van casar amb una princesa mongola, Ulugh Beg va instruir-se en una cort d’elevat nivell cultural i va adquirir coneixements en matemàtiques, astronomia, filosofia, política, història, medicina i literatura àrab i persa amb les quals es va fer càrrec de l’imperi a la mort del seu pare en 1409. Ulugh Beg va rebre un estat política i administrativament molt ben organitzat i va proseguir la construcció de canals, vies de circulació, parcs, mesquites, madrasses, palaus… convertint Samarcanda en una de les més boniques ciutats del continent. Tanmateix, la feina com a cap d’estat no va impedir que se seguís dedicant a l’estudi.

Ulugh Beg observatory.JPGL’article continua amb un apartat dedicata a les “madrasses d’Ulugh Beg”. Els edificis construïts per Ulugh Beg ens donen una idea de l període en el qual va governar. Les madrasses eren escoles superiors on els alumnes quedaven internats i les que ell va fer construir són un símbol d’hegemonia i bonança econòmica. Se sap que a la madrassa de Samarcanda s’ensenyava teologia, astronomia, matemàtiques, lògica, geometria, geografia, medicina, dret, història, literatura i poesia i la llegenda li atribueix una biblioteca de 15.000 llibres. Fins i tot les dones van poder entrar en algunes d’aquestes madrasses malgrat que és molt difícil saber en quines condicions.

Els astrònoms col·laboradors d’Ulugh Beg també són objecte d’estudi: “el poeta persa Jameh (1414-1492) asistió a las lecciones de Salah al-Milla al-Din Musa, que provenía de Anatolia y que, por esta razón, era llamado Kazi Zadeh al-Rumi (1364-1436). Enviado por su maestro al-Fanari a Samarcanda, se encontró, entrado ya en los cuarenta años, en 1410, con Ulugh Beg, quien lo nombró profesor suyo y astrónomo principal“. Aquest personatge va escriure un Comentari al tractat sobre l’obra astronòmica d’al-Khwârizmî de Xagmini (m. 1220) i també un tractat sobre la determinació de la direcció de la Meca i el càlcul de la determinació del sin 1º. Tanmateix, el personatge dels cercles d’Ulugh Beg que mereix més renom és Jamshïd al-Dîn al-Kashî (1380-1429) a qui l’artile li dedica un parell de columnes.

Ulugh-beg Madrassa courtyard.JPGA partir d’aquí, l’obra d’Ulugh Beg en sí és la gran protagonista. En 1908 es va descobrir l’observatori que va fer fundar on es conserva encara el sextant Fahrí que s’hi va construir. Només hi queda la part soterrada en un soterrani de 2,5 metres d’ample i una profunditat d’11 metres. Entre les dues parets laterals (primera figura: imatge de Commons) hi ha un doble arc meridià de plaques de marbre d’un gruix de deu centímetres que contenen una escala graduada d’altures. En un dels arcs es distingeixen graduacions amb xifres àrabs i s’hi pot observar la graduació des de 58º a 81º.

La gran obra astronòmica d’Ulugh Beg és el seu zîj: unes taules astronòmiques amb unes instruccions de construcció i ús. Aquesta obra és el resultat complert de 30 anys d’observacions i representa el tractat d’astronomia de més precisió fins al moment. L’article descriu detalladament cadascun dels quatre llibres del zîj: el primer dedicat als càlculs del calendari, el segon, obra d’al-Kashî, dedicat a la trigonometria plana i esfèrica; el tercer on es troba un catàleg d’estrelles que conté observacions fins el 28 de gener de 1444 i; l’últim, dedicat  a l’astrologia matemàtica.

No explicaré el final de l’article que dedica dos petits apartats a la divulgació de les taules d’Ulugh Beg i a la decadència de l’astronomia a Samarcanda però, donat que conmemorem els 559 anys de la seva mort, sí faré referència a l’apartat sobre aquest tema. “Cuando el 12 de marzo de 1447 murió Shah Ruj en el oeste de Persia, Gauher Shad colocó a Abd al-Latif, hijo de Ulugh Beg, al frente del ejército. Como único hijo vivo de Shah Ruj y único nieto de Timur, Ulugh Beg exigió el mando del imperio mongol, pero no encontró apoyo. En las luchas sucesorias se alió Abd al-Latif con Hodsha Ubaidullah Akrar, jefe de la orden de Nakshband. El pulso lo ganó Abd al-Latif contra su padre. Ulugh Beg y su hijo Abd al-Aziz se rindieron al vencedor. Aquél pidió gracia y prometió que únicamente se dedicaría a la ciencia. Abd al-Latif se lo concedió y lo mandó de peregrinación a La Meca. Pero, a la vez y a escondidas de Ulugh Beg, convocó un juicio según la sharia. Los dignatarios religiosos elaboraron un decreto según el cual los imanes nombrados por Ulugh Beg en Samarcanda debían devolver sus credenciales. Además, reconocieron a un comerciante llamado Abbas, cuyo padre había sido ajusticiado por Ulugh Beg, el derecho a la venganza de sangre. Ya durante el primer día de la peregrinación, el 27 de octubre de 1449, Ulugh Beg, acompañado de una pequeña escolta, fue desviado mediante engaño hacia la aldea de Begum, 15 kilkómetros al sur de Samarcanda, donde lo esperaban Abbas y los suyos. El vengador lo decapitó de un solo golpe de espada. La cabeza de Ulugh Beg fue expuesta sobre el iwan de su madrasa en Samarcanda“. Amb aquesta cruel imatge va acabar la vida d’un dels sobirans que més va fer per la ciència. Si algun dia aneu a Samarcanda podreu admirar la seva obra. Quan hi estigueu davant, sobraran les paraules per definir-la.

“Galileu Galilei”, al Youtube (I)

Al canal de Historia (http://www.canaldehistoria.es/es/index2.php), van emetre un interessant documental titulat “Galileo y el telescopio del pecado”, presentat per l’americà Hunter Ellis. Veient-lo, podem seguir una mica de la història que va viure l’italià en la cort papal i que el va portar a haver de renegar de la seva obra. La versió que poso aquí és la que he trobat al Youtube.

Habiliteu el Javascript i el Flash per veure aquest Flash video.

Continua al següent post.

 

“L’últim sopar”, un quadre de Salvador Dalí (1955)

Si algun dia visiteu Washington no us podeu perdre la National Gallery of Art (http://www.nga.gov/) on podreu gaudir d’una de les obres d’un dels nostres pintors més universals, Salvador Dalí (1904-1989). El quadre L’últim sopar el va pintar en 1955 i en ell representa la famosa escena bíblica sota una volta dodecaèdrica, símbol platònic de Déu. Dalí va representar a un Jesucrist transparent, ros, sense barba i ensenyant un pit, una imatge completament atípica al que estem acostumats.

Respecte del pintor: la vida de Dalí representa el surrealisme en ella mateixa: als cinc anys els seus pares el van portar a la tomba d’un germà seu i li van dir que ell era la seva reencarnació. La passió per la pintura li va venir de petit i als 12 anys ja pintava al taller de l’artista Ramon Pichot i als 15 va poder exposar la seva obra a Figueres. Als 18 es va traslladar a Madrid per estudiar a la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando on va coincidir amb personatges com Garcia Lorca i Buñuel. Les seves excentricitats cada cop més incipients van provocar la seva expulsió de l’Academia ja que ell no considerava que cap professor fos prou competent com per avaluar-lo.

L.EULER. Elements d’Àlgebra (I)

Leonhard Euler by Handmann .pngQuan Leonhard Euler tenia 63 anys, va veure la llum els seus Elements d’Àlgebra (1770), publicats en alemany per la Reial Acadèmia de les Ciències de Sant Petersburg. El llibre fa un repàs a diversos temes aritmètics, algebraics i d’anàlisi com són les potències i arrels, els logaritmes, les progressions aritmètiques i geomètriques, la resolució d’equacions… L’obra està estructurada en dues parts, la primera dedicada a l’”anàlisi de quantitats determinades” i la segona dedicada a les “indeterminades”. Per començar a fer-nos una idea de l’abast del llibre, aquí us deixo la traducció al català del primer capítol de la primera seció (“sobre els diferents mètodes de càlcul de quantitats simples”) de la primera part:

Capítol I: Sobre les Matemàtiques en general

Article I: Anomenem magnitud o quantitat a tot allò que pot créixer o decréixer. Una suma de diners és doncs una quantitat ja que la podem fer augmentar o disminuir. Passa el mateix amb el pes i altres coses d’aquesta naturalesa.

2. És evident a partir d’aquesta definició que els diferents tipus de magnituds són tan variats que ens provoca gran dificultat per poder-les enumerar: i això és l’origen de les diferents branques de la Matemàtica, cadascuna de les quals dedicada a un tipus particular de magnitud. Les Matemàtiques, en general, és la ciència de la quantitat; o, la ciència que investiga els significats de la mesura de la quantitat.

3. Ara, no podem mesurar o determinar cap quantitat excepte si considerem alguna altra quantitat del mateix tipus com coneguda i assenyalant la seva mútua relació. Per exemple, si fos proposat que es determinés la quantitat d’una suma de diners, hauríem de prendre alguna peça monetària coneguda com és un lluís, una corona, un ducat o qualsevol altra moneda i trobar quantes d’elles estan contingudes en la suma donada. De la mateixa manera, si fos proposada la determinació d’una quantitat de pes, hauríem de prendre un cert pes conegut; per exemple, una lliura, una unza, etc. i aleshores mirar quantes vegades un d’aquests pesos està contingut en el que volem trobar. Si volem mesurar una longitud o extensió, hem d’usar una longitud coneguda tal com el peu.

4. Per tant, la determinació o mesura de les magnituds de qualsevol tipus es redueix a: fixar una certa magnitud coneguda de la mateixa espècie que la que volem determinar i considerar-la com si fos la mesura o unitat; aleshores, determinar la proporció de la magnitud proposada respecte de la magnitud coneguda. Aquesta proporció està sempre representada pels nombres; per tant, un nombre no és res més que la proporció d’una magnitud respecte d’una altra d’arbitrària la qual s’assumeix com la unitat.

5. D’això se’n desprèn que totes les magnituds han de ser expressades amb nombres i que la fundació de totes les Ciències Matemàtiques ha de partir d’un tractat complet sobre els nombres i d’un examen acurat dels possibles mètodes de càlcul diferents. Aquesta part fonamental de les matemàtiques s’anomena Anàlisi o Àlgebra.

6. En Àlgebra doncs, considerem només els nombres que representen quantitats sense reparar en els diferents tipus de quantitats. Aquests són l’objecte d’estudi d’altres branques de les matemàtiques.

7. L’Aritmètica tracta els nombres en particular i és la ciència dels nombres pròpiament dita; però aquesta ciència s’extén només a certs mètodes de càlcul que passen a la pràctica habitual: l’Àlgebra, pel contrari, comprèn en general tots els casos que poden existir en la doctrina i el càlcul dels nombres.

 

PLATÓ – El Timeu (II)

La narració de Timeu segueix amb l’assignació de cadascun dels políedres regulars als quatre elements fonamentals. Ja ha deixat clar que el cinquè cos es correspon amb l’univers i, per tant, el dodecàedre no entra en aquest repartiment. Les paraules de Timeu són les següents:

En primer lloc, tractaré la figura primera i més petita l’element de la qual és el triangle que té una hipotenusa d’una extensió que és el doble del costat menor. Quan s’uneixen dos d’aquests per la hipotenusa i això succeeix tres vegades de manera que les hipotenuses i els catets menors s’orientin cap a un mateix punt com a centre, es genera un triangle equilàter dels sis. La unió de quatre triangles equilàters segons tres angles plans genera un angle sòlid, el següent del més obtús dels angles plans. Quatre angles d’aquests generen la primera figura sòlida la qual divideix tota la superfície de l’esfera en parts iguals i semblants. El segon element es composa dels mateixos triangles quan s’uneixen vuit triangles equilàters i es construieix un angle sòlid a partir de quatre angles plans. Quan s’han generat sis d’aquests angles, es completa així el segon cos. El tercer cos neix de cent vint elements ensamblats i dotze angles sòlids, cadascun d’ells rodejat de cinc triangles equilàters plans i amb vint triangles equilàters per base. La funció d’un dels triangles elementals es va completar quan va generar aquests elements; el triangle isòsceles, d’altra banda, va generar el quart element, per composició de quatre triangles i reunió dels seus angles rectes en el centre per formar un quadrat equilàter. La reunió de sis figures semblants d’aquest tipus va produir vuit angles sòlids cadascun d’ells composat segons tres angles plans rectes. La figura del cos creat va ser cúbica amb sis cares de quadrats equilàters. Però encara hi havia una cinquena composició, el déu la va fer per a l’univers quan el va pintar. [...] Assignem doncs la figura cúbica a la terra ja que és la menys mòbil dels quatre tipus i la més maleable d’entre els cossos i és de tota necessitat que tals qualitats les posseeixi l’element que tingui les cares més estables. Entre els triangles suposats al començament, la superfície de costats iguals és per naturalesa més segura que la de costats desiguals i la superfície quadrada formada per dos equilàters està sobre la seva base necessàriament de forma més estable que un triangle, tant en les seves parts com en el conjunt. Per tant, si atribuïm aquesta figura a la terra salvem el discurs probable i, a més a més, de la resta, a l’aigua, la que es mou amb menys dificultat; la més mòbil, al foc i la intermitja, l’aire i, un altre cop, la més petita, al foc, la més gran a l’aigua i la mitjana a l’aire i, finalment, la més aguda al foc, la segona més aguda a l’aire i la tercera a l’aigua. En tot això és necessari que la figura que té les cares més petites sigui per naturalesa la més mòbil, la més tallant i aguda de totes en tot sentit i, a més a més, la més liviana, doncs està composada del mínim nombre de parts semblants, i que la segona tingui aquestes mateixes qualitats en segon grau i la tercera, en tercer. Sigui doncs segons el raonament correcte i el probable, la figura sòlida de la piràmide element i llavor del foc, diguem que la segona en la generació correspon a l’aire i la tercera, a l’aigua.

P.FERMAT – L’equació de Pell (II)

El mateix mes de febrer de 1657, Fermat va enviar una carta a Bernanrd Frénicle de Bessy (c. 1606 – 1675) preguntant-li el mateix problema:

Cada nombre no quadrat és de tal naturalesa que un pot trobar una infinitud de quadrats pels quals pots multiplicar el nombre donat i si li afegeixes una unitat, obtenir un quadrat per resultat.

Per exemple: 3 és un nombre no quadrat que si multipliquem pel quadrat 1, dóna 3, i afegint-li la unitat, dóna 4, que és un quadrat.

El mateix 3, multiplicat per 16, que és un quadrat, dóna 48 i amb la unitat afegida dóna 49, que és un quadrat.

Hi ha una infinitud de quadrats que multiplicats pel 3 amb una unitat afegida donen un nombre quadrat.

Demano una regla general, -donat un  nombre no quadrat, trobar quadrats que multiplicats per un nombre donat donin un quadrat a l’afegir-los a una unitat.

Per exemple, quin és el menor quadrat que multiplicat per 61 amb una unitat afegida donarà un quadrat? A més a més, quin és el menor quadrat que multiplicat per 109 amb una unitat afegida donarà un quadrat?

Si no em dones la solució general, aleshores dóna una solució particular d’aquests dos casos els quals, els he escollit petits per tal de no posar gran dificultat. Després que hagi rebut la teva resposta, et proposaré una anltra matèria. No cal dir que la meva proposició és trobar enters que resolguin la qüestió ja que en el cas de les fraccions, el pitjor dels aritmètics podria trobar la solució.

Com a curiositat es pot dir que el matemàtic francès Frénicle de Bessy es va dedicar a la teoria de nombres i va ser capaç de resoldre molts dels problemes plantejats per Fermat.

“Claudi Ptolemeu”, una excentricitat del Youtube

L’altre dia, navegant pel Youtube, em vaig trobar amb una excentricitat digne de citar: no m’imaginava que el sistema epicicle-deferent que Apol·loni de Perga va inventar al segle III aC i que Ptolemeu va posar en pràctica en el seu Almagest donés tant de sí.

En primer lloc començarem explicant quin és aquest sistema que tant es va anar repetint al llarg de la història de l’astronomia. Per representar-lo, he agafat aquesta imatge de la pàgina web  http://nrumiano.free.fr/Ecosmo/cg_history.html perquè crec que il·lustar perfectament el model. The Ptolemaic systemPtolemeu creia que la Terra estava al centre de l’univers i que tots els planetes, el sol i la lluna giraven al seu voltant. El problema dels astrònoms és que, per exemple, si el sol rotés sempre a la mateixa velocitat, és a dir, amb el moviment circular uniforme predicat per Aristòtil, les quatre estacions de l’any haurien de ser iguals. A l’Almagest, Ptolemeu estudia perfectament la durada de les estacions i veu com la primavera i l’estiu en conjunt duren més que la tardor i l’hivern i que, la primavera és més llarga que l’estiu. Aquest fet fàcilment comprovable va fer que Ptolemeu col·loques al cel un sistema de deferents i epicicles que permetessin salvar la irregularitat aparent del moviment solar. A la il·lustració, mirem la situació dels planetes Mercuri i Venus. Així com la lluna i el sol estan situats sobre una circumferència de centre a la Terra, aquests dos planetes estan situats en una circumferència el centre de la qual està col·locat en una altra circumferència anomenada deferent. Ordenem les idees. Al voltant de la Terra, un punt virtual rota amb velocitat circular uniforme seguint una circumferència anomenada deferent. Al mateix temps, en aquest punt virtual col·loquem el centre d’una altra circumferència (que estarà contínuament rotant al voltant de la Terra) que anomenarem epicicle. Ara, fem que el planeta comenci a girar amb velocitat uniforme. El resultat final és que els planetes, vistos des de la Terra, no aniran sempre a la mateixa velocitat i que, fins i tot, en algun moment retrocediran en la seva trajectòria. Amb aquest procediment i un altre anomenat “equant”, Ptolemeu va ser capaç d’explicar amb gran precisió tots els moviments dels astres i aquests models van estar vigents fins que al segle XVII Johannes Kepler descobrís l’el·lipse en els cels.

Doncs bé, l’arxiu del Youtube parteix d’un article de R.Hanson titulat “The Mathematical Power of Epicyclical Astronomy” de la revista Isis 51 (1960), pàgs. 150-158, on l’autor defensa que es pot dibuixar qulsevol cosa a partir d’anar afegint epicicles i més epicicles. Els autors del video Carman i Serra, mitjançant 1.000 epicicles, han aconseguit dibuixar un dels personatges més característics de Springfield. Vegem-ho:

Habiliteu el Javascript i el Flash per veure aquest Flash video.

No és fantàstic! Ptolemeu no coneixia la televisió i molt menys els Simpson i possiblement era incapaç d’imaginar-se més de tres epicicles junts però… és increïble fins a on pot arribar la ment humana.

J.SAMSÓ. “Calendarios populares y tablas astronómicas”. Historia de la Ciencia Árabe, pàgs. 127-162

En 1981, la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales va publicar a Madrid un volum dedicat a la iència àrab i que va comptar amb la participació de les primeres espases investigadores de la universitat espanyola: J.Vernet, M.A.Català, M.V.Villuendas, J.M.Torroja i el protagonista aquí: Julio Samsó. L’article està estructurat en quatre seccions: una dedicada als calendaris populars, una segona a la ciència del miqât, la tercera a les taules astronòmiques i un colofó final per tancar-lo.

Sota el títol de “Calendarios populares”, Samsó ens comença explicant quins eren els coneixements que els àrabs pre-islàmics tenien sobre el calendari. A l’Iraq del segle IX es van començar a escriure uns llibres que recollien la tradició oral del carrer i posaven de manifest quin tipus de calendari s’usava a l’orient mitjà: l’any quedava dividit en 27 períodes de 13 dies i un més de 14. Aquest sistema calendàric es coneixia amb el nom dels anwâ’ i no sembla ser invent àrab ja que d’altres cultures també el feien servir. Aquests anwâ’ es van anar desenvolupant i els trobem molt recentment en els Calendaris del Pagès catalans, on es baregen les prediccions astronòmiques amb les supersticions meteorològiques, agrícoles, astrològiques… Tal i com remarca Samsó, aquests calendaris plantegen el problema d’una possible influència grega tal i com se’ns mostra al Kitâb al-anwâ’ de Ibn Qutayba (s. IX) on hi ha una divisió de l’any solar en quatre estacions. Els anwâ’ van caure en desús amb el restabliment del primitiu calendari lunar per part de les cúpules islàmiques. La segona secció està dedicada al miqât i totes aquelles components astronòmiques relacionades amb la religió. Per exemple, un bon musulmà ha de resar en direcció a la Meca i això implica el càlcul de l’azimut de l’alquibla. L’alquibla està marcada a les mesquites mitjançant el conegut mihrâb. A l’estat espanyol, la gran mesquita de Còrdova té un mihrâb orientat segons les tradicions orientals amb el que els fidels es veien abocats a resar cap al sud. Aquesta determinació va ser el focus d’atenció de molts astrònoms i matemàtics tals com al-Khwârizmî (s. IX), al-Battânî (m. 929), al-Nayrîzî (s. X), al-Bîrûnî (973-1048), al-Marrâkushî (fl. 1275-1282) o al-Khalîlî (fl. c. 1365). Un altre dels grans problemes religiosos musulmans és la determinació a les hores hàbils d’oració. Els astrònoms van elaborar taules de mîqât que donaven l’angle horari per a una determinada latitud en funció de l’alçada del sol o d’una estrella.

Click to see larger image.Tanmateix, la secció més important de l’article és, sense cap tipus de dubte, la de les “Taules astronòmiques (zîdjs)”. La paraula zîdj deriva del pahleví zîk que tal com assenyala Samsó, és l’entramat usat per a teixir d’on proé la taula numèrica les línies de la qual s’assemblen  a les línies de l’entramat. Habitualment, un zîdj és un manual de taules astronòmiques amb uns cànons amb les instruccions d’ús. Al principi del segle VIII, els àrabs desenvolupen una astronomia d’arrels gregues però directament relacionada amb la tradició indo-iraniana. El primer zîdj escrit en àrab (i que no es conserva) és el Zîdj al-Arkand, compilat a la regió índia del Sind l’any 735 i fonamentat en el Khandakhâdyayaka (635) de Brahmagupta. Entre mig d’aquest dos, el Zîdj al-Shâh (any 679) circulava en els cercles astronòmics en la seva versió pahleví. Aquestes dues obres van introduir al món musulmà l’astrologia de les grans conjuncions inventada a l’Iran sasànida. Després d’aquestes referències, apareix el tercer gran bloc de zîdjs àrabs: la tradició del Sindhind. Cap a l’any 773, el califa al-Mansûr va rebre a Bagdad una ambaixada índia amb la que viatjava un astrònom expert en els sistemes calendàrics i astronòmics indis. Segurament, aquest personatge es va quedar a la capital califal i el Sindhind va ser traduït a l’àrab amb la col·laboració dels astròlegs Muhammad ibn Ibrâhîm al-Fazârî i Ya’qûb ibn Târiq. Tanmateix, la versió més famosa del Sindhind és la realitzada per al-Khwâriamî. Samsó li dedica quatre pàgines i fa una primera aproximació amb la qual un s’emporta una idea clara i concisa del que té al davant. L’article segueix amb la descripció del Zîdj al-Mumtahan de Yahyâ ibn Abî Mansûr (m. c. 832) a partir de les seves pròpies observacions a Bagdad i les de al-Marwarrûdî a Damasc. Durant el mateix segle IX van haver altres obres similars on destaca la de Habash al-Hâsib (m. c. 864/74) on l’astrònom utilitza sense cap problema relacions trigonomètriques com la de sin a = sin b sin A, tg a = sin b tg A o cos A = cos a sin B, totes elles en un triangle esfèric. Samsó també fa aquí una descripció del zîdj i avança per la seva història fins a arribar al de Ibn al-Shâtir (c. 1305-c. 1375) qui va criticar l’Almagest de Ptolemeu i els seus models.

FITXA TÈCNICA:

PUNTUACIÓ (sobre 5):  (des de l’any 1981 aquest camp ha avançat molt)

NIVELL: ESO/Batxillerat.     Nº PÀGINES: 35.        ISSN: 84-600-2370-2

EDITORIAL: Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

PLATÓ – El Timeu (I)

Si en la història de la matemàtica hi ha una obra que reflexa clarament la conjunció entre la filosofia i la geometria és, sense cap tipus de dubte, el Timeu de Plató. L’acció del diàleg se situa a l’Atenes del 420 aC i consisteix en un diàleg entre Sócrates, Críties i Timeu. En la introducció al diàleg que fan M.A. Duran i F. Lisi a l’edició castellana de l’esditorial Gredos, llegim com Sócrates, mestre de Plató, adopta una posició secundària i se li presuposa una edat que ronda els 50 anys. Per la seva banda, Timeu és natural de Lócride i és un polític d’edat avançada que ha ocupat alts càrrecs públics. Finalment, Críties és un ciutadà important d’Atenes que es troba en la cima de la seva carrera política. El siàleg en sí mateix comença amb un resum de la conversa mantinguda el dia abans sobre l’estat ideal i avança amb éls arguments de Timeu dividits en tres grans blocs: les obres de la raó, la contribució de la necessitat i la barreja de la intel·ligència i de la necessitat. En el segon bloc, Timeu descriu la situació caòtica de l’univers abans de la seva creació i continua amb l’explicació de l’estructura dels elements, tots ells formats a partir de triangles. El text que hi fa referència és el següent:

En primer lloc, crec que per qualsevol està més enllà de tot dubte que el foc, la terra, l’aigua i l’aire són cossos. Ara bé, tota forma corporal té també profunditat. I, a més a més, és de tota necessitat que la superfície envolti la profunditat. La superfície d’una cara plana està composada de triangles. Tots els triangles es desenvolupen a partir de dos, cadascun dels quals amb un angle recte i els altres dos aguts. Un té a ambdós costats una fracció d’angle recte dividit per costats iguals, l’altre parts desiguals d’un angle recte atribuïda a costats desiguals [isòsceles i escalè]. En el nostre camí segons el discurs probable acompanyat de necessitat, suposem que aquest és el principi del foc i dels altres cossos. Però els altres principis anteriors a aquests els coneix déu i a aquell d’entre tots els homes a qui ell estima. Certament, hem d’explicar quins serien els quatre cossos més perfectes que malgrat ser diferents entre ells, podrien néixer els uns dels altres quan es desintegren. En efecte, si ho aconseguim, tindrem la veritat sobre l’origen de la terra i el foc i dels seus mitjans proporcionals. Doncs no coincidirem  amb ningú en que hi ha cossos visibles més bells que d’altres dels quals cadascun representa un gènere particular. Aleshores, hem d’esforçar-nos per composar aquests quatre gèneres de cossos d’extraordinària bellesa i dir que hem captat la seva naturalesa suficientment. Dels dos triangles, l’isòsceles va tenir la sort de tenir una naturalesa única, però les d’aquell l’angle recte del qual està contingut en costats desiguals van ser infinites. Per a començar bé, s’ha de fer una altra elecció, és necessari escollir en la classe dels triangles d’infinites formes, aquell que sigui el més perfecte. El que eventualment estigui en condicions d’afirmar que el triangle per ell escollit és el més bonic per a la composició dels elements, imposarà la seva opinió, doncs no és cap adversari sinó un amic. Per la nostra part, nosaltres deixem de costat a la resta i suposem que en la multiplicitat dels triangles un és el més bell: aquell del qual surgeix en tercer lloc l’isòsceles. Però específicar el perquè exigeix un raonament major i els premis amistosos estan aquí per a qui posi a prova aquesta afirmació i descobreixi que és així definitivament. Per tant, siguin escollits dos triangles amb els quals el foc i els altres elements estan construïts: un d’ells isòsceles, l’altre amb un costat gran  el quadrat del qual és tres cops el quadrat del menor. Ara hem de preceisar més del que vam dir abans d’una forma poc clara. Doncs els quatre elements semblaven tenir el seu origen uns en els altres malgrat que aquesta aparença era falsa, doncs malgrat que els quatre elements neixen dels triangles que hem escollit, mentre que tres deriven d’un -el que té els costats desiguals-, el quart és l’únic que es composa del triangle isòsceles. Per tant, no és possible que mitjançant la disolució de tots en tots, molts de petits originin a uns pocs de grans i viceversa; però sí ho és en el cas de tres elements, perquè quan es disolen els grans d’aquells que per la seva naturalesa estan constituïts per un tipus de triangle, es composen molts de petits a partir d’ells que adopten les figures corresponents i, a la seva vegada, quan molts de petits es divideixin en triangles, a l’originar-se una quantitat de volum únic, podria donar lloc a una altra forma gran. Cartabón graduado.Aquesta és doncs la nostra teoria sobre la gènesi dels uns en els altres. A continuació hauríem de dir de quina manera es va originar la figura de cadascun dels elements i a partir de la un ió de quants triangles.

Timeu ha planetjat que els dos triangles primordials són els que es corresponen amb el joc de regles que habitualment tenim per casa. El primer dels triangles és el triangle rectangle isòsceles el qual equival a les dues meitats obtingudes al dividir un quadrat per la seva diagonal: el nostre escaire. L’altre, el dels costats desiguals, podem llegir com el quadrat del catet major és igual a tres vegades el quadrat del catet menor. Quin és aquest triangle? Suposem que anomenem bc als catets major i menor, respectivament. Quina serà la seva hipotenusa a? Pel teorema de Pitàgores, a2 = b2 + c2. Però b= 3c2 i, per tant, a2 = 4c2. Finalment, fent arrels quadrades, tenim que a = 2c. Per tant, el nostre triangle rectangle és tal que el catet menor és la meitat de la hipotenusa, és a dir, cadascuna de les dues meitats que s’obtenen al dividir un triangle equilàter pel seu eix de simetria: el nostre cartabò.

P.FERMAT – L’equació de Pell (I)

En 1929, el matemàtic David Eugene Smith va publicar amb l’editorial McGraw-Hill un interessant source book de les matemàtiques que Dover va reeditar en 1959. Per qui no ho sàpiga, un source book és una recol·lecció de publicacions originals que l’autor es dedica a anotar i que serveix a l’interessat per poder llegir directament les paraules de l’autor. El llibre està estructurat en cinc parts (teoria de nombres, àlgebra, geometria, probabilitats i càlcul, funcions i quaternions) i hi apareixen fragments d’obres que van des de matemàtics del s. XV a Abel, Bessel o Hamilton. En aquesta entrada he posat l’atenció en les pàgines 214-216 on hi ha una breu explicació de la feina que va fer Fermat sobre l’equació de Pell, coneguda actualment amb el nom de Fermat-Pell. Més endavant, he traduït al català les paraules de Fermat (en vermell) amb les disculpes que per començar demano a Fermat ja que ell la va escriure en llatí, en el llibre està en anglès i jo n’he fet la segona versió i no directament de l’original.

Smith comença l’episodi recordant-nos que va ser Pierre de Fermat (c. 1608-1665) el primer en dir que l’equació de Pell:

x2 - Ay2 = 1

amb A un nombre no quadrat, té infinites solucions enteres. La idea de resoldre aquesta estrany equació se li va acudir al pensar en un nombre qualsevol x tal que al fer 2x + 5 i 5x +3, ambdós resultats fossin un quadrat perfecte. Smith també ens explica que Fermat va proposar la resolució de l’equació de Pell com a repte en forma de carta als matemàtics anglesos Lord Brouncker i John Wallis i després, va oferir el repte a tota la comunitat matemàtica: i aquestes són les paraules de Fermat en aquesta segona carta de febrer de 1657:

No hi ha gairebé ningú que exposi qüestions purament aritmètiques i tampoc gairebé ningú que les entengui. No és perquè l’aritmètica ha estat tractada fins ara geomètricament i no aritmèticament? Això és certament perquè ha estat intimidada per molts treballs dels escriptors antics i moderns, inclòs Diofant. Malgrat que ell es va separar una mica més de la geometria que la resta, va limitar el seu estudi només als nombres racionals. Tanmateix, la Zetetica de Viète, en la qual el mètode de Diofant s’extén a les quantitats contínues i d’aquesta manera a la geometria, prova suficientment que aquesta branca no està totalment separada de la geometria.

Així, l’aritmètica demana per sí mateixa la teoria de tots els nombres com a estat propi. Els Aritmètics (“nens de l’aritmètica”) han de procurar en fer-la avançar ja que va ser representada imperfectament per Euclides als seus Elements i a més a més, no està suficientment defensada per aquells que el van seguir. Potser està conciliada en aquells llibres de Diofant els quals van ser destruïts pels mals fets pel pas del temps.

A aquests, per tal de mostrar-los-hi la llum que ha de marcar el camí, proposo el següent teorema o problema per a ser provat o resolt. A més a més, si el descobreixen, admetran que qüestions d’aquest tipus no són inferiors a les més que celebrades de la geometria ni en subtilesa o dificultat ni en mètode de prova. Donat qualsevol nombre no quadrat, aleshores hi ha un nombre infinit de quadrats que multiplicats pel nombre donat, donen com a resultat un altre quadrat al sumar-los amb la unitat.

Exemple: donat el 3, que és un nombre no quadrat; aquest nombre multiplicat pel nombre quadrat 1 i sumant 1 al resultat, dóna com a resultat 4, que també és un quadrat. A més a més, el mateix 3 multiplicat pel quadrat 16 i sumant-hi 1 dóna 49, que també és un quadrat. I a banda de l’1 i del 16, un nombre infinit de quadrats es poden trobar amb la mateixa propietat. Tanmateix, de mano una norma general per qualsevol nombre no quadrat donat. El que busquem és, per exemple, trobar un quadrat tal que quan el multipliquem per 149, 109, 433… el resultat sigui un altre quadrat quan li sumem una unitat.

Com es pot llegir, Fermat era un apassionat de l’aritmètica i, justament per això, no va conjeniar amb Blaise Pascal, més interessat per la naixent probabilitat. Smith també ens comenta que el nom de Pell donat a aquest tipus d’equació ve d’un error d’un dels matemàtics més prolífics de la història: Leonhard Euler. Ell va pensar que… no, no. Potser que us ho mireu vosaltres, no?

C.DORCE. Ptolomeo, el astrónomo de los círculos

Les “noces d’argent” de la col·lecció “La matemática en sus personajes” va arribar amb la publicació d’aquest llibre dedicat a un dels grans matemàtics grecs: Claudi Ptolemeu (s. I dC). D’aquest personatge en sabem molt poca cosa i el podem situar a l’Alexandria de la gran biblioteca, llegint apassionadament tots els coneixements que allí s’hi trobaven. Ptolemeu va escriure diverses obres tals com les Taules manuals, el Tetrabiblos, la Geografia, les Hipòtesis planetàries, el Planisferi, l’Analema, les Fases de les estrelles fixes, l’Òptica, l’Harmònica i el que és el nucli del llibre publicat per Nívola: l’Almagest o la Gran Sintaxi Matemàtica. En primer lloc, aquesta magna obra ens serveix per analitzar l’astronomia grega pre-ptolemaica ja que en ella trobem dades i referències que l’autor considera. En el segle II aC, per exemple, Hiparc de Rodes va desenvolupar una gran activitat observacional a l’illa grega i sembla ser que va escriure diversos tractats matemàtics i també astronòmics. Totes aquestes obres s’han perdut en el temps però l’Almagest de Ptolemeu ha deixat constància de moltes d’aquestes observacions. Per començar, Ptolemeu ens diu que “el primer dels gran teoremes respecte del sol és la determinació de la durada de l’any. Els antics van estar sempre en desacord i confusió en els seus pronunciaments respecte d’aquest càlcul [...] ja que quan s’examina el retorn aparent del sol al mateix equinocci o solstici, l’any és menor que els 365 dies i quart, però quan s’examina el retorn del sol a un estel fix, l’any excedeix els 365 dies i quart. Així, Hiparc va introduir la idea que l’esfera de les estrelles fixes es movia molt lentament“. Hiparc va estudiar aquesta variació a una obra titulada Sobre el desplaçament dels equinoccis i els solsticis i va determinar aquest moviment en 1º cada 100 anys.

Després de la mort de Ptolemeu, tota la seva obra va esperar a que en el segle IV, Pappus d’Alexandria la descobrís i es dediqués a comentar-la. També Proclus Diadocus (411-485) la va comentar i mitjançant el Tetrabiblos, va ser introduïda a la Casa de la Saviesa que el califa al-Ma’mûn va fundar a Bagdad al s. IX. El Tetrabiblos és la seva gran obra astrològica i la traducció a l’àrab que en va fer al-Batriq va servir per a que el nom de Ptolemeu agafés foeça en els cercles científics àrabs: a partir d’aquí, la resta d’obra van començar a ser traduïdes i analitzades. De la mateixa manera i via l’astrologia (traducció de Plató de Tívoli en 1138), l’occident medieval va començar a sentir el nom de Ptolemeu.

El llibre en sí comença amb l’anàlisi del món geocèntric ptolemiac i ho fa mitjançant tres hipòtesis que es dedica a anar tirant per terra. En la primera, suposa que la Terra no està en l’eix central de rotació diària però que sí es troba equidistant dels dos pols; en la segona, la Terra es troba sobre l’eix de rotació però desplaçada cap a un dels pols i, finalment; en la tercera suposa que la Terra no està ni a l’eix de rotació ni és equidistant als pols. En els tres casos arriba a contradicció i li queda una Terra centrada en un món tan gran que la seva mida és negligible en comparació amb l’alçada dels cels. També determina que l’angle entre el cercle de l’eclíptica (el zodíac) i l’equador és de 23º 51′ 20″, valor que arrodonit a 23º 51′, encara trobarem a les Taules de Toledo (c. 1069) d’Azarquiel.

El capítol 4 està dedicat exclusivament a les matemàtiques desenvolupades per Ptolemeu. S’ha de dir que l’Almagest conté la primera taula trigonomètrica de la història i Dorce l’analitza perfectament. En primer lloc, s’ha de dir que la funció trigonomètrica grega per excel·lència era la corda, equivalent al doble del sinus de l’angle meitat. Ptolemeu parteix dels teoremes dels Elements d’Euclides (s. III aC) per determinar els costats del pentàgon, hexàgon, quadrat i pentàgon regulras o, el que és el mateix, les cordes dels angles de 36º, 60º, 90º i 72º. Determina la fórmula per trobar la corda de l’angle suplementari i la dels angles suma i diferència. Amb aquestes relacions, construeix una taula de sinus que va estar vigent fins ben entrat el segle XIV. També resol el teorema de Menelao en les seves versions plana i esfèrica. Amb aquest teorema, Ptolemeu pot calcular la declinació solar per qualsevol longitud solar donada i construeix una taula amb totes les correspondències entre les dues coordenades calculada sobre la base de la citada obliqüitat de l’eclíptica 23º 51′ 20″. L’Almagest continua amb els diferents models geomètrics que usa el grec per explicar els moviments dels astres i això estan dedicats els següents capítols del llibre. Aristòtil havia imposat al món el moviment circular uniforme dels cossos celests i això feia que fos força difícil explicar les uniformitats dels moviments dels astres. Apol·loni de Perga (s. III aC) havia suposat que la Terra estava al centre de l’univers i que, al voltant d’ella, en lloc de girar uniformement el sol, ho feia un punt virtual. A la seva vegada, aquest punt era centre de rotació del sol amb el que el moviment solar al voltant de la Terra s’explicava segons aquest engranatge de dues circumferències. Ptolemeu, en veure que la primavera i l’estiu sumaven més de la meitat de l’any i que la primavera és més llarga que l’estiu, va desplaçar el centre de l’òrbita solar del centre de la Terra i el va desplaçar un 4,17% de la seva posició. Aquest recurs el qual és equivalent al d’Apol·loni, també li va servir per la lluna i la resta de planetes afegint-hi epicicles als models. En els següents capítols, Dorce analitza l’arribada de l’Almagest al món àrab i les crítiques que va rebre dels astrònoms de l’observatori de Maraga (Iran) i els models alternatius de Nasîr al-Dîn al-Tûsî (1201-1274), Ibn al-Shâtir  (1304-1375). També fa un cop d’ull a la teoria de la trepidació andalusí, model que va arribar a les Taules astronòmiques de Barcelona que va fer compilar el rei Pere el Cerimoniós al segle XIV. El llibre acaba amb un capítol dedicat al decliu de la ciència ptolemaica i l’arribada del món copernicà defensat per Kepler i Galileu.

En definitiva, el llibre dóna una idea bastant clara dels aspectes més destacats de l’astronomia i trigonometria gregues i de la seva aplicació pràctica. És un llibre adequat com a font de documentació d’un treball de recerca o per aprendre una mica sobre la base de les matemàtiques.

Es pot eure una altra ressenya del llibre a la pàgina de ”Divulgamat, Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas” ( http://divulgamat.ehu.es/weborriak/publicacionesdiv/libros/LiburuakDet.asp?Id=330 ).

FITXA TÈCNICA:

PUNTUACIÓ (sobre 5):

NIVELL: ESO/Batxillerat.     Nº PÀGINES: 185.        ISBN: 84-96566-08-0

EDITORIAL: Nívola

R.MANKIEWICZ. Historia de las matemáticas

Amb pròleg d’Ian Stewart, Paidós va apostar en l’any 2000 per aquesta història de les matemàtiques. Si ens preguntem què és el que la fa diferent d’altres històries publicades, la resposta l’obtindrem fàcilment en fullejar el llibre: és una història plena d’imatges i fotografies en color. El capítol 0 del llibre ve precedit per una tauleta cuneiforme babilònica de càlcul del 2400 aC i ens parla dels inicis de la matemàtica a les civilizacions mesopotàmica i egípcia. Una altra tauleta cuneiforme amb una taula de multiplicar i  el papir Rhind complementen una exposició que, sense entrar en detalls, és clara i contundent. Cadascun dels vint-i-quatre capítols dels llibres conté un total de tres o quatre pàgines on el lector s’emporta ràpidament una idea del tema i ja aprofundirà en cas que l’interessi. Moltes vegades busquem informació als llibres o a internet i el resultat obtingut són llargues filípiques plenes de dades que, no només no ajuden en la recerca, sinó que ens fan pensar que no tenim nivell per entendre-ho. Per exemple, el capítol 3 es titula “El teorema de Pitágoras” i en només cinc pàgines, Mankiewicz t’enuncia el teorema, t’envia a la tauleta babilònica Plimpton 322 del 1800 aC (amb la corresponent imatge), fa un cop d’ull a les civilitzacions índia i xinesa i ens ensenya una pàgina d’un manuscrit àrab a tot color. El capítol acaba amb una breu descripció de la vida del genial matemàtic grec i un comentari sobre la demostració del teorema recollida als Elements d’Euclides (s. III aC), contingut del quart capítol. De fet, el recorregut de tercer capítol es repteix en els següents ja que el cinquè i sisè capítols descriuen la matemàtica xinesa i índia i el setè, està dedicat a la Casa de la Saviesa de Bagdad. El llibre arriba a l’Europa medieval a la pàgina 52 i en el capítol novè, la “perspectiva renaixentista” ens rep amb una il·lustarció d’Albert Durer i dos famosos quadres de Piero della Francesca: La flagelació de Jesucrist i l’Anunciació, madonna i fill amb els sants. El Judici final de Miquel Àngel obre la porta al següent capítol dedicat a l’arribada de l’aritmètica àrab a Europa. En els següents tres capítols, l’Àlgebra d’al-Khwârizmî, Nicoló Tartaglia i Gerolamo Cardano, René Descartes, Nicolau Copèrnic, Johannes Kepler, Galileu Galilei i Isaac Newton són alguns dels protagonistes de les seves pàgines mentre que en el capítol 14, la projecció de mapes i la nova astronomia són el tema principal. Les matemàtiques ortodoxes tornen sota el títol “Polinomios de quinto orden” i aquí la història continua amb Niels Henrik Abel i Évariste Galois. En aquest moment, Mankiewicz decideix dedicar els últims nou capítols del llibre a la matemàtica més contemporània. Comença amb les geometries no euclídees, a Lobachevsky, a Möbius i a Riemann i va avançant fins a arribar al caos i els fractals: una de les últimes imatges és pel famós drac de Mandelbrot que, des de la seva funció generatriu F(z) = z·z – m, on z és un punt del pla complex, ens mostra els punts negres de pantalla on la funció tendeix a infinit en successives interaccions.

Personalment, hi ha un paràgraf de Stewart que en el pròleg dóna una bona idea del punt en el qual es troba aquest llibre: “los matemáticos han jugado un papel clave al facilitarnos la creación de mapas, la navegación, la perspectiva en el arte, la radio, la televisión y el teléfono. Sin esto, las compañías aéreas serían incapaces de funcionar eficientemente, la televisión vía satélite tendría sólo unos diez canales y las provisiones mundiales de comida no podrían alimentar a la población. No estoy diciendo que debamos todo esto exclusivamente a las matemáticas, pero éstas han sido un componente esencial. Y tampoco digo que estas cosas sean necesariamente buenas, pero han sido muy influyentes“. Les matemàtiques han anat avançant des de temps pretèrits per acabar estan a casa nostra, tant a la televició (com diu Stewart) com en el nostre sofà o al bol que conté les nostres taronges. Fins i tot la forma en la qual estan apilats aquests cítrics tan gustosos és matemàtiques. I en aquesta ruta es mou el llibre. Si bé els llibres d’història de la matemàtica no solen resultar còmodes per llegir a l’estil d’una novela, en aquest cas el lector es pot aventurar a intentar-ho sense morir en el intent.

FITXA TÈCNICA:

PUNTUACIÓ (sobre 5):

NIVELL: ESO/Batxillerat.     Nº PÀGINES: 192.        ISBN: 84-493-0951-4

EDITORIAL: Paidós