Continua aquí el documental “Galileo y el telescopio del pecado”:
[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/VBJ-QBOm-GU" width="425" height="350" wmode="transparent" /]
Continua al següent post
Continua aquí el documental “Galileo y el telescopio del pecado”:
[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/j7DPyYnfliQ" width="425" height="350" wmode="transparent" /]
Continua al següent post
Tal dia com avui, un 15 de novembre de 1630 va morir el gran Johannes Kepler, el segon personatge conegut de la història en col·locar una el·lipse en el cel per tal d’explicar els moviments celests. Per conmemorar aquesta data, avui toca una cita d’aquest il·lustre personatge:
Tal dia com avui, un 14 de novembre de 1716, va morir el gran Gottfried W. Leibnitz. Aquest gran matemàtic alemany va néixer a Leipzig en 1646 en l’àmbit d’una família prou acomodada: el pare era professor de filosofia de la moral i la mare era filla d’un notable advocat la qual va ser criada en uns estrictes valors morals. Aquest tipus d’educació religiosa va ser heretada per Leibnitz a partir dels sis anys, edat en la qual va quedar orfe de pare. Un any més tard va entrar a l’escola Nicolai de Leipzig i el desig de poder llegir els llibres de son pare va fer que fos un alumne avançat que als dotze anys ja era capaç de llegir perfectament en llatí i grec. Un cop la biblioteca de son pare va ser accessible va començar a llegir Aristòtil i a no estar-hi d’acord amb el que va començar a desenvolupar les seves pròpies idees filosòfiques. La seva dotació intel·lectual el van fer ingressar a la universitat a l’edat de 14 anys per aprendre matemàtiques, hebreu, llatí, grec i filosofia i en 1663 va presentar la tesi De principio individui (Sobre el principi de la persona) amb la que es va llicenciar en filosofia i lletres. Les idees de Leibnitz estaven d’acord amb l’ús del raonament matemàtic per demostrar qualsevol dissertació lògica i aquest va ser el camí que més li va interessar. Va seguir estudiant els doctorats de filosofia i la llicenciatura de dret però les seves idees es van plasmar en 1666 en la Dissertatio de Arte Combinatoria (Debat sobre l’art combinatòria) on va reduir qualsevol raonament a la combinació de nombres, sons, colors i lletres. Un any més tard va doctorar-se en dret a la universitat d’Altdorf on posteriorment va rebutjar la càtedra per dedicar-se a diversos projectes científics, jurídics i filosòfics. Les seves preocupacions científiques van portar els seus estudis cap a l’estudi del moviment dels cossos i en 1671 va publicar la Hypothesis Physica Nova (Les noves hipòtesis físiques) on va teoritzar sobre la dependència entre el moviment i l’ànima.
En aquest període Leibnitz va començar una sèrie de contactes científics molt importants. A banda de les seves publicacions a la Royal Society de Londres, les intrigues polítiques el van fer viatjar a París on va conèixer a Christian Huygens (1629-1695) i a Londres on va coincidir amb Robert Boyle (1627-1691) i Robert Hooke (1635-1703). Aquest periple per terres estrangeres van obrir-li els ulls i ven fer que comprovés que havia a Europa personatges que destacaven molt més que ells en matemàtiques així que va haver de posar-s’hi de valent. Després d’entrar a la Royal Society (1673) va començar a estudiar el que avui coneixem amb el nom de la derivada quedant realment impressionat. En la seva recerca de nous mètodes, el secretari de la Royal Society li va comunicar que Isaac Newton també s’hi estava dedicant i que havia trobat mètodes innovadors. Leibnitz va tornar a París i va començar a desenvolupar tota la seva teoria sobre les derivades usant una nova notació matemàtica que, bàsicament, és la que usem actualment. Davant dels resultats que anava obtenint Newton en el mateix camp, Leibnitz va començar a redactar els seus propis coneixements amb la imminent finalitat de publicar-los. En 1676 va abandonar París i es va traslladar a Hannover on finalment moriria. En aquesta nova etapa va publicar l’Essay d’une nouvelle science des nombres (Assaig sobre una nova ciència dels nombres) i va aconseguir entrar en contacte amb Vicenzo Viviani (1622-1703), el gran amic i biògraf de Galileu. Finalment, la seva gran contribució matemàtica sobre el càlcul de les derivades va veure la llum en 1684 amb el títol Nova methodus pro maximis et minimis en la revista creada per ell mateix en 1682 Acta Eroditorum. Malgrat que Newton havia descobert les derivades molt abans que Leibnitz, la seva obra no va ser publicada fins 1736 i això va fer que Leibnitz fos considerat durant molt de temps l’inventor de la derivada.
Blaise Pascal va néixer a la localitat francesa de Clermont-Ferrand el 19 de juny de 1623. Quan només tenia 3 anys va quedar orfe de mare i va quedar al càrrec únicamen del seu pare Étienne Pascal. Étienne era jutge de la cort de Montferrand i estava considerat com un dels personatges més influents de la societat de l’Auvernia i li va procurar al seu fill una bona educació. Després de morir la seva muller, Étienne va traslladar la seva família a París. Blaise va sobresortir de seguida en l’estudi i passió per les matemàtiques (possiblement heretada del seu propi pare) i malgrat la prohibició contundent de dedicar-s’hi va seguir dedicant-s’hi d’amagat. Potser és estrany veure com un enamorat de les matemàtiques com era Étienne prohibís al seu fill l’estudi d’aquesta ciència però el jutge volia que Blaise se centrés en el llatí, el grec i la literatura i deixés les passions per un altre moment. Tanmateix, Étienne va descobrir el seu fill de dotze anys fent una demostració independent sobre que la suma dels tres angles d’un triangle és 180º i això va fer que aixequés aquesta prohibició. A més a més, es va passar del blanc al negre de cop i volta: Étienne era asidu del cercle científic de Marín Mersenne i va començar a portar a Blaise a les lectures que allí s’hi feien en companyia dels grans matemàtics francesos del moment com Girard Desargues i Gilles Personne de Roberval. Aquest nou “hàbitat” li va ser molt propici i amb 16 anys va ser capaç d’escriure l’Essai pour les coniques la qual va agradar molt i que per llàstima hem perdut una gran part. El nomenament del seu pare com a recaptador d’impostos va fer que Blaise ideés una “calculadora” mecànica capaç de fer operacions senzilles (la Pascalina) i aquí no va quedar el seu talent matemàtic. Estem davant del pare de les probabilitats i la llàstima és que Pierre de Fermat no hi estigués interessat i el seu debat sobre aquesta “nova ciència” quedés reduït a un parell o tres de cartes.
Sense entrar en més detalls, direm que en 1654, mentre travessava el pont de Neuilly sobre el riu Sena, el cavall que tirava del seu carruatge es va desbocar i va estar a punt de morir. Mentre el carruatge quedava penjant del pont, Pascal va prometre a Déu que si salvava la vida deixaria la seva gran passió matemàtica i es dedicaria a l’estudi i reflexió de la filosofia. Pascal va sobreviure i va complir la seva promesa. Tanmateix, va provocar la comunitat matemàtica amb un concurs consistent en tres problemes per veure qui era capaç de resoldre’ls. Ningú no va fer-ho excepte un tal Amos Dettonville, el propi Pascal amb un pseudònim.
Acabo en aquest post amb la traducció del capítol II, on Euler dóna les definicions de nombres positius, negaitus i, en general, de nombres enters:
15. No serà considerat amb major dificultat si, per tal de generalitzar aquestes operacions, fem ús de les lletres en lloc dels nombres. És evident que, per exemple, a – b – c + d – e, significa que tenim uns nombres expressats per a i per d i que d’ells o de la seva suma, hem de restar els nombes expressats per les lletres b, c i e els quals tenen davant el signe -.
16. Per tant, és absolutament necessari considerar que el signe està preficat a cada nombre amb el que en Àlgebra, les quantitats simples són nombres considerats afectats pels signe que els precedeixen. A més a més, anomenem nombres positius a aquells que tenen davant un signe + i nombres negatius a aquells que estan afectats pel signe -.
17. La manera en la qual calculem generalment la propietat d’una persona és una il·lustració apta del que hem dit fins ara. Denotem el que un home posseeix mitjançant nombres positius usant o entenent el signe + mentre que el que deu ho representem amb nombres negatius, o usant el signe -. Aixé, quan es diu que un té 100 corones però en deu 50, això significa que la seva possessió real és de 100 -50, o el que és el mateix, +100 – 50 que dóna 50.
18. Com els nombres negatius poden ser considerats com deutes ja que els positius representen les possessions, hem de dir que els nombres negatius són menors que no res. Així, quan un home no té res i deu 50 corones, és cert que té 50 corones menys que no res; perquè si algú li fes un regal de 50 corones per pagar els seus deutes, encara estaria en el punt del no res malgrat que fos més ric que abans.
19. De la mateixa manera, els nombres positius són incontestablement majors que no res i els negatius menors que el no res. Ara, obtenim nombres positius afegint 1 al 0 o, el que és el mateix, 1 a res; i podem continuar sempre incrementant a partir d’una unitat. Això és l’origen de les sèries de nombres anomenats nombres naturals; els següents són els primers termes de la sèrie: 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10 i així fins l’infinit. Però si, en lloc de continuar aquesta sèrie per addicions contínues, continuem en direcció oposada perpétuement restant una unitat, tindrem la següent sèrie de nombres negatius: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10 i així fins l’infinit.
20. Tots aquests nombres tant si són positius com negatius, tenen el conegut nom de nombres sencers o enters els quals conseqüentment són majors o menors que no res. Els anomenem enters per distingir-los de les fraccions, i de tants altres tipus de nombres dels quals ja en parlarem […].
21. És de gran importància a través de tota l’Àlgebra que una idea precisa es formi sobre les quantitats negatives i sobre el que hem estat parlant. Tanmateix, remarcaré aquí que les expressions tals com +1 – 1, +2 – 2, +3 – 3, +4 – 4, etc. són iguals a 0 o a res. I que +2 – 5 és igual a -3 perquè si una persona té 2 corones i en deu 5, no només no té res sinó que encara deu 3 corones. De la mateixa manera, 7 – 12 és igual a -5, i 25 – 40 és igual a -15.
22. Les mateixes observacions són veritat quan al fer l’expressió més general, usem les lletres en lloc dels nombres, ja que 0 o res sempre serà el valor de +a – a, però si volem saber el valor de a – b, haurem de considerar dos casos: el primer quan a sigui més gran que b; b ha de ser aleshores restat d’a i el resultat (abans del qual s’entén que hem de posar el signe +) mostra el valor buscat. El segon cas és que a sigui menor que b: aquí a ha de ser restat de b i el resultat serà fet negatiu posant-hi davant el signe – serà el valor buscat.
Seguim aquí amb la primera part del segon capítol dels Elements d’Àlgebra (1770) de Leonhard Euler. Després d’haver introduït l’aritmètica i l’àlgebra al primer capítol I, en aquest segon capítol explica les operacions de nombres enters on només hi apareixen sumes i restes i acaba amb la definició de nombres enters. Vegem-ho:
Capítol II: explicació dels signes + més i – menys
8. Quan hem d’afegir un nombre donat a un altre, això és indicat amb el signe + el qual situarem abans del segon nombre, i el llegirem om més. Així, 5+3 significa que hem d’afegir 3 al nombre 5 i, en aquest cas, tothom sap que el resultat és 8. De la mateixa manera 12 + 7 fan 19; 25 + 16 fan 41; la suma de 25 + 41 és 66, etc.
9. També podem fer ús del mateix signe + més per connectar diversos nombres junts; per exemple, 7 + 5 + 9 significa que al nombre 7 li afegim 5 i també 9, que fan 21. El lector podrà aleshores entendre per 8 + 5 + 13 + 11 + 1 + 3 + 10, la suma de tots aquests nombres la qual és 51.
10. Tot això és evident i només hem de mencionar que en Àlgebra, per tal de generalitzar els nombres, els representem per lletres tals com a, b, c, d, etc. Així, l’expressió a + b significa la suma de dos nombres els quals estan representats per a i b i aquests nombres poden ser molt grans o molt petits. De la mateixa manera, f + m + b + x significa la suma de quatre nombres representats per aquestes quatre lletres. Per tant, si sabem que els nombres estan representats per lletres, podrem sempre trobar per l’aritmètica la suma o valor d’aquestes expressions.
11. Pel contrari, quan se’n demana restar un nombre donat d’un altre, aquesta operació és representada pel signe – menys que significa menys i s’ha de posar abans del nombre que ha de ser restat; així, 8 – 5 significa que el nombre 5 ha de ser restat del 8 i, al fer-ho, s’obté 3. De la mateixa manera, 12 – 7 dóna 5; i 20 – 14 dóna 6, etc.
12. Algunes vegades, podem tenir diversos nombres per ser restats d’un d’únic com, per exemple, 50 – 1 – 3 – 5 – 7 – 9. Això significa que, primer, resta 1 de 50 i donarà 49; resta 3 del resultat i tindrem 46; resta-li 5 i dóna 41; resta-li 7 i dóna 34; finalment, resta-li 9 i dóna 25: aquest últim resultat és el valor de l’expressió. Però els nombres 1, 3, 5, 7, 9 estan tots per ser restats i és el mateix que si restem la seva suma la qual és 25 d’un sol cop al 50 i el resultat serà 25 com abans.
13. És també fàcil determinar el valor d’expressions similars en les quals estan els dos signes + més i – menys. Per exemple, 12 – 3 – 5 + 2 – 1 és el mateix que 5. Només hem d’ajuntar per separat els nombres que tenen + davant d’ells i restar d’ells la suma dels que tenen – davant d’ells. Així, la suma de 12 i 2 és 14 i la de 3, 5 i 1 és 9. Per tant, 9 restat de 14 és 5.
14. D’aquests exemples es pot observar que l’ordre en el qual escrivim els nombres és perfectament indeferents i arbitrari, provist del signe en cadascun dels casos. Podríem haver escrit de la mateixa manera en l’article precedent 12 + 2 – 5 – 3 -1 o 2 – 1 – 3 – 5 + 12 o 2 `+ 12 – 3 – 1 – 5 o en altres ordres; ha de ser observat que en la primera expressió posada, el signe + se suposa que està davant del 12.
Continuarà…
305è ANIVERSARI DE LA MORT DE JOHN WALLISAvui fa 305 anys de la mort d’un dels matemàtics anglesos més importants abans de l’aparició d’Isaac Newton. Seguint les paraules de Howard Eves a la seva An Introduction to the History of Mathematics, Wallis va néixer en 1616 i va ser un dels matemàtics més hàbils i originals de la seva època i un escriptor erudit en diversos camps. Va ser alumne de William Oughtred (1574-1660) i en 1649 va ser nomenat professor de geometria a Oxford en una plaça que mantindria fins el dia de la seva mort, el 28 d’octubre de 1703. Va introduir les sèries numèriques en l’anàlisi matemàtica i la seva tasca en aquest camp va fer molt en la preparació del camí del gran Newton.
Wallis va ser un dels primers en estudiar les còniques com a corbes de segon grau en lloc d’únicament com les seccions d’un con recte. En 1655 va publicar la seva Arithmetica infinitorum (dedicada a Oughtred), llibre que va esdevenir un tractat habitual en les lliçons d’aritmètica durant força anys. En aquesta obra hi trobem que l’àrea compresa per la corba y = xn. l’eix d’abscisses i les ordenades x = 0 i x = 1 és 1/(1+n) per qualsevol n racional diferent de -1. També va ser el primer en explicar amb tot detall el significat dels exponents racionals i dels negatius i va introduir el símbol actual per l’infinit.
Va aproximar el valor de pi mitjançant sèries infinites com la trobada en el càlcul de l’àrea d’un quadrant de cercle:
Pi/4 = (2·4·4·6·6·…)/(3·3·5·5·7·…)
a partir d’anar avaluant l’àrea entre les abscisses 0 i 1 de les corbes y = (1 – x2)n per n = 0, 1, 2…
Respecte del pintor: Sir Godfrey Kneller va néixer el 8 d’agost de 1646 a Lübeck, Alemanya. Va estudiar al costat de pintors de la talla de Ferdinand Bol (1616-1680) i Rembrandt van Rijn (1606-1669) esdevenint posteriorment un dels grans retratistes dels segles XVII-XVIII. Sempre va estar al costat de grans reis europeus com Guillem III d’Orange, Carles II i George I d’Anglaterra i va arribar a ostentar un títol nobiliari. Unes febres molt fortes el van portar a la mort el 19 d’octubre de 1723 i va ser enterrat a l’església de Twickenham.
Al canal de Historia (http://www.canaldehistoria.es/es/index2.php), van emetre un interessant documental titulat “Galileo y el telescopio del pecado”, presentat per l’americà Hunter Ellis. Veient-lo, podem seguir una mica de la història que va viure l’italià en la cort papal i que el va portar a haver de renegar de la seva obra. La versió que poso aquí és la que he trobat al Youtube.
[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/4ZjE3-w3YxI" width="425" height="350" wmode="transparent" /]
Continua al següent post.