De la meva visita al Museu Marítim de Barcelona guardo un bon record. No pas perquè m’agradi el mar i els vaixells, sinó per veure amb detall instruments de mesura antics i observar com feien els càlculs. Em va sorprendre veure un regle de càlcul per calcular arrels,potències, logaritmes i raons trigonomètriques i un llibre on es resolien triangles esfèrics.
Arxiu de la categoria: General
Instantànies de València
Comparteixo amb vosaltres algunes instantànies que vaig fer en una sortida a València capital amb la meva família. Hi podreu veure elements geomètrics del pala i de l’espai, una taula de valors, un gràfic estadístic origial, un exemple de simetria central….
Instantànies a l’Ermita de la Trinitat
Us deixo unes instantànies que he fet aquest cap de setmana durant una excursió familiar pel Paratge Natural de Poblet. Observeu la importància de la simetria en el logo, la complexitat del rosetó, l’enrajolat format a partir d’octàgons i quadrats, les taules rodones i rectangulars…
La banca rota
M’agrada la novel·la històrica d’aventures com El médico, Xaman i L’últim jueu de Noah Gordon o Los pilares de la tierra, Un món sense fí i La caiguda del Gegants de Ken Follett; per posar alguns exemples. Aquest Sant Jordi em van regalar Prométeme que serás libre de Jorge Molist. Encara no l’he acabat i pel que porto llegit m’està agradant. A més a més, em trobo amb paràgrafs com el següent:
“Estos tomaron la calle de los Cambis Vells y allí Bartomeu detuvo la comitiva para cambiar el dinero recogido en el viaje por moneda de Barcelona. Al emprender la marcha, les explicó lo importantes que eran los cambistas, ya que con tantas monedas locales y extranjeras circulando era muy difícil aclararse. Los cambistas tenían sus mesas, que llamaban bancas, en Cambis Vells y Cambis Nous, y su honradez debía ser a toda prueba. En sus bancas lucían cizallas, unas grandes tijeras con una hoja fija, y tanían orden de destruir con ellas cualquier moneda falsa que identificaran. Si se probaba que alguno de los cambistas engañaba en sus transacciones, los oficiales de la ciudad rompían su mesa, a eso se le llamaba quedar en bancarrota pública. Si alguna vez el cambista conseguía el perdón, ya nunca podría instalarse en Cambis Vells, pero sí en Cambis Nous, y así la gente estaría advertida de sus dudosos antecedentes.“
Prométeme que serás libre – Jorge Molist – Ediciones Planeta Madrid.
L’orígen de la paraula banca també es cita en el vídeo de “La historia del uno” del minut 6.25 al 8.22.
Ambdos recursos els he utilitzat a classe i els alumnes no han tardat gaire en citar a Bankia, les preferents,…
Corbes paral·leles
És habitual parlar de rectes paral·leles i com exemple ens imaginem les vies del tren. Però si pensem bé, ens adonarem que les vies del tres no són un parell de rectes; hi ha tams de via que són corbes. Aleshores també podem parlar de paral·lelisme de corbes.
Per dibuixar rectes paral·leles fem servir l’esquada i el cartabó.
Com podem dibuixar una corba paral·lela a una altra? Primer hem de tenir clar què volem dir quan diem que dues corbes són paral·leles. Si fem cas de la nostra intuició i mirem les vies del tren de la imatge anterior, arribarem a observar que les rectes tangents són paral·leles. Aquesta és a característica clau per definir i construir corbes paral·leles.
Clica sobre la imatge següent, varia la distància movent el punt lliscant i torna a moure el punt A.
Alguns dels resultats es poden veure a les imatges següents:
Podríem continuar el procès identificant i caracteritzant els punts on el punt B canvia de sentit i per quines distàncies passa això.
També podríem pensar en el disseny d’una vagoneta que circulès per aquestes vies. És possible? En algun moment es creuarien els eixos de les rodes? La solució estaria en la tercera dimensió?
Una no-demostració de Pitàgores
Hi ha més de 100 demostracions del Teorema de Pitàgores. Algunes basades en geometria, altres en relacions mètriques o numèriques. Jo us presento una demostració del Teorema de Pitàgores que no és una demostració. Sabrieu dir on és l’errada d’aquesta demostració?
Anem a crear un sistema de referència que ens faciliti la demostració. Situem l’origen de coordenades sobre el vèrtex del triangle corresponent a l’angle recte. Tracem els dos eixos de coordenades de forma que els catets estiguin sobre aquests eixos. Graduem els eixos agafant la longitud del catet més petit com a unitat.
Matemàtiques, societat i cultura
El llenguatge matemàtic és un llenguatge universal. Persones d’arreu del món poden entendre llurs produccions. Per exemple, tant aquí com a la xina fem servir la mateixa fórmula per resoldre les equacions de segon grau, incloent les lletres i símbols que fem servir en la notació, tal i com es veu a la imatge de la dreta.
Caldria dir, però, que això és cert amb matisos. Factors socio-culturals influeixen en la notació, en la nomenclatura, en els algoritmes de càlcul, en els processos de resolució de problemes… Aquí mateix, a casa nostra, el nombre pi, pels nois i noies de primària és 3,14 i pels de secundària és 3,1416; ell símbol de la multiplicació en primària és “x” i en secundària és “·”. No fa gaires dècades que escrivíem “tg x”, ara escrivim “tan x”, segurament per influència anglosaxona.
També fa unes dècades, a secundària, parlàvem de funció còncava mentre que a la universitat es deia que la mateixa funció era convèxa. Actualment sembla que s’hagi unificat la definció del concepte i es parli que la funció y=x2 és una funció convexa. Tot i que es troben pàgines web amb les dues definicions.
Inclús podem trobar per Internet que es parla de “Cóncava hacia arriba” i “Cóncava hacia abajo”.
Canviem de lloc. Ens anem als Estats units. Observeu la imatge. Es tracta de la divisió de 487 entre 32, tal i com la fan als Estats Units. Per si teniu curiositat per l’algoritme, aquí teniu un vídeo.
Continuem viatjant pel món. Observeu com s’escriuen les coordenades en la cultura àrab. No ho fan precisament igual a com ho fem nosaltres. Fixeu-se en els punts que estan sobre els eixos.
Els matemàtics triem, per a cada problema, aquell sistema de referència que ens faciliti la resolució del problema. Les societats també trien el seu sistema de referència per situar-se en el món. Sabieu com veuen els estudiants els mapes mundi segons la zona geogràfica on viuen i a la cultura a la qual pertanyen?
El teorema més famós del món, el teorema de Pitàrores, té moltes demostracions. Algunes basades en mètodes algebrics i d’altres en mètodes geomètrics. Segur que l’entorn socio-cultural ha tingut molt a veure en el procés de demostració.
La primera demostració, de caire algebric, s’atribueix a Lagrange (1736-1813). La segona demostració, de caire geomètric, s’atribueix a Thabit Ibn Qurra (826-901). Per més informació podeu consultar el document “Algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras” de Francisco Javier García Capitán (d’on s’han extret aquestes dues imatges), o bé altres pàgines com la de José Manuel Arranz o la Wikipedia.