D’entrada diríem que una suma infinita tal com 1+2+3+4+5+… o bé 1+3+9+27+81+… sempre és infinit.
De fet, ja el filòsof grec Zenó d’Elea (segle V aC) va utilitzar aquesta idea intuïtiva per plantejar les seves paradoxes.
La més coneguda de les quals és la d’Aquil·les i la tortuga:
Aquil·les, el conegut gran guerrer, decideix sortir a competir en una carrera contra una tortuga. Ja que corre molt més ràpid que ella, i segur de les seves possibilitats, li dona un gran avantatge inicial. En donar-se la sortida, Aquil·les recorre en poc de temps la distància que els separava inicialment, però en arribar allí descobreix que la tortuga ja no està, sinó que ha avançat, més lentament, un petit tram. Sense desanimar-se, continua corrent, però en arribar de nou on estava la tortuga, aquesta ha avançat un poc més. D’aquesta manera, Aquil·les no guanyarà la carrera, ja que la tortuga estarà sempre per davant d’ell.
La paradoxa es resol raonant que els temps en què Aquil·les recorre la distància que el separa del punt anterior on es trobava la tortuga són cada vegada més i més petits, i la seva suma dona un resultat finit, que és el moment en què aconseguirà a la tortuga.
Vegem-ho amb un exemple, la successió 1, 1/2, 1/4, 1/8, … on cada terme és la meitat de l’anterior es pot representar geomètricament així:
Dibuixem el primer terme, 1, com un quadrat d’aquesta superfície, el segon terme, 1/2, serà el rectangle meitat del quadrat anterior, el tercer terme, 1/4, el quadrat meitat del rectangle anterior i així successivament tal com mostra la figura.
Per la disposició d’aquests quadrilàters és clar que sols arribarem a omplir el rectangle de superfície 2 amb la suma de tots ells.
La suma infinita 1+1/2+1/4+1/8+… val 2
En general les successions on cada terme és l’anterior multiplicat per una quantitat constant entre 0 i 1 (anomenades progressions geomètriques decreixents) tenen suma finita.
La següent construcció de GeoGebra mostra com es pot disposar gràficament els termes de la suma (els segments vermells) per tal de deduir la fórmula de la suma.
S = a + a r + a r2 + a r3 + … = a/(1-r) quan r<1
Pots variar el valor del primer terme a i de la raó r amb el lliscador.
Què succeeix si r és major que 1?
El punt clau de la demostració sense paraules és observar que els dos quadrilàters dibuixats el verd són semblants. Llavors la proporció entre els costats corresponents (marcats en lila i blau) ens dona directament la fórmula
Aplicació pràctica:
Una pilota es llença des de 4.5 metres de terra. Suposem que rebota infinites vegades de manera que l’alçada de cada rebot és sempre un 15% menor que el rebot anterior. Quina distància recorre la pilota en total?
Solució:
El segon rebot arriba a una alçada de 4.5 · 0,85 Aquesta distància la fa dues vegades, de pujada i de baixada. El tercer rebot és de 4.5 · 0.852, la distància ara és 2 · 4.5 · 0.852 etc.
La suma serà 4.5 + 2 · 4.5 · 0.85 + 2 · 4.5 · 0.852+…
Deixant a part el primer 4.5 es té una progressió geomètrica amb el primer terme a=2·4.5·0.85 i raó r=0.85 que, com hem vist, té suma S=a/(1-r) = 2 · 4.5 · 0.85 / (1-0.85) = 51
Així que la distància recorreguda per la pilota és 4.5+51= 55.5 metres.
Disposeu d’aquest full MA_sum_prog_geom.PDF per registrar per escrit i recordar aquesta demostració.
També el solucionari MP_sum_prog_geom.PDF