El número Pi. Càlcul. I L’algorisme de Chudnovsky.

L’algorisme de Chudnovsky, o com es calculen els decimals de Pi al segle XXI

El dia 14 de març, és el dia de Pi (per la forma d’expressar les dates als Estats Units: 3-14), i anem a celebrar-presentant un dels algorismes més útils de l’actualitat per calcular decimals de Pi: el algorisme de Chudnovsky.

Al llarg de la història han estat moltes les formes utilitzades per l’ésser humà per calcular aproximacions cada vegada més exactes d’aquest nombre Pi, quocient entre la longitud d’una circumferència qualsevol i el diàmetre de la mateixa: s’han usat les àrees de polígons inscrits i circumscrits a una circumferència, s’han trobat interessants aproximacions numèriques amb algunes fraccions senzilles, s’han desenvolupat sèries infinites i productes infinits de totes les formes que es puguin imaginar … Anem, de tot. Però d’entre tots aquests mètodes hi ha diversos que destaquen sobre la resta, i un dels que més ho fan és el denominat algorisme de Chudnovsky.

L’algorisme de Chudnovsky és un algorisme creat per David Volfovich Chudnovsky i Gregory Volfovich Chudnovsky, germans i matemàtics ucraïnesos nacionalitzats nord-americans, mitjançant el qual podem obtenir molt bones aproximacions del nombre Pi. Es basa en la següent expressió relacionada amb el nombre Pi que va trobar Ramanujan:

L’expressió de l’algorisme de Chudnovsky és la següent:

i amb ella obtenim 14 decimals exactes més de Pi amb cada terme de la mateixa. Què significa això? Molt senzill. Anem a partir del valor de Pi fins a la seva decimal número 50:

Si calculem el primer terme d’aquesta suma, el corresponent ak = 0, l’aproximació de Pi obtinguda serà 1 dividit entre aquest resultat, que ens dóna el següent:

En negreta es  ressalta  la part d’aquest resultat que coincideix amb el valor de Pi. Calculem ara els dos primers termes. L’aproximació de Pi ara serà 1 dividit entre la suma d’aquests. Obtenim això:

Com veieu, els decimals que ja eren exactes amb el primer terme es mantenen amb aquest segon terme, i afegim 14 més (són els ressaltats en negreta). Per fer un altre més, veiem que la tendència continua amb el terme següent. En calcular 1 dividit entre la suma dels tres primers termes obtenim la següent aproximació de Pi:

Els anteriors es mantenen i s’afegeixen 14 nous decimals exactes. I així successivament.

És una barbaritat obtenir 14 decimals exactes més amb cada terme, ja que amb molt pocs termes obtenim una aproximació escandalosament propera al valor real. Per això aquest algorisme és tan bo, i per això ha servit per obtenir diversos rècords mundials de càlcul de decimals del nombre Pi (per exemple, per aquest de 5 bilions d’agost de 2010 i per aquest de 10 bilions d’octubre de 2011). Per això és un dels més utilitzats en l’actualitat per al càlcul de bones (més aviat boníssimes) aproximacions d’aquesta constant que tant ens agrada.

Per cert, per obtenir els resultats que apareixen en aquesta entrada han utilitzat Mathematica de la següent manera:

Definim mitjançant una funció el terme general de la sèrie:
a [k_]: = (12 (-1) ^ k (6 k)! (13.591.409 +545140134 k)) / ((3 k)! (k!) ^ 3 640320 ^ (3 k +3 / 2))

Ara, per calcular cada terme utilitzo la comanda Sum. Per exemple, per calcular el primer ús
Sum [a [k], {k, 0,0}]

però com el que es desitja  és calcular l’aproximació de Pi que correspon amb aquest terme faig el següent (com volia 50 decimals posem  un 51, 51 xifres significatives):

N [1/Sum [a [k], {k, 0,0}], 51]

Per ampliar el nombre de termes simplement canviem el segon zero de {k, 0,0}. Per exemple, per calcular l’aproximació amb els dos primers termes
N [1/Sum [a [k], {k, 0,1}], 51]

i per als tres primers

N [1/Sum [a [k], {k, 0,2}], 51]

.

Per cert, una última curiositat. Amb

N [Pi, 51]

Mathematica ens mostra una aproximació del nombre Pi amb 50 decimals. Evidentment, podem augmentar el nombre de decimals per aconseguir aproximacions cada vegada més exactes. A que no sabeu que algorisme utilitza el propi Mathematica per obtenir aquestes aproximacions? Efectivament, l’algorisme de Chudnovsky.

 

Font:

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà Els camps necessaris estan marcats amb *