El llibre continua amb un estudi de les obres de Pacioli i entra en l’anàlisi del De Divina Proportione. Com diu Antonio Manuel González, “el tratado es el fruto, en gran parte, de los encuentros en Milán, y sobre todo de las discusiones mantenidas con Leonardo da Vinci. Tal vez por ello sea la obra que mejor sintetice las preocupaciones estéticas de su autor. La peculiaridad del ambiente que rodeó la corte de Ludovico en los años finales del Quattrocento fue el marco científico y artístico que sirvió de fondo a su reflexión“. El llibre va dirigit als filòsofs i matemàtics donades les contínues referències esotèriques i místiques i beu en les fonts del Timeu de Plató, els Elements d’Euclides, l’obra de Vitrubi i “las especulaciones de los Neoplatónicos florentinos“. A partir del inquè capítol, Pacioli comença a desenvolupar el nucli de la seva obra que és la de dividir un segment en extrema i mitja raó, és a dir, buscar la raó àuria. Per exemple, en el capítol VII podem llegir: “Quan una línia es divideix segons la proporció que té el mig i dos extrems -que així, amb aquest altre nom, és anomenada pels savis la nostra exquisita proporció-, si a la seva part major se li afegeix la meitat de tota línia així proporcionalment dividida, se segueix de manera necessària que el quadrat del seu conjunt sempre sigui cinc vegades el quadrat d’aquesta meitat integral“. Pacioli va fent anàlisis i càlculs amb els diferents polígons regulars, demostra que no poden haver més de cinc cossos platònics i els va onstruint geomètricament. El “facsímil” acaba amb les figures de Leonardo da Vinci (?), una autèntica obra d’art. Abans d’acabar i mentre admireu algunes d’aquestes figures, us tradueixo la demostració de Pacioli sobre que només hi ha inc políedres regulars:

“Capítol XXV: Com no poden haver més de cinc cossos regulars

Convé ara demostrar com en la naturalesa no poden haver més dels menionats cossos, és a dir, els cossos les bases dels quals siguin iguals entre sí, el mateix que els seus angles sòlids i plans i els seus costats. Això és així perquè per a la constitució de cada angle sòlid, és necessari el concurs d’al menys tres angles superficials ja que un angle sòlid no pot determinar-se només mitjançant dos angles superficials; doncs perquè els tres angles d’un hexàgon equilàter són iguals a quatre angles rectes i, a més a més, en l’heptàgon, és a dir, la figura de set costats i en general, en tota figura equilàtera i equiàngula de més costats, els seus tres angles són sempre majors que quatre rectes, com es manifesta en [Elements, llibre I, prop XXXII] i tot angle sòlid és menor que quatre rectes, com es veu per [Elements, llibre XI, prop. XXI]. Així doncs, és impossible que tres angles de l’hexàgon, del pentàgon o, en general, de qualsevol figura equilàtera i equiàngula de més costats formin un angle sòlid. I així queda clar que cap figura sòlida equilàtera i d’angles iguals pot formar-se amb superfícies hexagonals o de més costats doncs si tres angles de l’hexàgon equilàter i equiàngul són majors que un angle sòlid, se segueix que, amb molta més raó, quatre o més angles excediran el citat angle sòlid. Tanmateix, tres angles del pentàgon equilàter i equiàngul són manifestament menors que quatre rectes mentre que quatre són majors que quatre rectes. D’on, amb tres angles d’un pentàgon equilàter i equiàngul, es pot formar un angle sòlid, però amb quatre dels seus angles o amb més no és possible formar un angle sòlid. Per això, un cos es forma només amb pentàgons equilàters i equiànguls i és l’anomenat pels filòsofs dosecàedre o, d’una altra manera, cos de dotze pentàgons. En ell, els angles dels pentàgons, de tres en tres, formen i contenen tots els angles sòlids del cos.

La mateixa raó es dóna en les figures quadrilàteres de ostats i angles iguals, com s’ha dit per als pentàgons, ja que tota figura quadrilàtera, si és equilàtera i d’angles iguals, serà per definició quadrada perquè tots els seus angles seran rectes, com en demostra a [Elements, llibre I, prop XXXII]. D’aquí que amb tres angles d’aquesta figura superficial sigui possible formar un angle sòlid, però impossible fer-ho amb quatre o més. Per això, amb tals figures superficials, éssent quadrilàteres, equilàteres i d’angles iguals, es pot formar un sòlid al qual anomenem cub, que és un cos contingut per sis superfícies quadrades i amb dotze costats i vuit angles sòlids.

En els triangles equilàters, sis triangles equivalen a quatre rectes per la mencionada [Elements, llibre I, prop XXXII] i, per tant, menys de sis angles valen menys que quatre rectes i més de sis més de quatre rectes pel que amb sis angles o més d’aquests triangles no és possible formar un angle sòlid mentre que sí ho és amb cinc, quatre o tres. I, com tres angles del triangle equilàter contenen un angle sòlid, amb triangles equilàters es forma el cos de quatre bases triangulars de costats iguals anomenat tetràedre; i quan s’uneixen quatre d’aquests triangles es forma el cos de vuit bases conegut com octàedre; i si cinc d’aquests triangles equilàters contenen un angle sòlid, es forma aleshores el cos conegut com icosàedre, de vint bases triangulars i costats iguals. Així, la raó que siguin tants i tals cossos regulars i no més és cosa plenament aclarida amb el que hem dit.“