Quan Leonhard Euler tenia 63 anys, va veure la llum els seus Elements d’Àlgebra (1770), publicats en alemany per la Reial Acadèmia de les Ciències de Sant Petersburg. El llibre fa un repàs a diversos temes aritmètics, algebraics i d’anàlisi com són les potències i arrels, els logaritmes, les progressions aritmètiques i geomètriques, la resolució d’equacions… L’obra està estructurada en dues parts, la primera dedicada a l'”anàlisi de quantitats determinades” i la segona dedicada a les “indeterminades”. Per començar a fer-nos una idea de l’abast del llibre, aquí us deixo la traducció al català del primer capítol de la primera seció (“sobre els diferents mètodes de càlcul de quantitats simples”) de la primera part:
Capítol I: Sobre les Matemàtiques en general
Article I: Anomenem magnitud o quantitat a tot allò que pot créixer o decréixer. Una suma de diners és doncs una quantitat ja que la podem fer augmentar o disminuir. Passa el mateix amb el pes i altres coses d’aquesta naturalesa.
2. És evident a partir d’aquesta definició que els diferents tipus de magnituds són tan variats que ens provoca gran dificultat per poder-les enumerar: i això és l’origen de les diferents branques de la Matemàtica, cadascuna de les quals dedicada a un tipus particular de magnitud. Les Matemàtiques, en general, és la ciència de la quantitat; o, la ciència que investiga els significats de la mesura de la quantitat.
3. Ara, no podem mesurar o determinar cap quantitat excepte si considerem alguna altra quantitat del mateix tipus com coneguda i assenyalant la seva mútua relació. Per exemple, si fos proposat que es determinés la quantitat d’una suma de diners, hauríem de prendre alguna peça monetària coneguda com és un lluís, una corona, un ducat o qualsevol altra moneda i trobar quantes d’elles estan contingudes en la suma donada. De la mateixa manera, si fos proposada la determinació d’una quantitat de pes, hauríem de prendre un cert pes conegut; per exemple, una lliura, una unza, etc. i aleshores mirar quantes vegades un d’aquests pesos està contingut en el que volem trobar. Si volem mesurar una longitud o extensió, hem d’usar una longitud coneguda tal com el peu.
4. Per tant, la determinació o mesura de les magnituds de qualsevol tipus es redueix a: fixar una certa magnitud coneguda de la mateixa espècie que la que volem determinar i considerar-la com si fos la mesura o unitat; aleshores, determinar la proporció de la magnitud proposada respecte de la magnitud coneguda. Aquesta proporció està sempre representada pels nombres; per tant, un nombre no és res més que la proporció d’una magnitud respecte d’una altra d’arbitrària la qual s’assumeix com la unitat.
5. D’això se’n desprèn que totes les magnituds han de ser expressades amb nombres i que la fundació de totes les Ciències Matemàtiques ha de partir d’un tractat complet sobre els nombres i d’un examen acurat dels possibles mètodes de càlcul diferents. Aquesta part fonamental de les matemàtiques s’anomena Anàlisi o Àlgebra.
6. En Àlgebra doncs, considerem només els nombres que representen quantitats sense reparar en els diferents tipus de quantitats. Aquests són l’objecte d’estudi d’altres branques de les matemàtiques.
7. L’Aritmètica tracta els nombres en particular i és la ciència dels nombres pròpiament dita; però aquesta ciència s’extén només a certs mètodes de càlcul que passen a la pràctica habitual: l’Àlgebra, pel contrari, comprèn en general tots els casos que poden existir en la doctrina i el càlcul dels nombres.