Cita de PLATÓ (c. 427 – c. 347 aC)
Leave a reply
Author Archives: cdorce
J.M. i P.B.BORWEIN. “Srinivasa Ramanujan”, Investigación y Ciencia – Temas 1: Grandes matemáticos, pàgs. 120-128
Tornem a usar la revista Temas 1 d'”Investigación y Ciencia” i concretament el seu article “Srinivasa Ramanujan” (pàgines 120-128) de Jonathan M. Borwein i Peter B. Borwein per explicar la vida d’un dels matemàtics més importants de la humanitat. Pertanyent a la casta dels brahmans, Srinivasa Aiyangar Ramanujan va néixer el 22 de desembre de 1887 a la localitat índia d’Erode. El seu pare era comptable a Kumbakonam i Srinivasa va passar allà la seva infantesa demostrant la seva gran habilitat matemàtica. La seva precoç intel·ligència va provocar que li arribés una beca per estudiar a l’escola pública local en 1895 i als dotze anys, ja s’havia après el tractat de trigonometria Plane Trigonometry de S.L.Loney, un dels dos llibres que van resultar fonamentals en la seva obra futura. L’altre va ser la Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics la qual va tenir a les seves mans als quinze anys i que consisteix en 6.000 teoremes recopilats pel professor de la universitat de Cambridge G.S.Carr. En 1903 va ser admès en un col·legi universitari local on va suspendre els exàmens donat el seu únic interès per les matemàtiques i fet que es va repetir quatre anys més tard a l’escola universitària de Madràs. Es va casar en 1909 i va haver de buscar-se una feina al costat d’un ric mecenes matemàtic: R. Ramaxandra Rao. Va aconseguir un dispendi mensual a partir de les recomanacions de diversos matemàtics indis i en les seves pròpies investigacions i resultats que ja havia deixat plasmats en les seves llibretes. En 1912, va ocupar una plaça a la Junta del port de Madràs presidida per l’enginyer britànic Sir Francis Spring i on va coincidir 
amb el director gerent V. Ramaswami Aiyar, fundador de la Societat Matemàtica Índia. Tots dos van insistir a Ramanujan per a que publiqués els seus resultats i ho va fer a tres notables matemàtics britànics dels quals només li va respondre el professor Godfrey Harold Hardy (1877-1947) de Cambridge. La història explica que Hardy i el seu amic E.Littlewood van seure després de sopar a analitzar les 120 fórmules i teoremes que Ramanujan els hi havia enviat (16 de gener de 1913) pensant-se que estaven davant d’un dels nombrosos intents de matemàtics per aconseguir una reputació no merescuda. Aquesta vegada però, estaven davant de l’obra d’un geni. L’article dels Borwein explica que el propi Hardy en la seva “escala del talent pur” va assignar-se un 25 a ell mateix, un 30 a Littlewood, un 80 a David Hilbert i un 100 a Ramanujan! Davant d’aquest talent, Hardy va convidar a Ramanujan a Cambridge on va anar en el mes de març de 1914. Durant els següents cinc anys, Hardy i Ramanujan van treballar al Trinity College i tal com llegim a l’article, “la destreza de Hardy unida a la brillantez ‘en rama’ de Ramanujan, fructificaron en una colaboración sin par. Publicaron una serie de artículos seminales sobre las propiedades de diversas funciones aritméticas y prepararon el terreno para afrontar problemas como: ‘¿cuántos divisores primos es probable que tenga un número dado? ¿De cuántas maneras distintas puede expresarse un número en forma de suma de enteros positivos menores que él?“. En 1917 va ser admès com a membre numerari de la Royal Society de Londres i del Trinity College i la seva reputació va seguir creixent. Tanmateix, la seva categoria intel·lectual es va veure afectada pels problemes de salut: possiblement li era molt difícil poder seguir una dieta vegetariana en una Anglaterra víctima dels racionaments. En 1919, va tornar a l’Índia on va morir el 26 d’abril de 1920.
FITXA TÈCNICA:
NIVELL: ESO/Batxillerat. Nº PÀGINES: 10. ISSN: 1135-5662
EDITORIAL: Investigación y Ciencia
Fibonacci – Liber Abaci (I)
El Liber Abaci (1202) de Fibonacci significa la introducció dels numerals indis en l’Europa del segle XIII. Molt poc sabem d’aquest personatge i alguna de les dades que ens han arribat als nostres dies ´la trobem recollida en la seva introducció. En ella ens diu on va aprendre els numerals indis i per on va viatjar.
Aquí comença el Llibre del Càlcul composat per Leonardo Pisano de la família Bonaci, en l’any 1202
Vostè, el meu mestre Michael Scot, el més gran filòsof, va escriure al meu Senyor respecte del llibre sobre nombres que vaig escriure algun temps enrera i que li vaig transcriure a vostè; d’aquí que seguint la seva crítica i la seva més subtil circumspecció, en honor a vostè i a d’altres vaig corregir aquesta obra amb avantatge. En aquesta rectificació, vaig afegir certes necessitats i vaig esborrar certs aspectes superflus. En ell, vaig presentar unes instruccions completes sobre els nombres properes al mètode dels Indis que és el que vaig escollir per aquesta ciència. I perquè les ciències aritmètica i geomètrica estan connectades i es recolzen l’una en l’altra, el coneixement global dels nombres no pot ser presentat sense trobar-nos amb alguna part geomètrica o sense veure que les operacions en aquest camí de nombres estan properes a la geometria; el mètode és ple de proves i demostracions fetes amb figures geomètriques. I en una altre llibre que realment vaig composar sobre geometria, vaig explicar aquestes i d’altres coses pertanyents a la geometria, cada qual amb la seva prova apropiada. Per estar-ne segur, aquest llibre mira més a la teoria que a la pràctica. Així, qui alguna vegada vulgués saber bé la pràctica d’aquesta ciència hauria d’ocupar-se amb impaciància amb ús continu i endurint l’exercici en pràctica, ja que la ciència es converteix en hàbit per la pràctica; la memòria i inclús la percepció es relacionen amb les mans i les figures que com un impuls i respiració en un mateix instant, van juntes naturalment per tot; i així farem l’hàbit en l’estudiant; seguint diferents graus podrà fàcilment portar això a la perfecció. I per revelar més fàcilment la teoria, vaig separar aquest llibre en quinze capítols com podrà comprovar qui algun dia vulgui llegir aquest llibre. A més a més, si en aquesta obra és trobada alguna insuficiència o defecte, la sotmeto a la vostra correcció.
Com el meu pare era funcionari públic en la casa de comerç de Bugia establerta pels mecaders de Pisa els quals es reunien allí freqüentment, em va portar amb ell en la meva joventut tractant de trobar-me un futur útil i confortable; allà va voler per mi l’estudi de les matemàtiques i que se m’ensenyessin durant alguns dies. D’una meravellosa instrucció en l’art de les nou figures índies, la introducció i coneixement de l’art em va agradar molt més que res i vaig aprendre dels qui van aprendre en ell els seus diversos mètodes en les veïnes Egipte, Síria, Grècia, Sicília i Provença, indrets de comerç als quals vaig viatjar considerablement després de molt d’estudi i vaig aprendre de disputes muntades. Però això, en conjunt, l’algorisme i també els arcs pitagòrics, els considero encara un error en comparació al mètode indi. Per tant, tractant estrictament el mètode indi, una tentativa del seu estudi, de la meva pròpia collita sense afegir-hi res i alguna altra cosa encara del subtil art geomètric d’Euclides, aplicant la suma que vaig poder percebre en aquest llibre, vaig treballar per posar-ho tot junt en quinze capítols diferents, mostrant certes proves per gairebé tot el que hi he posat. A més a més, aquest mètode va perfeccionar la resta, aquesta ciència és instruïda als ansiosos i al poble italià per damunt dels altres que fins ara es troben sense un mínim. Si, per casualitat, alguna cosa més o menys propera és necessària i me l’he deixada, demano la vostra indulgència perquè no hi ha ningú sense falta.
“Luca Pacioli”, un quadre de Jacopo de Barbari (1495)
Si algun cop aneu a Nàpols, no dubteu en visitar la Galleria di Capodimonte (http://en.museo-capodimonte.it/). Entre els múltiples quadres que hi podeu observar, trobareu el Ritratto di Frà Luca Pacioli, pintat possiblement per Jacopo di Barbari (c. 1440-1515). Com podeu veure a la imatge, Pacioli està representat seguint un dels tants teoremes dels Elements d’Euclides i es troba demostrant-lo ell mateix. Al seu costat, uns quants estris completen l’escena com són un model de dodecàedre i de rombicuboctàedre, un compàs…
Luca Pacioli va néixer a Borgo de Sansepolcro cap a la meitat del segle XV i es creu que ja de jove va entrar en contacte amb les escoles d’aritmètica que ensenyaven l’hegemonia de les xifres indo-aràbigues per davant dels cada cop més obsolets nombres romans. Va ser contractat per un ric comerciant venecià que el va portar a l’escola veneciana de Rialto, institució on va poder entrar en contacte amb gran part dels millors mestres i metges italians del moment. Va fer de la docència la seva professió i malgrat entrar a l’ordre franciscana va viure a diverses ciutats segons anava sent contractat com a professor de matemàtiques. No se sap gaire més de la sava vida excepte que va coincidir amb Leonardo da Vinci a la cort de Milà i que van ser molt bons amics.
La seva gran obra matemàtica i per la qual el seu nom va passar a la història és la Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalita (Venècia, 1494) però també hem conservat una De viribus quantitatis (1496-1508), una edició dels Elements d’Euclides (1509) i el De divina proportione (Venècia, 1509).
Respecte del pintor: Jacopo di Barbari va ser pintor a les corts de Maximilià d’Habsburg i de Joaquim I de Branderburg malgrat que també va treballar a Venècia. La seva pintura va estar influenciada per Albert Durer i Hans von Kulmbach.
El papir Rhind del British Museum
La font matemàtica egípcia més important que s’ha onservat fins als nostres dies és, sense cap tipus de dubtes, el papir Rhind. Entrant a la web del British Museum (http://www.britishmuseum.org/), museu on es conserva i no sempre es pot visitar, podem llegir: “una quantitat de documents han sobreviscut per permetre’ns entrar en l’aproximació dels egipcis al món de la matemàtica. Aquest papir és el més extens. No és un tractat teòric sinó una llista de problemes pràctics típics de treballs referents a l’administració i a la onstrucció. El text conté 84 problemes sobre operacions aritmètiques, resolució de problemes pràctics i geomètrics. La majoria de la literatura egípcia va ser escrita pels escrives als qui se suposava que havien de realitzar diverses tasques entre les que devia haver algunes de matemàtiques.
El papir matemàtic Rhind és també important com a document històric ja que el copista va escriure que ho estava fent en l’any 33 del regnat d’Apophis, el penúltim rei de la quinzena dinastia de Hyksos (c. 1650-1550 aC) i que l’original era de la dotzena dinastia (c. 1985-1795 aC). Per l’altra banda del papir, es menciona l'”any 11″ juntament amb els noms de certes ciutats egípcies. Probablement es refereix a la guerra entre els egipcis i els hiksos abans del Regne Nou (1550-1070 aC). Tanmateix, no està clar a quin rei es refereix aquest “any 11”.
El papir va ser adquirit per l’advocat escocès A.H.Rhind durant la seva estada a Tebes a la dècada de 1850″.
El papir està esrit en escriptura hieràtica al llarg dels seus sis metres de longitud per 33 cm. d’alçada.
Cita d’ÉVARISTE GALOIS (1811-1832)
“Lamentablement, no està reconegut el fet que la majoria de llibres que valen la pena són aquells en els quals l’autor indica clarament el que no sap ja que la manera en la qual un autor fereix més els seus lectors és ocultant-los les seves dificultats”
Cita de PAUL A. M. DIRAC (1902-1984)
“Les matemàtiques són una eina especialment adequada per tractar els conceptes abstractes de qualsevol tipus i no coneix límit en aquest camp”
L.PACIOLI. La Divina Proporción (I)
L’any 1987, Akal va editar en castellà aquesta obra de Luca Pacioli de 1509. El llibre comença amb una introducció biogràfica d’Antonio Manuel González que és força bona. Ens diu que Pacioli neix en 1445 a la localitat toscana de Borgo San Sepolcro on hi passa la seva joventut. Sabem que el seu pare es deia Bartolomeo i un dels seus tiets, Benedetto. Va ser aprenent a la casa de la família de Folco de Belfolci i va esdevenir amic del pintor Piero della Francesca, qui no parava d’anar a Borgo contínuament. Aquest contacte va introduir Pacioli a la cort dels Urbino, on el duc Federico de Montefeltro tenia una gran biblioteca. Cap als 20 anys es va traslladar a Venècia per treballar al costat del mercader Antonio Rompiasi com a preceptor dels seus dos fills. Va aprofitar la seva estada a la ciutat dels canals per anar a les lliçons públiques de matemàtiques de Doménico Bragadino i per convertir-se en tot un expert en aritmètica mercantil. Cap els 25 anys el trobem instal·lat a Roma on gràcies a della Francesca, va ser introduït a la cort papal. Va freqüentar l’alta societat romana i els cercles del cardenal Riario, molt interessat en les obres de l’arquitecte Vitrubi. En 1472 entra en l’ordre dels Franciscans Menors i tres anys més tard, esdevé lector de matemàtiques a Perugia on és contractat per 30 fiorins anuals durant un període de dos anys. En 1481 el trobem a la localitat dàlmata de Zarar on escriu un tractat d’àlgebra i després d’una breu estada a Florència, obté a Perugia el títol de Magíster que li dóna dret a obtenir una càtedra a la universitat. Ell mateix ens diu que donada la seva fràgil salut i l’esgotament en el que es trobava, abandona la docència i en 1488 el trobem a casa del bisbe de Carpentrasso a Roma fent de prelat. Dos anys més tard, viatja a Nàpols per tornar a la vida acadèmica i ensenyar matemàtiques i teologia i construir una col·lecció de políedres regulars que regalarà a Guidubaldo de Montefeltro. De 1490 a 1493 retorna a Borgo de San Sepolcro i prepara la seva Summa de Arithmetica i en 1493 dóna lliçons de geometria i aritmètica a Pàdua. En 1494 torna a Venècia i imprimeix la versió final de la Summa, obra que esdevindrà una autèntica enciclopèdia matemàtica. Retorna a Urbino d’on és la famosa pintura que el retracta demostrant un teorema d’Euclides. En aquesta introducció podem llegir les diferents versions sobre l’autoria del quadre. En 1496 accepta la invitació de Ludovico Sforza per anar a Milà a ensenyar matemàtiques. De seguida es fa amic de Leonardo da Vinci i producte d’aquesta relació neix el llibre De divina proportione (acabat el 14 de desembre de 1497) on Leonardo li va pintar els 60 cossos que hi estan representats. La caiguda de Ludovico el Moro en 1499 fa que tots dos se’n vagin de Milà i acabin a la cort de Màntova i després a Venècia i Florència. Pacioli comença a viatjar i a ensenyar a diferents universitats com Pisa (1500), Perugia (1500), Bologna (de 1501 a 1502) i, finalment, Florència (de 1502 a 1505) on compta amb la protecció i amistat de Pietro Soderini. En 1505 torna a la cort romana del vicecanciller Galeotto Franciotti i s’hi queda fins 1508, moment en el que retorna a Venècia per preparar la impressió de la seva versió dels Elements d’Euclides. També prepara la impressió del De divina proportione que s’imprimirà en 1509. El final de Pacioli comença amb el seu nou trasllat a Perugia i en febrer de 1510 és nomenat comissari del monestir de Borgo de San Sepolcro. El 21 de novembre de 1511 redacta un nou testament i en 1514 es trasllada a Roma sota el requeriment del papa Lleó X per a fer-se càrrec de la càtedra de matemàtiques de la Sapienza. Va morir a Borgo de San Sepolcro cap a l’any 1517.
“Arquimedes”, un quadre de José de Ribera (1630)
La vida d’Arquimedes de Siracussa se situa aproximadament entre els anys 287 i 212 aC i va ser considerat l’alfa dels grecs, és a dir, el número 1 per davant del beta Eratóstenes de Cirene. Va heretar la seva passió per les matemàtiques del seu pare, l’astrònom Fídies. La seva vida és un cúmul de llegendes que és difícil saber si són veritat o mentida. Sembla ser que va estudiar a l’Alexandria de la famosa biblioteca i que allí va poder posar-se en contacte amb els grans matemàtics i científics del moment com el mateix Eratóstenes i, per què no, el gran Euclides. La seva gran reputació el devien catapultar a alts càrrecs de la cort i de l’exèrcit i se li atribueixen diversos invents d’artilugis militars que van fer de Siracussa una ciutat inexpugnable. A la història de la física el seu nom va lligat al prinipi que va descobrir i al seu famós “Eureka”. El rei Hieró de Siracussa estava molt preocupat perquè havia encarregat a un joier que li construís una corona amb un lingot d’or. Al rebre la comanda, el monarca devia posar mala cara perquè va veure que la corona no semblava pesar la quantitat d’or que havia donat al joier. Què podia fer? Hieró va encarregar a Arquimedes que aconseguís trobar un mètode per poder decidir la veritat de la qüestió ja que no hi havia cap persona que fos capaç de fer-ho. Arquimedes es va dedicar en os i ànima dia i nit per trobar la solució del problema però la resposta no arribava. Un cert dia, mentre es relaxava a la banyera de casa seva, va observar que tal com es ficava dins de l’aigua, el nivell de l’aigua pujava de manera proporcional a la porció de cos que hi anava submergint. Arquimedes va veure la solució i de l’emoció, va sortir al carrer despullat com estava cridant ‘Eureka, Eureka’. Si la corona estava construïda amb el mateix lingot d’or que se li havia donat al joier, al submergir-la en una banyera, el nivell de l’aigua hauria de pujar fins la mateixa alçada que al submergir en la mateixa banyera una peça d’or igual que l’inicial. No sabem quina sort va córrer el joier però segurament devia sortir fugint de Siracussa ja que en aquelles èpoques era molt habitual que les comissions dels joiers es vegessin complementades amb sobresous provinents dels metalls que treballaven.
Respecte del pintor: José de Ribera, més conegut com “Lo Spagnoletto” va néixer a Xàtiva en 1591. Va estudiar pintura al taller de Francisco Ribalta i en 1616 es va instal·lar a Nàpols després de visitar i treballar a diverses ciutats italianes. Un cop establert, comencen els seus anys més prolífics (1620-1630). Va pintar segons el tenebrisme i va esdevenir un dels pintors més importants de l’escena europea del segle XVII.
L.EULER. Elements d’Àlgebra (II)
Seguim aquí amb la primera part del segon capítol dels Elements d’Àlgebra (1770) de Leonhard Euler. Després d’haver introduït l’aritmètica i l’àlgebra al primer capítol I, en aquest segon capítol explica les operacions de nombres enters on només hi apareixen sumes i restes i acaba amb la definició de nombres enters. Vegem-ho:
Capítol II: explicació dels signes + més i – menys
8. Quan hem d’afegir un nombre donat a un altre, això és indicat amb el signe + el qual situarem abans del segon nombre, i el llegirem om més. Així, 5+3 significa que hem d’afegir 3 al nombre 5 i, en aquest cas, tothom sap que el resultat és 8. De la mateixa manera 12 + 7 fan 19; 25 + 16 fan 41; la suma de 25 + 41 és 66, etc.
9. També podem fer ús del mateix signe + més per connectar diversos nombres junts; per exemple, 7 + 5 + 9 significa que al nombre 7 li afegim 5 i també 9, que fan 21. El lector podrà aleshores entendre per 8 + 5 + 13 + 11 + 1 + 3 + 10, la suma de tots aquests nombres la qual és 51.
10. Tot això és evident i només hem de mencionar que en Àlgebra, per tal de generalitzar els nombres, els representem per lletres tals com a, b, c, d, etc. Així, l’expressió a + b significa la suma de dos nombres els quals estan representats per a i b i aquests nombres poden ser molt grans o molt petits. De la mateixa manera, f + m + b + x significa la suma de quatre nombres representats per aquestes quatre lletres. Per tant, si sabem que els nombres estan representats per lletres, podrem sempre trobar per l’aritmètica la suma o valor d’aquestes expressions.
11. Pel contrari, quan se’n demana restar un nombre donat d’un altre, aquesta operació és representada pel signe – menys que significa menys i s’ha de posar abans del nombre que ha de ser restat; així, 8 – 5 significa que el nombre 5 ha de ser restat del 8 i, al fer-ho, s’obté 3. De la mateixa manera, 12 – 7 dóna 5; i 20 – 14 dóna 6, etc.
12. Algunes vegades, podem tenir diversos nombres per ser restats d’un d’únic com, per exemple, 50 – 1 – 3 – 5 – 7 – 9. Això significa que, primer, resta 1 de 50 i donarà 49; resta 3 del resultat i tindrem 46; resta-li 5 i dóna 41; resta-li 7 i dóna 34; finalment, resta-li 9 i dóna 25: aquest últim resultat és el valor de l’expressió. Però els nombres 1, 3, 5, 7, 9 estan tots per ser restats i és el mateix que si restem la seva suma la qual és 25 d’un sol cop al 50 i el resultat serà 25 com abans.
13. És també fàcil determinar el valor d’expressions similars en les quals estan els dos signes + més i – menys. Per exemple, 12 – 3 – 5 + 2 – 1 és el mateix que 5. Només hem d’ajuntar per separat els nombres que tenen + davant d’ells i restar d’ells la suma dels que tenen – davant d’ells. Així, la suma de 12 i 2 és 14 i la de 3, 5 i 1 és 9. Per tant, 9 restat de 14 és 5.
14. D’aquests exemples es pot observar que l’ordre en el qual escrivim els nombres és perfectament indeferents i arbitrari, provist del signe en cadascun dels casos. Podríem haver escrit de la mateixa manera en l’article precedent 12 + 2 – 5 – 3 -1 o 2 – 1 – 3 – 5 + 12 o 2 `+ 12 – 3 – 1 – 5 o en altres ordres; ha de ser observat que en la primera expressió posada, el signe + se suposa que està davant del 12.
Continuarà…