Quin poliedre regular s’acosta més a l’esfera.

 

Extret del bloc Gaussianos.

Què poliedre regular és més “esfèric”?

Doncs això: si haguessis de triar un dels cinc poliedres regulars com el més “esfèric” (el més “proper” a una esfera)



“>Font

Quin triaries?

En principi sembla una qüestió senzilla … o potser no tant. Com en estudiar certes situacions en matemàtiques pot ser convenient anar a casos més simples farem ara també, a veure si això ens ajuda.

Anem a dues dimensions. Quin és el polígon regular més “circular”? Aquí la resposta és senzilla, no? Un polígon regular es va fent més “circular” a mesura que augmenta el nombre de costats. És a dir, si prenem dos polígons regulars amb quantitats de costats diferents i dibuixem la circumferència inscrita i la circumscrita de cada un d’ells sembla clar que el polígon que tingui més costats dels dos omple més la circumscrita i és més emplenat per la inscrita, convertint-se així en el més “circular” dels dos. De fet en això es basa un famós mètode d’aproximació del nombre pi.

Però en tres dimensions la situació no és exactament igual, ja que mentre que hi ha infinits polígons regulars només tenim cinc poliedres regulars. Quin serà ara el més “esfèric”? El de més arestes? El de més cares? Potser el de més vèrtexs?

Bé, com crec que ja us he deixat temps per pensar-us dic la resposta: depèn.

¿Depèn? Sí, depèn. Vegem per què. Suposem que considerem que el poliedre regular més esfèric és el que compleix que té menor volum respecte de la seva esfera inscrita, que suposarem de ràdio 1 (és a dir, el poliedre regular que excedeix en menor quantitat el volum de la seva esfera inscrita). En aquest cas el poliedre regular més esfèric és l’icosàedre. A la següent taula podem veure diverses dades, entre els quals hi ha el volum de cadascun dels políedres regulars en aquesta situació:

Veiem que és l’icosàedre el que té menor volum en aquest cas.

Canviem ara d’interpretació. Suposem ara que per nosaltres el poliedre regular més esfèric és el que compleix que té major volum respecte de la seva esfera circumscrita, que suposarem també de ràdio 1 (és a dir, el poliedre regular que omple major quantitat de la seva esfera circumscrita). Segur que molts heu pensat que també seria l’icosàedre en aquest cas, però en realitat és el dodecaedre. Les dades els trobem a la taula següent:

 

Com a poc,  és curiós que el dodecaedre guanyi en aquest cas.

De tota manera, al final sembla que el icosàedre guanya. Si calculem els volums de cada un dels cinc poliedres regulars per superfície fixa igual a 1 obtenim els valors de la taula:

Hi podem veure que l‘icosàedre és el que té major volum en aquesta situació, de manera que en aquest sentit podríem dir que és el més esfèric, de manera que s’acabaria alçant amb la victòria en aquesta hipotètica confrontació amb el dodecaedre.

I per afegir una raó més, el considerat mundialment com “la pilota”, la pilota de futbol, ​​s’inspira en un icosàedre truncat, poliedre que s’obté truncant tots els vèrtexs de l’icosàedre:

 


>Font

 

Les imatges amb les taules estan tretes de Which Platonic Solid is Most-Spherical? , de Pat s Blog.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà Els camps necessaris estan marcats amb *