Continua aquí el documental “Galileo y el telescopio del pecado”:
[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/UeN7PQLm81A" width="425" height="350" wmode="transparent" /]
Continua al següent post
Continua aquí el documental “Galileo y el telescopio del pecado”:
[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/VBJ-QBOm-GU" width="425" height="350" wmode="transparent" /]
Continua al següent post
Continua aquí el documental “Galileo y el telescopio del pecado”:
[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/j7DPyYnfliQ" width="425" height="350" wmode="transparent" /]
Continua al següent post
Els passats 13, 14, 15 i 16, la Societat Catalana d’Història de la Ciència i de la Tècnica va celebrar la seva X trobada on es van reunir grans estudiosos i interessats en aquests àmbits cada cop més de moda. El foc va ser obert per una comunicació que portava el títol “Els ‘cursos matemàtics’ dels segles XVII i XVIII i l’ensenyament de l’Acadèmia Militar de Matemàtiques de Barcelona (1720-1803)’, preparada per M.R.Massa, C.Puig-Pla i A.Roca. El resum de la comunicació és el següent: “una de les manifestacions de la literatura científica de l’època de la reolució científica foren els ‘Cursos matemàtics’, textos destinats a l’ensenyament, on s’exposaven generalment de manera didàctica els continguts de les matemàtiques que es consideraven adequats als públics per als quals estaven redactats. Cal recordar que aquests cursos cobrien un camp que va molt més enllà del que avui en dia considerem dins de les matemàtiques, incloent-hi qüestions de física matemàtica, de construcció, de cosmografia, de geografia o d’artilleria, les de vegades anomenades matemàtiques ‘mixtes’“. En aquesta comunicació, van analitzar alguns aspectes de l’ensenyament de les matemàtiques a l’Acadèmia Militar de Barcelona segons l’ordenança 1739 i el Curs que fou redactat sota la direcció de Pedro de Lucuze (1692-1779). L’estudi parteix de l’anàlisi del Cursus Mathematicus de Pierre Hérigone (1580-1643), el Cursus seu mundus mathematicus de Claude F. Millet Dechales (1621-1678), el Cours de Mathématiques de Jacques Ozanam (1640-1717), el Compendio mathematico de Tomàs Vicenç Tosca (1651-1723) i el Nouveau Cours de Mathématique de Bernard Forest de Belidor (1698-1761). Els autors de la comunicació van posar de manifest que l’obra de Tosca va ser de les més influents a la Espanya del segle XVIII.
Seguint amb el papir Rhin, anem a veure d’on va treure l’autor la “fórmula” que va donar lloc al càlcul de pi = 256/81 que hem vist al post anterior. Per què li hem de treure la novena part al diàmetre? El problema 48 del papir compara l’àrea del cercle amb la d’un quadrat de costat 9. Divideix cadascun dels costats en tres parts iguals i es forma l’octògon corresponent. Aleshores, es calcula l’àrea de l’octògon: en primer lloc, l’àrea del quadrat de costat 9 és 81 [unitats quadrades].Com per formar l’octògon li hem hagut de treure al quadrat els quatre trianglets de les puntes, haurem de fer el mateix amb l’àrea: cada trianglet és rectangle isòsceles de catets igual a 3 amb el que les seves àrees seran igual a 3·3/2. Si restem a 81 els quatre trianglets obtindrem:
64 – 4· 3·3/2 = 64 – 18 = 63 [unitats quadrades]
que és l’àrea de l’octògon. Havíem vist que l’àrea del cercle era de 64 unitats quadrades amb el que l’autor dóna per bo aquest resultat ja que l'”assimilació” entre l’octògon i el quadrat no produeix tan mal resultat.
El llibre Mathematics in the Time of the Pharaos de Richard J. Gillings (Dover, 1972) és sense cap tipus de dubte una de les grans referències sobre matemàtica egípcia que s’han escrit mai. En ell, Gillings analitza cadascun dels 87 problemes del papir Rhind i dóna les pistes i claus per entendre tot un grapat de fonts més. Avui el que analitzarem aquí és el problema 50 del papir que proposa trobar l’àrea d’un cercle de 9 khet de diàmetre. La manera de resoldre-ho és la següent: “treu una novena part del diàmetre, digues-li 1. El romanent és 8. Multiplica 8 per 8. Fa 64. Per tant, conté 64 setat de terra“. Fixem-nos que si r és el radi del cercle i 2r el seu diàmetre, aleshores, treure-li una novena part dóna com a resultat 16r/9 el qual, multiplicat per ell mateix dóna 256r·r/81. Si comparem aquesta expressió amb la nostra actual, obtenim un valor per pi de 256/81 o, el que és el mateix, pi = 3,160493… No és un mal resultat per als matemàtics de quatre mil anys enrere, no?
A la universitat de Columbia, catalogada a la col·lecció Plimpton amb el número 322, trobem aquesta tauleta babilònica datada cap el 1900-1600 aC. Aquest document històric és un document valiosíssim que ens dóna una idea de com avançades estaven les matemàtiques en aquella època.
Usant les nostres xifres en base sexagesimal, la transcripció de la tauleta és la següent:
1:59:00:15 1:59 2:49 1
1:56:56:58:14:50:06:15 56:07 1:20:25 2
1:55:07:41:15:33:45 1:16:41 1:50:49 3
1:53:10:29:32:52:16 3:31:49 5:09:01 4
1:48:54:01:40 1:05 1:37 5
1:47:06:41:40 5:19 8:01 6
1:43:11:56:28:26:40 38:11 59:01 7
1:41:33:45:14:03:45 13:19 20:49 8
1:38:33:36:36 8:01 12:49 9
1:35:10:02:28:27:24:26 1:22:41 2:16:01 10
1:33:45 45 1:15 11
1:29:21:54:02:15 27:59 48:49 12
1:27:00:03:45 2:41 4:49 13
1:25:48:51:35:06:40 29:31 53:49 14
1:23:13:46:40 56 1:46 15
La tauleta consta de quinze files i quatre columnes on clarament, l’últim dels quatre nombres de cada fila es correspon amb el número de fila. Per interpretar la resta de nombres, la segona i tercera columnes tenen un encapçalament que podem traduir per “amplada” i “diagonal” mentre que la primera és una autèntica barbaritat de càlcul. En primer lloc, explicarem aquesta notació sexagesimal (base 60). Per exemple, en la segona columna, 1:59 significa 59 + 1·60 = 119, 56:07 = 7 + 56·60 = 3.367… Cada xifra cap a l’esquerre es multiplica per un 60 més que la xifra anterior mentre que cap a la dreta és l’operació contrària. Ara, per interpretar correctament la tauleta, suposem que tenim un triangle rectangle de costats a, b i c del qual sabem que compleix el teorema de Pitàgores. De la tradició pitagòrica ens arriba que per qualssevol nombres enters m i n, a = m2 + n2, b = 2mn i c = m2 – n2 formen una tripleta pitagòrica a2 = b2 + c2. Però donat a la datació d’aquesta tauleta podem afirmar que aquest resultat ja es coneixia molts segles abans. Per exemple, el segon i tercer nombres de la primera fila es corresponen amb els costats c i a de la tripleta m = 12 i n = 5. Tota la segona i tercera columnes es corresponen amb els costats d’un triangle rectangle i si k és el respectiu nombre de fila, les tripletes (k,m,n) de les quinze files són (1,12,5), (2,64,27), (3,75,32), (4,125,54), (5,9,4), (6,20,9), (7,54,25), (8,32,15), (9,25,12), (10,81,40), (11,2,1), (12,48,25), (13,15,8), (14,50,27) i (15,9,5). Respecte de la primera columna, podem dir que es correspon amb el quadrat del quaocient a/b amb el que el càlcul del catet b passa aser evident.
Avui 17 de novembre fa 218 anys del naixement d’aquest matemàtic alemany i ho celebrem amb aquest post. Möbius va ser l’únic fill del professor de ball Johann H. Möbius qui va morir en 1793 i la seva mare va educar-lo a casa fins als 13 anys en la fe luterana més estricta. En 1803 va anar a l’escola per primera vegada i sis anys més tard es va graduar i es va traslladar a la universitat de Leipzig per estudiar dret malgrat que de seguida va canviar aquest estudis per la física i les matemàtiques. La sort el va portar a ser deixeble dels grans Carl F. Gauss a Gottingen i Johann Pfaff a Halle amb el que els seus coneixements matemàtics van anar progressant ràpidament i en 1815 va escriure la seva tesi doctoral sobre les ocultacions dels estels fixos. Posteriorment va escriure la seva tesi d’habilitació sobre les equacions trigonomètriques i va acceptar la plaça com a professor d’astronomia a la universitat de Leipzig (1816), lloc que seria confirmat amb una titularitat en 1844.
Möbius es va dedicar a publicar els seus resultats en la revista matemàtica Crelle i allí hi podem trobar el clàssic “El càlcul de baricentres” (1827) on va introduir les coordenades baricèntriques i les transformacions projectives. Tanmateix i malgrat tota l’obra produïda, el seu nom està íntimament al treball de 1858 on ell va tractar les propietats de les superfícies d’un sol costat i, en particular, a la banda de Möbius. Per construir una banda de Möbius l’únic que s’ha de fer és retallar una tira rectangular de paper i fer-li una volta de 180º a un dels seus extrems. Un cop feta aquesta rotació, s’uneixen els dos extrems amb cinta adhesiva.
Tal dia com avui, un 15 de novembre de 1630 va morir el gran Johannes Kepler, el segon personatge conegut de la història en col·locar una el·lipse en el cel per tal d’explicar els moviments celests. Per conmemorar aquesta data, avui toca una cita d’aquest il·lustre personatge:
Tal dia com avui, un 14 de novembre de 1716, va morir el gran Gottfried W. Leibnitz. Aquest gran matemàtic alemany va néixer a Leipzig en 1646 en l’àmbit d’una família prou acomodada: el pare era professor de filosofia de la moral i la mare era filla d’un notable advocat la qual va ser criada en uns estrictes valors morals. Aquest tipus d’educació religiosa va ser heretada per Leibnitz a partir dels sis anys, edat en la qual va quedar orfe de pare. Un any més tard va entrar a l’escola Nicolai de Leipzig i el desig de poder llegir els llibres de son pare va fer que fos un alumne avançat que als dotze anys ja era capaç de llegir perfectament en llatí i grec. Un cop la biblioteca de son pare va ser accessible va començar a llegir Aristòtil i a no estar-hi d’acord amb el que va començar a desenvolupar les seves pròpies idees filosòfiques. La seva dotació intel·lectual el van fer ingressar a la universitat a l’edat de 14 anys per aprendre matemàtiques, hebreu, llatí, grec i filosofia i en 1663 va presentar la tesi De principio individui (Sobre el principi de la persona) amb la que es va llicenciar en filosofia i lletres. Les idees de Leibnitz estaven d’acord amb l’ús del raonament matemàtic per demostrar qualsevol dissertació lògica i aquest va ser el camí que més li va interessar. Va seguir estudiant els doctorats de filosofia i la llicenciatura de dret però les seves idees es van plasmar en 1666 en la Dissertatio de Arte Combinatoria (Debat sobre l’art combinatòria) on va reduir qualsevol raonament a la combinació de nombres, sons, colors i lletres. Un any més tard va doctorar-se en dret a la universitat d’Altdorf on posteriorment va rebutjar la càtedra per dedicar-se a diversos projectes científics, jurídics i filosòfics. Les seves preocupacions científiques van portar els seus estudis cap a l’estudi del moviment dels cossos i en 1671 va publicar la Hypothesis Physica Nova (Les noves hipòtesis físiques) on va teoritzar sobre la dependència entre el moviment i l’ànima.
En aquest període Leibnitz va començar una sèrie de contactes científics molt importants. A banda de les seves publicacions a la Royal Society de Londres, les intrigues polítiques el van fer viatjar a París on va conèixer a Christian Huygens (1629-1695) i a Londres on va coincidir amb Robert Boyle (1627-1691) i Robert Hooke (1635-1703). Aquest periple per terres estrangeres van obrir-li els ulls i ven fer que comprovés que havia a Europa personatges que destacaven molt més que ells en matemàtiques així que va haver de posar-s’hi de valent. Després d’entrar a la Royal Society (1673) va començar a estudiar el que avui coneixem amb el nom de la derivada quedant realment impressionat. En la seva recerca de nous mètodes, el secretari de la Royal Society li va comunicar que Isaac Newton també s’hi estava dedicant i que havia trobat mètodes innovadors. Leibnitz va tornar a París i va començar a desenvolupar tota la seva teoria sobre les derivades usant una nova notació matemàtica que, bàsicament, és la que usem actualment. Davant dels resultats que anava obtenint Newton en el mateix camp, Leibnitz va començar a redactar els seus propis coneixements amb la imminent finalitat de publicar-los. En 1676 va abandonar París i es va traslladar a Hannover on finalment moriria. En aquesta nova etapa va publicar l’Essay d’une nouvelle science des nombres (Assaig sobre una nova ciència dels nombres) i va aconseguir entrar en contacte amb Vicenzo Viviani (1622-1703), el gran amic i biògraf de Galileu. Finalment, la seva gran contribució matemàtica sobre el càlcul de les derivades va veure la llum en 1684 amb el títol Nova methodus pro maximis et minimis en la revista creada per ell mateix en 1682 Acta Eroditorum. Malgrat que Newton havia descobert les derivades molt abans que Leibnitz, la seva obra no va ser publicada fins 1736 i això va fer que Leibnitz fos considerat durant molt de temps l’inventor de la derivada.
Blaise Pascal va néixer a la localitat francesa de Clermont-Ferrand el 19 de juny de 1623. Quan només tenia 3 anys va quedar orfe de mare i va quedar al càrrec únicamen del seu pare Étienne Pascal. Étienne era jutge de la cort de Montferrand i estava considerat com un dels personatges més influents de la societat de l’Auvernia i li va procurar al seu fill una bona educació. Després de morir la seva muller, Étienne va traslladar la seva família a París. Blaise va sobresortir de seguida en l’estudi i passió per les matemàtiques (possiblement heretada del seu propi pare) i malgrat la prohibició contundent de dedicar-s’hi va seguir dedicant-s’hi d’amagat. Potser és estrany veure com un enamorat de les matemàtiques com era Étienne prohibís al seu fill l’estudi d’aquesta ciència però el jutge volia que Blaise se centrés en el llatí, el grec i la literatura i deixés les passions per un altre moment. Tanmateix, Étienne va descobrir el seu fill de dotze anys fent una demostració independent sobre que la suma dels tres angles d’un triangle és 180º i això va fer que aixequés aquesta prohibició. A més a més, es va passar del blanc al negre de cop i volta: Étienne era asidu del cercle científic de Marín Mersenne i va començar a portar a Blaise a les lectures que allí s’hi feien en companyia dels grans matemàtics francesos del moment com Girard Desargues i Gilles Personne de Roberval. Aquest nou “hàbitat” li va ser molt propici i amb 16 anys va ser capaç d’escriure l’Essai pour les coniques la qual va agradar molt i que per llàstima hem perdut una gran part. El nomenament del seu pare com a recaptador d’impostos va fer que Blaise ideés una “calculadora” mecànica capaç de fer operacions senzilles (la Pascalina) i aquí no va quedar el seu talent matemàtic. Estem davant del pare de les probabilitats i la llàstima és que Pierre de Fermat no hi estigués interessat i el seu debat sobre aquesta “nova ciència” quedés reduït a un parell o tres de cartes.
Sense entrar en més detalls, direm que en 1654, mentre travessava el pont de Neuilly sobre el riu Sena, el cavall que tirava del seu carruatge es va desbocar i va estar a punt de morir. Mentre el carruatge quedava penjant del pont, Pascal va prometre a Déu que si salvava la vida deixaria la seva gran passió matemàtica i es dedicaria a l’estudi i reflexió de la filosofia. Pascal va sobreviure i va complir la seva promesa. Tanmateix, va provocar la comunitat matemàtica amb un concurs consistent en tres problemes per veure qui era capaç de resoldre’ls. Ningú no va fer-ho excepte un tal Amos Dettonville, el propi Pascal amb un pseudònim.
Abû Kâmil va néixer a Egipte al voltant del segle X i pot ser considerat un dels grans matemàtics àrabs del seu temps. En la seva Àlgebra (Kitâb fî al-jabr wa’l muqâbalah) va resoldre les equacions de segon grau que mig segle abans al-Khwârizmî havia estat capaç de demostrar al món que la seva resolució estava íntimament lligada a la geometria. Aquí us passo el text original d’aquesta resolució:
“En primer lloc, és necessari que el lector d’aquest llibre sàpiga que, d’acord amb els llibres de Muhammad al-Khwârizmî, hi ha tres categories. Aquestes són les arrels, els quadrats i els nombres. L’arrel és qualsevol cosa la qual està multiplicada per ella mateixa igual o major que 1 i totes les seves fraccions, i totes les fraccions de les seves fraccions i així successivament. El quadrat és el producte d’una arrel per ella mateixa, sencera o fraccionària. El nombre, el qual s’aguanta per sí mateix i no és arrel ni quadrat, es relaciona amb les unitats des de cadascuna de les altres categories; també és cert per les dues altres categories. Cadascun d’ells pot ser igual a qualsevol de les altres categories, és a dir, el quadrat és igual a les arrels, i el quadrat és igual als nombres, i les arrels són iguals als nombres. Si una categoria és igual a dues de les altres categories, és una d’aquestes, quadrats i arrels són iguals a nombres, i quadrats i nombres són iguals a arrels, i arrels i nombres són iguals a quadrats. Hi ha sis casos necessaris d’explicar. Pel quadrat el qual és igual a les arrels, és com si un diu que el quadrat és igual a 5 arrels perquè el quadrat és igual a 5 d’aquestes arrels. Això és perquè l’arrel del quadrat és sempre d’acord amb la suma de les arrels d’aquest quadrat. Aquí l’arrel és el 5. El quadrat és 25 el qual és igual a 5 d’aquestes arrels. Més endavant explicaré que l’arrel del quadrat està d’acord amb el total de les arrels. Fonamentaré la meva explicació en aquesta qüestió. Per exemple, construeixo el quadrat com la superfície quadrada ABCD. Els seus costats són AB, BC, CD i DA. Cadascun d’aquests costats multiplicat per una unitat de la longitud total d’aquesta superfície és una arrel de la unitat de superfície. El resultat del producte d’AB per la unitat [de longitud], diguem-li BE, és la superfície AE [ABEL]. Aquesta és una arrel d’AC la qual està dividida en cinc parts iguals, les superfícies AE, LF, KG, JH i IC. La línia BC és 5 i és l’arrel del quadrat; el quadrat és 25. Això és el que un pretenia explicar. És com això. Quan un diu que del quadrat és igual a 10 arrels, el quadrat total és igual a 20 arrels. Així, l’arrel del quadrat és 20 i, per tant, el quadrat és 400. Aleshores, quan un diu 5 quadrats igual a 20 arrels, el quadrat és igual a 4 arrels. L’arrel del quadrat és 4 i el quadrat és 16. Si el quadrat és engrandit o fet més petit, sempre retorna a la unitat quadràtica. Així, un fa totes les arrels en el quadrat que siguin iguals. El quadrat és igual a nombres pel cas quan el quadrat és igual a 16; la seva arrel és igual a 4. El mateix quan 5 quadrats són igual a 45. La unitat del quadrat és 1/2, o 9. Si un diu 1/3 del quadrat és igual a 27, aleshores el quadrat és 81. Així, per cada quadrat engrandit o fet més petit, sempre es retorna al mateix quadrat. I aixó és així quan un iguala a nombres. Les arrels són iguals a nombres com quan un diu que l’arrel és igual a 4. L’arrel és 4 i el quadrat 16. Així mateix, si dius 5 arrels són iguals a 30, l’arrel és igual a 6 i el quadrat és 36. Si un diu 1/2 de l’arrel és igual a 10, l’arrel és igual a 20 i el quadrat és 400. Per tant, totes les arrels engrandides o fetes més petites tornen a la unitat d’arrel. I això és respecte dels nombres. Un troba aquestes tres categories. Anomenem-les: aquestes són el quadrat i les arrels són igual als nombres; el quadrat i els nombres són iguals a les arrels; les arrels i els nombres són iguals al quadrat”.
Continuarà…
El llibre continua amb un estudi de les obres de Pacioli i entra en l’anàlisi del De Divina Proportione. Com diu Antonio Manuel González, “el tratado es el fruto, en gran parte, de los encuentros en Milán, y sobre todo de las discusiones mantenidas con Leonardo da Vinci. Tal vez por ello sea la obra que mejor sintetice las preocupaciones estéticas de su autor. La peculiaridad del ambiente que rodeó la corte de Ludovico en los años finales del Quattrocento fue el marco científico y artístico que sirvió de fondo a su reflexión“. El llibre va dirigit als filòsofs i matemàtics donades les contínues referències esotèriques i místiques i beu en les fonts del Timeu de Plató, els Elements d’Euclides, l’obra de Vitrubi i “las especulaciones de los Neoplatónicos florentinos“. A partir del inquè capítol, Pacioli comença a desenvolupar el nucli de la seva obra que és la de dividir un segment en extrema i mitja raó, és a dir, buscar la raó àuria. Per exemple, en el capítol VII podem llegir: “Quan una línia es divideix segons la proporció que té el mig i dos extrems -que així, amb aquest altre nom, és anomenada pels savis la nostra exquisita proporció-, si a la seva part major se li afegeix la meitat de tota línia així proporcionalment dividida, se segueix de manera necessària que el quadrat del seu conjunt sempre sigui cinc vegades el quadrat d’aquesta meitat integral“. Pacioli va fent anàlisis i càlculs amb els diferents polígons regulars, demostra que no poden haver més de cinc cossos platònics i els va onstruint geomètricament. El “facsímil” acaba amb les figures de Leonardo da Vinci (?), una autèntica obra d’art. Abans d’acabar i mentre admireu algunes d’aquestes figures, us tradueixo la demostració de Pacioli sobre que només hi ha inc políedres regulars:
“Capítol XXV: Com no poden haver més de cinc cossos regulars
Convé ara demostrar com en la naturalesa no poden haver més dels menionats cossos, és a dir, els cossos les bases dels quals siguin iguals entre sí, el mateix que els seus angles sòlids i plans i els seus costats. Això és així perquè per a la constitució de cada angle sòlid, és necessari el concurs d’al menys tres angles superficials ja que un angle sòlid no pot determinar-se només mitjançant dos angles superficials; doncs perquè els tres angles d’un hexàgon equilàter són iguals a quatre angles rectes i, a més a més, en l’heptàgon, és a dir, la figura de set costats i en general, en tota figura equilàtera i equiàngula de més costats, els seus tres angles són sempre majors que quatre rectes, com es manifesta en [Elements, llibre I, prop XXXII] i tot angle sòlid és menor que quatre rectes, com es veu per [Elements, llibre XI, prop. XXI]. Així doncs, és impossible que tres angles de l’hexàgon, del pentàgon o, en general, de qualsevol figura equilàtera i equiàngula de més costats formin un angle sòlid. I així queda clar que cap figura sòlida equilàtera i d’angles iguals pot formar-se amb superfícies hexagonals o de més costats doncs si tres angles de l’hexàgon equilàter i equiàngul són majors que un angle sòlid, se segueix que, amb molta més raó, quatre o més angles excediran el citat angle sòlid. Tanmateix, tres angles del pentàgon equilàter i equiàngul són manifestament menors que quatre rectes mentre que quatre són majors que quatre rectes. D’on, amb tres angles d’un pentàgon equilàter i equiàngul, es pot formar un angle sòlid, però amb quatre dels seus angles o amb més no és possible formar un angle sòlid. Per això, un cos es forma només amb pentàgons equilàters i equiànguls i és l’anomenat pels filòsofs dosecàedre o, d’una altra manera, cos de dotze pentàgons. En ell, els angles dels pentàgons, de tres en tres, formen i contenen tots els angles sòlids del cos.
La mateixa raó es dóna en les figures quadrilàteres de ostats i angles iguals, com s’ha dit per als pentàgons, ja que tota figura quadrilàtera, si és equilàtera i d’angles iguals, serà per definició quadrada perquè tots els seus angles seran rectes, com en demostra a [Elements, llibre I, prop XXXII]. D’aquí que amb tres angles d’aquesta figura superficial sigui possible formar un angle sòlid, però impossible fer-ho amb quatre o més. Per això, amb tals figures superficials, éssent quadrilàteres, equilàteres i d’angles iguals, es pot formar un sòlid al qual anomenem cub, que és un cos contingut per sis superfícies quadrades i amb dotze costats i vuit angles sòlids.
En els triangles equilàters, sis triangles equivalen a quatre rectes per la mencionada [Elements, llibre I, prop XXXII] i, per tant, menys de sis angles valen menys que quatre rectes i més de sis més de quatre rectes pel que amb sis angles o més d’aquests triangles no és possible formar un angle sòlid mentre que sí ho és amb cinc, quatre o tres. I, com tres angles del triangle equilàter contenen un angle sòlid, amb triangles equilàters es forma el cos de quatre bases triangulars de costats iguals anomenat tetràedre; i quan s’uneixen quatre d’aquests triangles es forma el cos de vuit bases conegut com octàedre; i si cinc d’aquests triangles equilàters contenen un angle sòlid, es forma aleshores el cos conegut com icosàedre, de vint bases triangulars i costats iguals. Així, la raó que siguin tants i tals cossos regulars i no més és cosa plenament aclarida amb el que hem dit.“
Acabo en aquest post amb la traducció del capítol II, on Euler dóna les definicions de nombres positius, negaitus i, en general, de nombres enters:
15. No serà considerat amb major dificultat si, per tal de generalitzar aquestes operacions, fem ús de les lletres en lloc dels nombres. És evident que, per exemple, a – b – c + d – e, significa que tenim uns nombres expressats per a i per d i que d’ells o de la seva suma, hem de restar els nombes expressats per les lletres b, c i e els quals tenen davant el signe -.
16. Per tant, és absolutament necessari considerar que el signe està preficat a cada nombre amb el que en Àlgebra, les quantitats simples són nombres considerats afectats pels signe que els precedeixen. A més a més, anomenem nombres positius a aquells que tenen davant un signe + i nombres negatius a aquells que estan afectats pel signe -.
17. La manera en la qual calculem generalment la propietat d’una persona és una il·lustració apta del que hem dit fins ara. Denotem el que un home posseeix mitjançant nombres positius usant o entenent el signe + mentre que el que deu ho representem amb nombres negatius, o usant el signe -. Aixé, quan es diu que un té 100 corones però en deu 50, això significa que la seva possessió real és de 100 -50, o el que és el mateix, +100 – 50 que dóna 50.
18. Com els nombres negatius poden ser considerats com deutes ja que els positius representen les possessions, hem de dir que els nombres negatius són menors que no res. Així, quan un home no té res i deu 50 corones, és cert que té 50 corones menys que no res; perquè si algú li fes un regal de 50 corones per pagar els seus deutes, encara estaria en el punt del no res malgrat que fos més ric que abans.
19. De la mateixa manera, els nombres positius són incontestablement majors que no res i els negatius menors que el no res. Ara, obtenim nombres positius afegint 1 al 0 o, el que és el mateix, 1 a res; i podem continuar sempre incrementant a partir d’una unitat. Això és l’origen de les sèries de nombres anomenats nombres naturals; els següents són els primers termes de la sèrie: 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10 i així fins l’infinit. Però si, en lloc de continuar aquesta sèrie per addicions contínues, continuem en direcció oposada perpétuement restant una unitat, tindrem la següent sèrie de nombres negatius: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10 i així fins l’infinit.
20. Tots aquests nombres tant si són positius com negatius, tenen el conegut nom de nombres sencers o enters els quals conseqüentment són majors o menors que no res. Els anomenem enters per distingir-los de les fraccions, i de tants altres tipus de nombres dels quals ja en parlarem […].
21. És de gran importància a través de tota l’Àlgebra que una idea precisa es formi sobre les quantitats negatives i sobre el que hem estat parlant. Tanmateix, remarcaré aquí que les expressions tals com +1 – 1, +2 – 2, +3 – 3, +4 – 4, etc. són iguals a 0 o a res. I que +2 – 5 és igual a -3 perquè si una persona té 2 corones i en deu 5, no només no té res sinó que encara deu 3 corones. De la mateixa manera, 7 – 12 és igual a -5, i 25 – 40 és igual a -15.
22. Les mateixes observacions són veritat quan al fer l’expressió més general, usem les lletres en lloc dels nombres, ja que 0 o res sempre serà el valor de +a – a, però si volem saber el valor de a – b, haurem de considerar dos casos: el primer quan a sigui més gran que b; b ha de ser aleshores restat d’a i el resultat (abans del qual s’entén que hem de posar el signe +) mostra el valor buscat. El segon cas és que a sigui menor que b: aquí a ha de ser restat de b i el resultat serà fet negatiu posant-hi davant el signe – serà el valor buscat.