Matemàtiques, societat i cultura

El llenguatge matemàtic és un llenguatge universal. Persones d’arreu del món poden entendre llurs produccions. Per exemple, tant aquí com a la xina fem servir la mateixa fórmula per resoldre les equacions de segon grau, incloent les lletres i símbols que fem servir en la notació, tal i com es veu a la imatge de la dreta.

Caldria dir, però, que això és cert amb matisos. Factors socio-culturals influeixen en la notació, en la nomenclatura, en els algoritmes de càlcul, en els processos de resolució de problemes… Aquí mateix, a casa nostra, el nombre pi, pels nois i noies de primària és 3,14 i pels de secundària és 3,1416; ell símbol de la multiplicació en primària és “x” i en secundària és “·”.  No fa gaires dècades que escrivíem “tg x”, ara escrivim “tan x”, segurament per influència anglosaxona.

 

 

 

 

 

 

També fa unes dècades, a secundària, parlàvem de funció còncava mentre que a la universitat es deia que la mateixa funció era convèxa. Actualment sembla que s’hagi unificat la definció del concepte i es parli que la funció y=x2 és una funció convexa. Tot i que es troben pàgines web amb les dues definicions.

 

 

 

 

 

 

 

Inclús podem trobar per Internet que es parla de “Cóncava hacia arriba” i “Cóncava hacia abajo”.

Canviem de lloc. Ens anem als Estats units. Observeu la imatge. Es tracta de la divisió de 487 entre 32, tal i com la fan als Estats Units. Per si teniu curiositat per l’algoritme, aquí teniu un vídeo.

Continuem viatjant pel món. Observeu com s’escriuen les coordenades en la cultura àrab. No ho fan precisament igual a com ho fem nosaltres. Fixeu-se en els punts que estan sobre els eixos.

Els matemàtics triem, per a cada problema, aquell sistema de referència que ens faciliti la resolució del problema. Les societats també trien el seu sistema de referència per situar-se en el món. Sabieu com veuen els estudiants els mapes mundi segons la zona geogràfica on viuen i a la cultura a la qual pertanyen?

 

El teorema més famós del món, el teorema de Pitàrores, té moltes demostracions. Algunes basades en mètodes algebrics i d’altres en mètodes geomètrics. Segur que l’entorn socio-cultural ha tingut molt a veure en el procés de demostració.

La primera demostració, de caire algebric, s’atribueix a Lagrange (1736-1813). La segona demostració, de caire geomètric, s’atribueix a Thabit Ibn Qurra (826-901). Per més informació podeu consultar el document “Algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras” de Francisco Javier García Capitán (d’on s’han extret aquestes dues imatges), o bé altres pàgines com la de José Manuel Arranz o la Wikipedia.

Pau en un món irracional

Davant l’obra escultòria d’un artista hom es pregunta quin missatge ha volgut transmetre l’autor amb la seva obra. Aquest no té perquè coincidir amb el que percep l’espectador. Una bona obra ha de cridar l’etenció de l’espectador, fer-lo pensar, sentir, reflexionar, evocar, emocionar…

En una visita turística a Porto (Portugal), tot passejant, vaig arribar a la Praça do cubo (prop de la riba del riu Duero). Al ben mig de la plaça, es troba una obra escultòrica de Jose Rodrigues coneguda per “Cubo das Pombas da Paz”.

La posició del cub em va fer pensar en la diagonal d’un cub, en els nombres irracionals i la irracionalitat. Aquesta posició també em va fer pensar en l’esfera, en la Terra, en el món. En la irracionalitat del món. També hi ha esculpits uns coloms, símbols de la pau. És possible que l’autor volgués reflexar simbòlicament la pau en un món irracional?

 

El perfil de les teulades

El cap de setmana passat vaig estar a Segovia en el Dia GeoGebra. Vaig arribar divendres a la tarda i vaig aprofitar per donar un tomet. Segovia és molt maca. Us la recomano.

Em va cridat l’atenció les taulades de les cases. Semblava com si els hi faltessin teules o bé que estiguessin capgirades. Vaig preguntar perquè tenien les teulades d’aquesta forma i em van comentar que d’aquesta manera la neu relliscava millor i s’evitaven esfondraments de teulades.

Això em va fer pensar en com descriure ambdos perfils. Aquí teniu una modelització molt simple. Sabríeu quines funcions les descriuen?

 

 

 

 

Km 0

M’agrada anar Andorra i passar uns dies a l’estiu. Trobo que és un país molt maco. Combina molt bé la natura i la culcura amb el comerç i l’oci. Andorra està plena d’elements decoratius molt interessants des del punt de vista matemàtic i artístic. Us en posaré alguns exemples.

Mireu la imatge i segur que us donarà en què pensar. Per què l’artista ha triar una forma ovalada i l’ha fet rotar? Pretenia representar un ou? El símbol de l’ou i el Km Ο tenen relació? El fet que l’ou sigui un cos de revolució té a veure amb el significat de quikòmetre zero? On és el quilòmetre zero a Catalunya? I a Espanya? En aquests llocs quina simbologia s’ha utilitzat.

Us deixo altres imatges perquè us feu preguntes i cerqueu respostes.

 

Creació d’activitats

Quan era jove vaig passar molts estius al Monestir de Santes Creus ajudant a l’organització dels concerts de música clàssica que es feien en l’antic dormitori del monjos. Vaig tombar infinitats de vegades pel monestir: església, claustres sala capitular, dormitori, antiga església… Temporalment va coincidir amb els meus primers anys com a professor de matemàtiques. No recordo haver observat el Monestir amb ulls matemàtics, com anys després ho vaig fer.

Fa tres anys que al departament de matemàtiques del meu institut vam decidir fer una sortida a final de curs amb alumnes de primer d’ESO. Ens vam posar en contacte amb els/les companys/es del Camp dels Monestirs de Císter i conjuntament vam dissenyar unes activitats que podreu trobar a l’ARC. Aquestes activitats es van emmarcar en una sortida a final de curs que durava tot un dia; havien d’incloure continguts matemàtics treballats al llarg del curs; havien de contemplar altres àmbits com la història, el dibuix, la tecnologia, la llengua; s’havien de realitzar en grup; calia un treball previ a l’aula…

El grup de mestres del Camp d’aprenentatge em van subministrar informació del Monestir i exemples d’activitats que feien amb els alumnes de primària, em van mostrar el material manipulatiu que tenien i em van transmetre la seva experiència docent. Després vaig anar al Monestir, vaig passejar fent fotografies, observant tant aspectes generals com concrets. Anava pensant com podria aprofitar l’entorn per crear activitats, com dels diferents elements podria sortir una activitat, quina relació podia tenir el que estava veient amb el que estàvem treballant a classe… com d’una pedra podria treure aprenentatge.

Passejant pel dormitori del monjos vaig observar el terra. Les formes geomètriques em van criada de seguida l’atenció i un munt de qüestions em van venir al cap. N’havia de fer una tria; les preguntes havien de ser de geometria, però també de mesura i de nombres; havien de permetre la discussió dins el grup… Els membres del departament i els del camp d’aprenentatge vam fer-ne una revisió. Van sorgir noves peguntes i modificacions de les proposades. El resultat va ser el següent:

Observa el terra del dormitori dels monjos, el terra de la sala capitular o el terra que hi ha davant de l’antiga església.

  1. Dibuixa’l en una graella.
  2. Quines formes geomètriques ets capaç de veure en aquest terra?
  3. L’octàgon és regular? Justifica la teva resposta.
  4. Sense prendre cap mesura, digues quina relació hi ha entre l’àrea de l’octàgon gran i la del quadra (quantes vegades és l’octàgon més gran que el quadrat o bé quantes vegades hi cap el quadrat en l’octàgon). Explica el teu raonament i, si cal, fes algun dibuix que ajudi a entendre millor la teva explicació.
  5. Si la peça quadrada valgués 1€, quan valdria la peça hexagonal? I el conjunt de peces que formen l’octàgon?
  6. Fes una estimació de les peces de cada tipus que han calgut per enrajolar aquest dormitori.

Tant alumnes com professors vam estar molt satisfets i l’hem continuat fent i cada han l’hem anat millorant i adaptant a les necessitats del moment. Per posar uns exemple, diré que primer es va fer al Monestir de Poblet i l’any passat es va fer al Monestir de Santes Creus que ens oferia més llibertat de moviment; en l’activitat que he posar d’exemple, primer la graella no tenia dibuixat el quadrat després el vam afegir; enguany, degut a la compactació d’horaris estem valorant fer-la només al matí.

Algunes idees claus per crear una bona activitat són:

  • En l’elaboració ha d’intervenir un grup de professors que aportin diferents punts de vista.
  • S’ha de pensar aquí va dirigida; quins continguts es volen treballar; de quant de temps es disposa; quin material és necessari; com s’integra en el desenvolupament del curs; en quin format es presentarà: paper, vídeo, oral, virtual… ; si serà pautada, guiada o oberta….
  • S’ha de pensar en com dur-la a terme; quin paper jugarà el professor i l’alumne; si es farà individualment o en grup; si caldrà un treball previ; com es farà la correcció o posada en comú; com s’avaluarà…
  • S’ha de dur a la pràctica i observar-ne el desenvolupament per incorporar millores.

 

Tapes de claveguera

Les tapes de les clavegueres són una font inesgotable de dissenys geomètrics que recobreixen el pla. Poden ser un context en el que treballar les translacions, girs, simetries i recobriments del pla. Passejant per Valls n’he trobat molts dissenys diferents inclús en les tapes de tomes d’aigua, electricitat, telefonia, gas…

La imatge adjunta la vaig fer a Canillo (Andorra) en un viatge a aquest estiu. Em recorda al típic “hueso nazarí” de l’Alhambra.

 

Volta de creueria

Hi ha molts estils, maneres, metodologies… de fer classe, d’ensenyar. Ara està de moda les noves tecnologies. Jo en sóc un abanderat, però em sap greu veure com aquesta moda està deixant de banda, arraconant, instruments i materials molt bons. N’és un exemple el material que es veu a les imatges.

La vivència que la construcció inevitablement ha de caure, que és impossible que s’agunti, i veure que no cau… és sensacional. Hom espera que, en retirar el suport, les peces que formen l’arc caiguin. Però gràcies a la clau de creueria això no passa.

La volta de creueria fa recaure sobre els pilars tot el pes del sostre i permet que les parets siguin més primes i fins i tot obrir grans finestres i portes i passadissos. La volta de canó no ho permet.

Hi ha moltes formes d’ensenyar, tantes com visions de què són matemàtiques i quines matemàtiques hem d’ensenyar. Suposo que hi ha professorat que no veu, en aquesta activitat, on són les matemàtiques i opina que és simplement tecnologia o dibuix. Podriem obrir un gran debat…

Observeu la construcció i també la cara que posen els alumnes.



Activitat realitzada pels alumnes de 1r d’ESO de l’Institut Jaume Huguet de Valls dins la sortida organitzada pel Departament de Matemàtiques de l’Institut i el Camp d’Aprenentatge de la Ruta del Císter.

Envàs per a la llet

Recordo que quan era jovenet, ara fa uns 35 anys, la meva mara em feia anar comprar llet a un “colmado” que hi havia a prop de casa. Recordo que era un envàs en forma de piràmide. Aquest tipus d’envàs va durar molt poc.

Aquesta primavera, durant la visita familiar al Museu del Ferrocarril a Catalunya que hi ha a Vilanova i la Geltrú, em vaig trobar en una exposició sobre publicitat una fotografia en què apareixia aquest envàs. Fent una cerca a Google vaig trobar una imatge millor en aquesta pàgina web.

 

Convido a l’internauta a descriure la forma d’aquest envàs i imaginar com era el procés d’envasat. És possible que l’origen dels noms Tetra Pak i Tetra Brik estiguin relacionats amb la forma d’aquest envàs que es va deixar d’utilitzar? Creieu que aquell envàs permetia apilar-lo fàcilment? Quins avantatges aportava en front als envasos d’ampolles de vidre?

Cerqueu a Google i trobareu respostes.