Fora de la capsa

Hi ha una expressió anglosaxona que resumeix molt bé quina és la clau en la resolució de problemes:

Thinking outside the box

Vol dir, sortir de la rutina i aplicar enfocaments diferents, creatius, revolucionaris, originals, inesperats.

El cas més paradigmàtic és el problema següent:

Donats 9 punts formant un quadrat de 3×3, unir-los tots amb 4 segments rectes traçats sense aixecar el llapis del paper

⋅         ⋅         ⋅

⋅         ⋅         ⋅

⋅         ⋅         ⋅

Intenteu-ho una estona sense mirar la solució. Costa molt. Sembla impossible… Fins que “sortim de la capsa”. La clau és fer rectes que surtin del quadrat. No és prohibit, però gairebé mai provem de fer-les servir. Per això costa. Tendim a quedar-nos dins la capsa.

[Per cert, podem fer-ho amb un quadrat 4×4 i 6 segments?]

Una altra manera de “sortir de la capsa” és fer servir eines bidimensionals (2D) per problemes plantejats en una dimensió (1D). En general, augmentar les dimensions sembla que ens hagi de complicar en comptes de simplificar, però de vegades…

Tot això em porta a l’objectiu real d’aquest article:

Suma d’una progressió geomètrica de raó positiva més petita que 1

Un repte que porta temps pendent… però tot arriba.

Hem de sumar, per exemple, la sèrie

S = 0,9 + 0,6 + 0,4 + ….

geomètrica d’infinits termes, primer terme 0,9 i raó 2/3 ≅ 0,666….

Ja vam veure en posts anteriors que l’infinit no és un problema. Es pot fer la suma.

Ara intentarem veure com.

Podem treballar amb segments de longitud els nombres de la sèrie. Cal trobar la longitud del segment que es forma si els ajuntem tots. Però… on acaba, aquest segment suma?

sumapg1

Alguna idea?

I si anem a 2d?

sumapg2

Pensem…

Tots els quadrats són semblants. En el sentit del Teorema de Tales.

Sembla clar que els punts verds estaran alineats.

I si els unim? On tallem l’eix OX hi ha l’altre extrem del segment suma!

sumapg4

Volem la longitud del segment vermell.

Només caldrà recordar el Teorema de Tales. Amb el triangle que té per hipotenusa el segment verd i el triangle de la part superior del primer quadrat:

formula2On S és la suma dels infinits segments vermells, i arreglant-ho una mica:

formula1En el nostre cas 0,9/(1-2/3) = 2,7. Està bé, ho hem vist al dibuix.

Es pot comprovar sumant-ne per exemple deu termes i veient que ens hi apropem molt sense passar-nos:

0,9 + 0,6 + 0,4 + 0,2666… + 0,1777… + 0,1185… + 0,0790… + 0,0526… + 0,0351… + 0,0234… ≅

≅ 2,65…

En efecte, i sumant-ne 50 amb excel obtenim 2,699999996. Sembla que sí que funciona.

Una possible utilitat: trobar fraccions generatrius de decimals periòdics!

0,1111111… =  0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 0,1 + (0,1)^2 + (0,1)^3 +….

Són progressions de raó 1/10 = 0,1.

Per exemple:

0,3333333… = 0,3/(1-0,1) = 0,3/0,9 = 3/9 = 1/3

Funciona!

Exercici als lectors: Trobeu la fracció de 0,9999… Resposta: 1 (si, si…)

Espero comentaris

Fins la propera

 

 

Etiquetes:, ,

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà Els camps necessaris estan marcats amb *