1.- Nombres decimals:

   Si la unitat es divideix en 10 parts iguals, cadascuna d’elles és una dècima; si es divideix en 100 parts iguals, s’obtenen centèsimes. I, si seguim, apareixen mil·lèsimes, deumil·lèsimes, centmil·lèsimes, milionèsimes…

  Un nombres decimals està compost per dues parts:

  • A l’esquerra de la coma decimal està la part entera (és la part més gran que la unitat: unitats, desenes, centenes…).
  • A la dreta la part decimal (la part més petita que la unitat: dècimes, centèsimes…).

    Per llegir un nombre decimal, primer en llegim la part entera i, després la part decimal seguida de l’ordre d’unitats que corresponen a l’última xifra decimal.

  Aquest nombre 435,271 el llegirem així: quatre-centes trenta-cinc unitats dues-centes setanta-una mil·lèsimes.

1.1 Comparació de nombres decimals:

   Per comparar dos nombres decimals hem de seguir aquests passos:

  1.  En comparem les parts enteres.   És més gran el nombre amb la part entera més gran.
  2. Si les parts enteres són iguals, en comparem les parts decimals. En comparem les dècimes, les centèsimes, les mil·lèsimes… És més gran el nombre amb la part decimal més gran, comparada xifra a xifra.
Exemple 1:

Comparem dos nombres: 8,674  8,678

     – Tenen la mateixa part entera.

    – Si comparem la part decimal veiem que tenen les mateixes dècimes i centèsimes. Les mil·lèsimes són més grans en el segon nombre.  8,674 < 8,678 .

2.- Aproximació de nombres decimals:

   Moltes vegades treballem els nombres decimals “aproximant” directament.

2.1 Aproximació per truncament:

   Truncar un nombre decimal fins a un ordre determinat consisteix a eliminar les xifres dels ordres inferiors a aques ordre.

Exemple 2:

Trunca els nombres  8,79 15,525 a les dècimes.

Eliminem en cada nombre totes les xifres a partir de les dècimes.

8,79 ⇒ 8,7            ;            15,525 ⇒ 15,5

 

2.2 Aproximació per arrodoniment:

    Aproximar un nombre decimal fins a un ordre determinat consisteix a substituir, a partir d’aquell lloc, de totes les xifres per zeros, que és el mateix que eliminar totes les xifres inferiors d’aquest ordre, ja que el zero no ens representarà cap valor. De manera que:

  • Si la xifra següent és igual o més gran que 5, sumem una unitat a la xifra que arrodonim.
  • Si és més petita que 5, no canvia la xifra que volem arrodonir.
Exemple 3:

Arrodoneix a les centèsimes 10,872  i  8,548.

Observem la xifra de les mil·lèsimes.

10,87⇒ Com 2 < 5, no canvia la xifra de les centèsimes. Nombre arrodonit és 10,87

8,54⇒ Com 8 > 5, sumem 1 a les centèsimes . El 4 + 1 = 5.  El nombre arrodonit  és

8,55.

3.- Representació dels nombres decimals:

    Els nombres decimals es representen en la recta numèrica.

    Per representar un nombre decimal, es busquen els dos nombres enters entre els quals està comprès; aquests dos nombres determinen un segment en la recta numèrica. El segment es divideix en 10 parts iguals (dècimes), o en 100 parts iguals (centèsimes)… fins arribar al nombre decimal donat.

Exemple 4:

Subratlla i en negreta la xifra que t’indica els nombres següents:

a) Centèsimes en 238,675

b) Desenes en 67543,987

c) Centmil·lèsimes en 56487,76543

Solució:

a) 238,675        b) 67543,987       c) 56487,76543


4.- Operacions:

4.1 Suma i resta:

  • S’escriuen els nombres amb la mateixa quantitat de xifres decimals.
  • Es sumen o resten com si la coma decimal no hi fos.
  • La coma decimal es col·loca allà on era.

Les regles per les operacions amb decimals són les mateixes que en els nombres enters.

Exemple 5:

Suma i resta de les següents operacions:

a)   3,73 + 0,1196 =                                                        b)  3,73 — 0,1196 =

3,7300                                                                                   3,7300

+   0,1196                                                                          —    0,1196

3,8496                                                                                  3,6104

4.2 Multiplicació: 

  • Ens oblidem de la coma decimal.
  • Multipliquem com si fossin nombres enters.
  • Un cop obtinguem el resultat la coma decimal es mou, cap a l’esquerra, tants llocs com la suma del nombre de decimals dels dos factors. Si cal, s’afegeixen zeros per l’esquerra.

També veurem que:

  • Per multiplicar per 10, 100, 1000,… es desplaça la coma cap a la dreta 1, 2, 3,… llocs.
  • Si cal, s’afegeixen zeros per la dreta.
Exemple 6:

Multiplica:

a)  0,1713 · 8,6 =                                                                                                  b)  0,083 · 10000 =

0,1713                                                                                                                          0,0830 · 10000 =

   x     8,6                                                                                                                                                      830

1,47318                                                                                                            10000, 4 zeros, es mou

4 decimals + 1 decimal = 5 decimals a la solució                                    quatre posicions.


4.3 Divisió:

    Si dividim un nombre decimal entre:

  •  La unitat seguida de zeros, desplacem la coma cap a l’esquerra tants llocs com zeros tingui la unitat.
  • 0,1 ; 0,01; 0,001…, desplacem la coma cap a la dreta tants llocs com decimals tingui 0,1; 0,01; 0,001…
Exemple 7:

a)  25,67 : 10 = 2,567  ⇒ Movem la coma 1 lloc a l’esquerra.

b)  87,9 : 100 = 0,879  ⇒ Movem la coma 2 llocs a l’esquerra. Al no haver-hi prou decimals, hi afegim zeros.

c) 0,7 : 0,001 = 700  ⇒  Movem la coma 3 llocs a la dreta. Al no haver-hi prou decimals, hi afegim zeros.

   Si ens posem de ple en la divisió veurem que, al dividir nombres decimals podem trobar-nos amb diversos casos. Segons si el dividend i el divisor són nombres naturals o decimals, actuarem de manera diferent per resoldre la divisió.

Fixem-nos en cada cas.

4.3.1 Divisió d’un nombre decimal entre un nombre natural:

  • Efectuem la divisió com si fossin nombres naturals.
  • Quan baixem la primera xifra decimal, posem una coma en el quocient.
  • Continuem la divisió.
Exemple 8:

Divideix:

  11,355 : 5 = 2,27

      4.3.2 Divisió d’un nombre natural entre un nombre decimal:

   Quan el divisor és un nombre decimal, el convertim en nombre natural multiplicant-lo per la unitat seguida de zeros.

  • Multipliquem el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals hi hagi en el divisor.
  • Efectuem la divisió dels nombres naturals obtinguts.
Exemple 9:

Divideix:

1914 : 1,5 = 1276

1914 · 10 = 19140    ;  1,5 · 10 = 15

     4.3.3 Divisió d’un nombre decimal entre un nombre decimal:

     Haurem de convertir el divisor en un nombre natural, de manera que ens trobarem amb una divisió entre un nombre decimal i un nombre natural.

  • Multipliquem el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals hi hagi en el divisor.
  • Fem la divisió obtinguda, que és una divisió d’un nombre natural entre un altre de natural o d’un nombre natural entre un decimal.
Exemple 10:

Divideix:

2,68 : 0,8 = (2,68 · 10) : (0,8 · 10) = 26,8 : 8

 

       4.3.4 Obtenir xifres decimals en un quocient:

      Quan ens trobem en una divisió de nombres naturals que no és exacta i tenim residu, podem optar per posar xifres decimals en un quocient.

      Després de dividir com nombres naturals amb un residu i no queden més xifres per baixar en el dividend, en el quocient es col·loca la coma decimal i es baixa un zero per continuar la divisió.  Se seguirà aquest procés, baixen tants zeros, com decimals necessitem fins que el residu sigui zero.

Exemple 11:

Divideix:

64 : 5 =

El quocient és 12 i tenim un residu de 4. En el quocient afegirem un decimal i baixarem del dividend un 0

Dividim amb el mateix procés fins que el residu sigui zero

Obtenim el resultat final, que serà com a quocient 12,8

 

5.- Tipus de nombres decimals:

    Hi ha tres tipus de nombres decimals:

  • Nombres decimals exactes: tenen una quantitat limitada de xifres decimals.
  • Nombres decimals periòdics: tenen una quantitat il·limitada de xifres decimals i, a més, una d’aquestes xifres o més d’una es repeteixen periòdicament. Si les xifres es repeteixen indefinidament a partir de la coma, diem que és periòdic pur; en cas contrari, és periòdic mixt.
  • Nombres decimals no exactes i no periòdics: tenen una quantitat il·limitada de xifres decimals no periòdiques.
Exacte Periòdic pur Periòdic mixt No exacte i no periòdic
   4,5               56,8786   6,777777777…  8,5656565656… 78,233333333…  34,237777777…  5,674634897927407047…

 

5.1 Expressió d’un decimal exacte com una fracció:

    Un decimal exacte el podem expressar com una fracció que té de numerador el nombre decimal sense la coma, i de denominador, la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals té el nombre decimal.

Exemple 12:

Expressa en forma de fracció els decimals exactes:

7,98 = 798/100       ;       5,2 = 52/10        ;        5648,5498 = 56485498 /10000

6.- Sistema mètric decimal:

6.1 Unitats de longitud:

    Serveixen per mesurar distàncies. La unitat fonamental és el metre, que es representa amb el símbol m.

• Els seus múltiples són: decàmetre (dam), hectòmetre (hm) i quilòmetre (km).

• Els seus submúltiples són: decímetre (dm), centímetre (cm) y mil.límetre (mm).

Per a canviar d’una unitat a una altra, es multiplica o divideix successivament per 10.

6.2 Unitats de capacitat:

    Serveixen per mesurar líquids. La unitat fonamental és el litre, que es representa amb el símbol l.

• Els seus múltiples són: decalitre (dal), hectolitre (hl) i quilolitre (kl).

• Els seus submúltiples són: decilitre (dl), centilitre (cl) i mil.lilitre (ml).

Per a canviar d’una unitat a una altra, es multiplica o divideix successivamente per 10

6.2 Unitats de pes:

    Serveixen per mesurar la massa d’un cos. La unitat fonamental és el quilogram, que es representa amb el símbol kg.

• Els seus múltiples són: miriagram (mag), quintal mètric (q) i tona mètrica (t).

• Els seus submúltiples són: hectogram (hg), decagram (dag), gram (g), decigram (dg), centigram (cg) y mil.ligram (mg). Per a canviar d’una unitat a una altra, es multiplica o divideix successivament per 10.

 

https://blocs.xtec.cat/somnia5/decimals/