1.- Fraccions:

  Una fracció és una expressió del tipus a/b , on a i b són nombres enters que s’anomenen numerador i denominador respectivament.

1.1 Interpretació d’una fracció:

  Una fracció es pot entendre com una part de la unitat, com una divisió o com un  operador.

a) Fracció com part de la unitat o d’un tot. El denominador representa el número de parts iguals en que es divideix la unitat ( o un tot) i el seu numerador el número de parts que es prenen.

b) Fracció com quocient de dos nombres. Per trobar el seu valor, es divideix el numerador entre el denominador. Si la divisió és exacte obtenim un nombre enter, si no és exacte obtenim un número decimal.

c) Fracció com operador d’un nombre. Per calcular el seu valor,  es multiplica el número per el numerador i es divideix pel denominador.

Exemple 1:

En els següents enunciats podem veure amb més claredat la interpretació d’una fracció:

a) Un terreny s’ha dividit en 7 parts, 5 parts es destinaran a la construcció d’habitatges i les altres dues a espais verds.

Podem escriure que 5/7 parts del terreny es destinen a la construcció d’habitatges i 2/7 a espais verds. En aquest cas la fracció s’interpreta com part de la unitat.

b) Repartim 36 euros entre 9 persones.

En aquest cas la fracció s’interpreta com un quocient de dos números:

36/9 = 36 : 9 = 4 . Expressem que a cada persona li corresponen 4 euros.

c) En un institut han assolit els exàmens 4/5 dels seus 380 alumnes.

Això vol dir que han aprovat  (4 · 380)/5 = 1520/5 = 1520 : 5 = 304 alumnes.

1.2 Fraccions pròpies i impròpies.

  Una fracció és pròpia si el seu numerador és menor que el seu denominador. És impròpia si el numerador és més gran que el seu denominador. Si el numerador i el denominador són iguals la fracció és igual a la unitat.

Quan una fracció és impròpia es pot expressar com un número natural més una fracció pròpia.

Exemple 2:

La fracció 5/9 és pròpia i la fracció 40/9 és impròpia. Com hem comentat, la fracció 40/9 , al ser impròpia, es pot expressar com una suma d’un números natural més una fracció pròpia.

Com ho realitzem?. Busquem el múltiple de 9 que sigui inferior i més proper a 40. En aquest cas és  9 · 4 = 36 , perquè  9 · 5 = 45  que també és múltiple de 9, però és més gran que 40. Observa com es realitza:

40/9 = (36+4)/9 = 36/9 + 4/9 = (36 : 9) + 4/9 = 4 + 4/9

2.- Fraccions equivalents:

  Dues fraccions “a/b” i “c/d” són equivalents, i s’escriuen a/b = c/d quan representen la mateixa quantitat, s’interpreta la fracció com part de la unitat, com quocient de dos números o com operador d’un número.

Exemple 3:

Les fraccions 3/4  i  6/8  són equivalents perquè representen la mateixa quantitat ja sigui per:

  • Representen la mateixa part de la unitat, és el mateix tres parts de quatre com sis parts de vuit.
  • Com quocient de dos números, les dues representen el mateix número, en aquest cas el nombre decimal 0,75 perquè  3 : 4 = 0,75   ;   6 : 8 = 0,75 .
  • Com operador produeixen el mateix efecte. Per exemple 3/4 de 20  és el mateix que 6/8 de 20.                                                                                                                                                        (3 · 20)/4  =  60/4  =  60 : 4 = 15  ;  (6 · 20)/8 = 120/8  = 120 : 8 = 15

2.1.- Mètode per conèixer si dos fraccions són equivalents:

  Hi ha un mètode senzill per conèixer si dos fraccions són equivalents:

La multiplicació creuada entre numerador i denominador de les dues fraccions.

Si al multiplicar obtenim el mateix resultat, són fraccions equivalents.

Si al multiplicar obtenim resultats diferents, les fraccions no són  equivalents.

Amb aquest mètode podem obtenir fraccions equivalents amb una sola operació, multipliquem el numerador i denominador pel mateix número i obtindrem una fracció equivalent amplificada, i si dividim el numerador i el denominador per un mateix número obtindrem una fracció equivalent simplificada.

Exemple 4:

Podríem haver comprovat que les fraccions de l’exemple 3 són equivalents utilitzant el mètode anterior:

3/4  i  6/8  són equivalents, es a dir, 3/4  =  6/8  , perquè 3 · 8 = 24 ; 4 · 6 = 24

A més, podem obtenir més fraccions equivalents a les anteriors.

Per exemple:  6/8 = (6 · 3) / (8 · 3) = 18/24    ;     6/8 =  (6 : 2)/(8 : 2) = 3/4

2.2.- Reducció a comú denominador:

  Reduir a comú denominador dues o més fraccions consisteix a obtenir altres equivalents amb igual denominador. Per reduir fraccions a comú denominador se segueixen els següents passos.

  1. Calculem el mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors de les fraccions que ens donen. Aquest valor (mcm) serà el nou denominador per a totes les fraccions.
  2. Dividim el mcm entre el denominador inicial de cada fracció i el resultat que obtenim es multiplica pel numerador  de la fracció. De manera que aquest nou valor serà el nou valor del numerador.                                                                            Així les noves fraccions són equivalents a l’original i tenen el mateix denominador.
    Exemple 5:

    Reduir a comú denominador les fraccions   5/8  i  9/6.

    1.- Obtenim el mcm de 8 i 6.  ( 8 = 23  i  6 = 2 · 3)  mcm (8,6) = 23 · 3 = 24

    2.- Dividim  el  mcm,  24,  pels  denominadors  de  les  dues   fraccions,   24 : 8 = 3  i  24 : 6 = 4 .  En la primera fracció  3 · 5 = 15  que serà el nou numerador i  obtenim com fracció equivalent 15/24.  En la segona fracció  4 · 9 = 36 que serà el nou numerador i obtenim com fracció equivalent  36/24.

    3.- Veiem que 15/24  i  36/24 són equivalents respectivament a 5/8  i  9/6  i  les dues noves fraccions tenen el mateix denominador, ens servirà per operacions aritmètiques com sumes i restes.

2.3.- Fracció irreductible:

  Una fracció és irreductible si no es pot simplificar. Això vol dir que no existeix cap número natural  diferent d’1 que sigui simultàniament divisor del numerador i del denominador, es a dir:

a/b  és irreductible ⇔ mcd (a, b)  = 1

Exemple 6:

Obtenir la fracció irreductible de la fracció 60/48

El que haurem de fer és simplificar poc a poc, dividint numerador i denominador entre un divisor conegut.

Com 60 i 48 són divisibles per 2,  60/48 = (60 : 2) / (48 : 2) = 30/24

Com 30 i 24 tornen a ser divisibles per 2, tenim 30/24 = (30 : 2) /(24 : 2) = 15/12

Ara 15 i 12 no són els dos divisibles per 2, però si ho son per 3. (15:3)/(12:3) = 5/4

El procés finalitza quan el numerador i el denominador no tenen divisors comuns diferents d’1.  La fracció  5/4  ja no es pot simplificar més.

En aquest cas, la fracció irreductible de 60/48 és 5/4.

Hi ha un procediment general per calcular la fracció irreductible amb una dada.

  • Calculem el mcd del numerador i del denominador de la fracció.
  • Dividim els dos termes de la fracció entre el mcd calculat.

    Exemple 7:

    Obtenir la fracció irreductible de 60/48 amb el mètode que acabem d’explicar.

    Calcular el mcd de 60 i 48. (60 = 22·3·5  i  48 = 24· 3)  mcd (60, 48) = 22· 3 = 12

    Dividim entre 12 el numerador i el denominador de la fracció per obtenir la fracció irreductible:  60/48 = (60 : 12)/(48 : 12) = 5/4

3.- Comparació de fraccions:

  Per comparar dues o més fraccions es redueixen totes elles a comú denominador. Un cop fet,  ens serà més fàcil ja que el numerador més gran serà la fracció amb el valor més gran.

Exemple 8:

Ordena de menor a major les fraccions 2/3 , 3/5 , 5/6.

Primer de tot el mínim comú múltiple dels denominadors, mcm(3, 5, 6) = 30.

Les fraccions equivalents amb cl comú denominador 30.

2/3  ;   30 : 3 = 10       ;      10 · 2 = 20      (20/30)

3/5  ;   30 : 5 = 6          ;         6 · 3 = 18      (18/30)

5/6 ;    30 : 6 = 5          ;         5 · 5 = 25      (25/30)

Ja podem ordenar les fraccions:   18/30  <  20/30  <  25/30

Per tant, les fraccions d’inici queden ordenades:   3/5 < 2/3  <  5/6

4.- Sumes i restes de fraccions:

4.1.- Fraccions amb el mateix denominador:

  Per sumar o restar fraccions amb el mateix denominador, es sumen (o es resten) els numeradors i es manté el denominador. Podrem simplificar la fracció resultant.

Exemple 9:

a) 5/6 + 9/6 = (5+9)/6  =  14/6  Simplifiquem  i   (14 : 2)/(6 : 2) = 7/3

b) 25/7 – 12/7 =(25 –12)/7 =13/7  Resultat no es pot simplificar. Fracció irreductible.

4.2.- Fraccions amb diferent denominador:

   Per sumar o restar fraccions amb diferent denominador es procedeix de la següent manera:

  • Es redueixen totes elles a comú denominador.
  • Es sumen, o es resten, els numeradors mantenint el mateix denominador.       Finalment, si és factible, es simplifica la fracció resultant.
Exemple 10:

Fer l’operació següent, suma i resta de fraccions:    11/18 + 5/6 – 7/15

  • Reduïm a comú denominador:  18 = 2 · 32   ;   6  = 2 · 3    ;   15 = 3 · 5                                    mcm (18, 6 , 15) = 2 · 32 · 5 = 90  .  Denominador comú 90, busquem les fraccions equivalents.
  • (11/18) : 90 : 18 = 5  ;  5 · 11 = 55  (55/90) • (5/6): 90 : 6 = 15  ;  15 · 5 = 75 (75/90)
  • (7/15) :  90 : 15 = 6   ;   6 · 7 =  42  (42/90)
  • 11/18 + 5/6 – 7/15 = 55/90 + 75/90 – 42/90  = (55+75–42)/90 = 88/90
  • Resultat és   88/90 , simplifiquem i obtindrem  44/45
5.- Multiplicacions i divisions de fraccions:

5.1.- Multiplicacions de fraccions:

Per multiplicar fraccions es multipliquen els seus numeradors i es multipliquen els seus denominadors.

a/b  ·  c/d = (a · c)/(b · d)

Un cop realitzada la multiplicació, si és possible, es simplifica el resultat per obtenir la fracció irreductible.

Exemple 11:

a)  (3/4) · (5/6) = (3 · 5) / (4 · 6) = 15/24  .  Simplifiquem i obtenim:  5/8

b)   Nombres enters també poden multiplicar les fraccions : 4 · (5/8) = (4·5)/8 = 20/8

Simplifiquem 20/8  i  el resultat final és de:  5/2 . Hem multiplicat el nombre enter pel numerador.

5.1.- Divisió de fraccions:

Per dividir les faccions multiplicarem el numerador pel denominador de la segona  fracció, i el denominador pel numerador  de la segona fracció.

a/b  :  c/d  =  (a · d)/(b · c)

Fixem-nos que l dividir dues fraccions, no es fa cap divisió sinó que es multipliquen en creu, numerador per denominador i denominador per numerador.

Exemple 12:

a)  4/5  :  6/11  =  (4 · 11) / (5 · 6)  =  44/30 .  Simplifiquem i obtenim  22/15.

b)  També es poden dividir les fraccions per nombres enters,  l’enter és el numerador i multiplicarà pel denominador de la fracció:  (3/7) : 9  = 3 / (7 · 9) = 3/63  . Si simplifiquem, la fracció irreductible és  1/21

6.- Operacions combinades amb fraccions:

Com les operacions combinades amb nombres enters, seguirem el mateix ordre de prioritats en les operacions combinades amb fraccions. Recordem que l’ordre és el següent:

  1. Efectuem les operacions que hi ha dins dels parèntesis i claudàtors.
  2. Calculem les operacions de multiplicacions i divisions d’esquerra a dreta.
  3. Calculem les sumes i restes d’esquerra a dreta.
Exemple 13:

Amb l’ordre de prioritat d’operacions.

a)  5/14 + (1  –  7/10) : (2/3  –  1/5)   =  5/14 + (10/10 – 7/10 ) : (10/15 – 3/15)   =

5/14 + (3/10) : (7/15) = 5/14 + (3 ·15)/(10 ·7) = 5/14 + 45/70 = 25/70+45/70 =

70/70  =  1

Primer fem les operacions que hi ha dins del parèntesis, que són dues restes.

Després fem la divisió, per prioritat la realitzem abans que la suma!. Finalment

fem la suma i simplifiquem obtenint el resultat final.

b)   [ (3/2  – 1/5) · 5  – 1/10]  ·  (3/4) – (6/5) =

Aquesta operació combinada la pots fer tu, et donaré el resultat per veure si l’has

fet bé  18/5

Com últim explicar el concepte de fracció inversa. La fracció inversa és el resultat d’intercanviar el numerador i el denominador de la fracció.

És a dir, la fracció inversa d’una facció  a/b  és la fracció  b/a.

http://www.xtec.cat/~voliu/fraccions/