Fora de la capsa

Hi ha una expressió anglosaxona que resumeix molt bé quina és la clau en la resolució de problemes:

Thinking outside the box

Vol dir, sortir de la rutina i aplicar enfocaments diferents, creatius, revolucionaris, originals, inesperats.

El cas més paradigmàtic és el problema següent:

Donats 9 punts formant un quadrat de 3×3, unir-los tots amb 4 segments rectes traçats sense aixecar el llapis del paper

⋅         ⋅         ⋅

⋅         ⋅         ⋅

⋅         ⋅         ⋅

Intenteu-ho una estona sense mirar la solució. Costa molt. Sembla impossible… Fins que “sortim de la capsa”. La clau és fer rectes que surtin del quadrat. No és prohibit, però gairebé mai provem de fer-les servir. Per això costa. Tendim a quedar-nos dins la capsa.

[Per cert, podem fer-ho amb un quadrat 4×4 i 6 segments?]

Una altra manera de “sortir de la capsa” és fer servir eines bidimensionals (2D) per problemes plantejats en una dimensió (1D). En general, augmentar les dimensions sembla que ens hagi de complicar en comptes de simplificar, però de vegades…

Tot això em porta a l’objectiu real d’aquest article:

Suma d’una progressió geomètrica de raó positiva més petita que 1

Un repte que porta temps pendent… però tot arriba.

Hem de sumar, per exemple, la sèrie

S = 0,9 + 0,6 + 0,4 + ….

geomètrica d’infinits termes, primer terme 0,9 i raó 2/3 ≅ 0,666….

Ja vam veure en posts anteriors que l’infinit no és un problema. Es pot fer la suma.

Ara intentarem veure com.

Podem treballar amb segments de longitud els nombres de la sèrie. Cal trobar la longitud del segment que es forma si els ajuntem tots. Però… on acaba, aquest segment suma?

sumapg1

Alguna idea?

I si anem a 2d?

sumapg2

Pensem…

Tots els quadrats són semblants. En el sentit del Teorema de Tales.

Sembla clar que els punts verds estaran alineats.

I si els unim? On tallem l’eix OX hi ha l’altre extrem del segment suma!

sumapg4

Volem la longitud del segment vermell.

Només caldrà recordar el Teorema de Tales. Amb el triangle que té per hipotenusa el segment verd i el triangle de la part superior del primer quadrat:

formula2On S és la suma dels infinits segments vermells, i arreglant-ho una mica:

formula1En el nostre cas 0,9/(1-2/3) = 2,7. Està bé, ho hem vist al dibuix.

Es pot comprovar sumant-ne per exemple deu termes i veient que ens hi apropem molt sense passar-nos:

0,9 + 0,6 + 0,4 + 0,2666… + 0,1777… + 0,1185… + 0,0790… + 0,0526… + 0,0351… + 0,0234… ≅

≅ 2,65…

En efecte, i sumant-ne 50 amb excel obtenim 2,699999996. Sembla que sí que funciona.

Una possible utilitat: trobar fraccions generatrius de decimals periòdics!

0,1111111… =  0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 0,1 + (0,1)^2 + (0,1)^3 +….

Són progressions de raó 1/10 = 0,1.

Per exemple:

0,3333333… = 0,3/(1-0,1) = 0,3/0,9 = 3/9 = 1/3

Funciona!

Exercici als lectors: Trobeu la fracció de 0,9999… Resposta: 1 (si, si…)

Espero comentaris

Fins la propera

 

 

Els escuradents

Ara us plantejo un joc (un altre)

Es posen sobre una taula 32 escuradents.

||||| ||||| ||||| |||||

||||| ||||| ||

L’Andreu i en Bernat per torns han d’agafar escuradents. Poden triar lliurement entre agafar-ne un, dos o tres. No poden passar (agafar-ne zero) ni agafar-ne 4 ni cap quantitat més gran que tres.

Guanya qui agafa l’últim escuradents.

Jugueu unes quantes partides i intenteu contestar les preguntes que us faig aquí a sota.

Ho podeu fer escrivint per torns els llumins que queden. Per exemple una partida començaria així:

32, 30, 27, 26,…

He escrit en negreta els nombres que escriu el segon jugador.

I guanya qui escriu zero. Recordeu que no se’n poden restar més de 3, ni es pot passar (repetir el nombre anterior).

Algun dels dos jugadors té una estratègia guanyadora?

Quin dels dos?

Quina és l’estratègia?

I si hi hagués 33 escuradents?

I si n’hi hagués n?

I si en poguéssim agafar fins 4?

I si en poguéssim agafar fins m?

Passeu-ho bé jugant… i pensant!

 

 

El drac i la princesa

princess_and_her_dragon_by_merychess-d3hagvg

Ara que acabem de celebrar Sant Jordi és un bon moment per plantejar el següent joc/trencaclosques:

 

Fa molts i molts anys, en una terra molt llunyana…hi havia una princesa dins un castell, i un drac que l’estava buscant per menjar-se-la.

El drac veia un castell com aquest, amb quatre portes numerades de l’u al quatre que corresponien a quatre habitacions diferents.

castell

Sempre arribava de nit al castell i es trobava les quatre portes eren tancades.  Al poble tothom sabia ( i el nostre drac també ho sabia) que el costum de la princesa era passar una nit en una estança, i cada nit canviar a una de les veïnes. Així si una nit era a l’habitació 2 a la nit següent anava o bé a la 1 o a la 3 . Si era darrere la porta 1 només podia anar a la 2  la nit següent, i en cap cas a la 4. D’aquesta manera si era a la primera o la darrera porta només tenia una opció per la següent nit, en canvi si era a una porta del mig en tenia dues.

El drac només podia obrir una porta cada nit i no sabia mai on havia passat la princesa la nit anterior.”

Amb aquestes restriccions, es demana:

Existeix una estratègia (o estratègies) que asseguri al drac trobar la princesa amb un nombre màxim (finit) d’intents?

Quina és aquesta estratègia? Si n’hi ha més d’una, quina és la millor? Si no n’hi ha cap, raoneu perquè.

Discutiu què passa per diferents castells amb 2, 3, 5, 6, … n portes.

Espero els vostres comentaris. Bona sort i passeu-ho bé.

DragonChess

 

 

Visualitzant que π és més gran que 3

dodecagon

 

Explicació

A l’animació es veu com dibuixar un dodecàgon regular inscrit en un cercle de radi 1. A continuació es trenca un dels quadrants del polígon en triangles i es veu com tots els trossos encaixen en tres quadrats de costat el radi del cercle (en aquest cas 1). No en falta cap ni en sobra cap ni hi ha buits ni es superposen.

Per tant, l’àrea del dodecàgon és 3. I no cal fórmula ni apotema ni perímetre ni mesurar res.

Anant una mica més enllà, l’àrea d’un cercle és proporcional al quadrat del radi. Si doblem el radi el cercle quadruplica la seva àrea. La raó de proporcionalitat és π (pi). Això vol dir que la raó entre l’àrea del cercle i la del quadrat que té per costat el radi és π. A l’animació el radi és 1 i per tant l’àrea del cercle és π.

Però, quin nombre és π? A classe de mates ens diuen que és 3,14159… i continuen els decimals i no s’acaba mai.

D’on surt aquest nombre? Ens ho hem de creure?

Una cosa molt ràpida a partir de l’animació és veure que ha de ser més gran que 3.

Passos:

  1. El dodecàgon és dins el cercle
  2. L’àrea del cercle és més gran que la del dodecàgon
  3. L’àrea del dodecàgon és 3
  4. L’àrea del cercle és π
  5. π és més gran que 3

Evident, no?

M’agraden les demostracions visuals.

Repte per mi: Fer una demostració visual de la suma de tots els termes d’una progressió geomètrica (veieu els posts anteriors). Me’n sortiré?

Ben aviat les respostes pendents i el desenllaç del repte.

 

 

Aquiles, la tortuga i el bombó de xocolata (part II)

Bé, el que ens fa pensar el bombó és que sembla que es pot seguir el procés indefinidament dividint el tros que queda en parts cada cop més petites, cadascuna la meitat de l’anterior.

 

quadradets

Un procés que no acaba mai, una col·lecció d’infinits quadrats/rectangles… que caben tots en un quadrat fixat de la mida d’un bombó.

Per tant sembla que podem tenir una suma infinita que dóni un resultat finit.

I això és el que resol la paradoxa de Zenó: Aquiles atrapa la tortuga, doncs els intervals que va recorrent, malgrat ser infinits… tenen suma finita! I una longitud finita es recorre en temps finit.

La clau és que els espais que recorre Aquiles es redueixen en una raó fixada: la meitat, la desena part, la raó entre les velocitats… Només cal que la velocitat d’Aquiles sigui més gran que la de la tortuga. Sembla raonable, oi?

Pels entesos, això és una progressió geomètrica amb raó positiva menor que 1. Potser més endavant en tornarem a parlar.

És l’infinit el que crea la paradoxa. On apareix un infinit cal anar amb compte. Si no vigilem, cometrem errors. Al mateix temps si s’enfoca bé permet trobar resultats interessants.

Una pregunta al públic en general:

En quin tema de matemàtiques del currículum d’ESO es fan sumes infinites que tenen resultat finit? No és un assumpte sense importància, doncs el mateix Newton hi va trobar la inspiració per al seu famós binomi… però això serà tema per un altre post.

PS: Una mica tard, però l’aventura continua…

 

 

Aquiles, la tortuga i el bombó de xocolata (part I)

La paradoxa d’Aquiles i la tortuga és una de les que el filòsof presocràtic Zenó d’Elea va plantejar en l’antiguitat per demostrar la impossibilitat del moviment.

 

aquiles

Aquil·les, anomenat “el dels peus lleugers” i el més hàbil guerrer dels aqueus, decideix sortir a competir en una carrera contra una tortuga.

Ja que corre molt més ràpid que aquesta, i segur de les seves possibilitats, li dóna un gran avantatge inicial.

En donar-se la sortida, Aquil·les recorre en poc de temps la distància que els separava inicialment, però en arribar allí descobreix que la tortuga ja no hi és, sinó que ha avançat un petit tram.

Sense desanimar-se, continua corrent, però en arribar de nou on estava la tortuga, aquesta ha avançat una mica més. D’aquesta manera, Aquil·les no guanyarà la carrera, ja que la tortuga estarà sempre per davant d’ell.

aquilesitortuga

Segur?

Recórrer infinits trams vol dir necessàriament que hi esmerçarem un temps infinit… o no?

Aquí entra en joc el nostre bombó de xocolata

.bombo

Fa pocs dies vaig veure en l’aparador d’una pastisseria aquest bombó, que des de dalt es veu així

xoco1

Què té a veure el bombó amb la solució de la paradoxa?

Aritmètica mental

mental-arithmetic-in-the-public-school-of-s-rachinsky

Aquest és un quadre pintat el 1895 per Nikolai Bogdanov-Belsky, pintor rus.

El títol del quadre  és Aritmètica mental a l’escola publica de S. Rachinski.

Pots fer el càlcul de la pissarra mentalment?

Pots aplicar algun truc per fer-lo per escrit ràpidament?

Espero els comentaris

 

 

Hola, món!

Aquí comença el bloc del matemàtic matamosques.

Esperem que algú hi aprengui alguna cosa o almenys es distregui una mica.

HACE 40 AÑOS o MENOS

If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is. 

John Louis von Neumann