La màquina de Melde

Institut Sant Feliu de Guíxols
Quart d’ESO
Primer i segon de batxillerat

Tots sabem que els instruments de corda sonen perquè fem vibrar una de les seves cordes amb algun mecanisme i aquestes es posen a oscil•lar amb una freqüència ben determinada. Aquesta vibració es transmet a l’aire pel qual arriba a la nostra oïda i així podem gaudir d’una fantàstica melodia. Potser també sabem que el que provoquem quan fem oscil•lar aquesta corda és l’aparició d’ones estacionàries. Aquestes ones són la conseqüència de la interferència entre una ona directa i una de reflectida a l’extrem de la corda sobre la que actuem.

La velocitat de les ones estacionàries que es formen sobre la corda depèn del material i el gruix de la corda , i també de la seva tensió. Aquesta velocitat estarà doncs fixada per a cada corda. La longitud d’ona de l’ona estacionària que generarem dependrà de la longitud efectiva d’aquesta corda. De fet, la longitud d’ona serà el doble de la longitud de la corda si ens trobem en el que s’anomena estat fonamental. Per tant, la freqüència de l’ona estarà donada per:  formulaAixí docs, cada vegada que fem sonar una corda trobarem una freqüència (una nota) ben determinada.maquina_melde

A la màquina de Melde el que tenim és una corda que oscil•la amb una freqüència fixa i que també té una longitud fixa. Si nosaltres canviem la velocitat de la transmissió no hi haurà més remei que canviar la longitud d’ona. Això vol dir que haurem de canviar d’estat de vibració. Haurem de passar del nivell fonamental a algun altra nivell on la longitud d’ona serà la meitat, la tercera part, la quarta part, etc. de la longitud de la corda.

Per construir la màquina de Melde necessitarem un aparell que vibri amb una certa freqüència i una o vàries cordes en què puguem variar la tensió.

En el nostre cas, hem aprofitat un timbre vell de l’institut (sense la campana) i una estructura feta amb quatre fustes.

La Probabilitat

Institut de Montilivi
Demapartament de Matemàtiques

Caixa de Varga1

  • Descripció: consta de varies taules amb caselles. Cada taula té associat o un dau de diverses morfologies (daus amb colors, daus amb números); o una bosseta amb boles de colors en el seu interior.
  • Procediment: el jugador ha d’avançar per les caselles fins a arribar a la meta. En cada casella hi ha una imatge que determina en quin supòsit es pot abandonar la casella. Els supòsits són probabilístics, com per exemple, extreure dos boles del mateix color o treure una puntuació superior a 4 en un dau de sis cares.
  • Activitat d’aprenentatge: és el mateix jugador que tria a quina casella avança, i per tant, ell és qui ha de observar en quina casella hi ha més probabilitat d’avançar.

Cursa de Camells i Cavalls

  • Descripció: consta de dos taulers grans penjats verticalment, que contenen uns taquets de velcro per poder-hi enganxar unes figures. Cada tauler te associat 12 figures de cavalls, o 12 de camells, amb2 dorsals numerats del 1 al 12 cadascú. S’utilitzen 4 daus de 6 cares.
  • Procediment: el jugador tria un dels 12 cavalls o 12 camells segons el tauler on es troba. Llavors en cada torn es tiren 2 daus i es sumen les seves cares, i el resultat indica quin és el dorsal que avança una posició. Guanya el dorsal que arriba abans a meta.
  • Activitat d’aprenentatge: a mesura que es van fent les tirades de daus, els jugadors se’n adonen que hi ha camells o cavalls que tenen més probabilitat de que aparegui el seu dorsal amb la suma de les cares dels daus.

Monty Hall3

  • Descripció: consta de 3 Gots, i una moneda.
  • Procediment: en el joc hi juguen un jugador i un crupier. Els gots estan posats de cap per avall, i un d’ells conté una moneda. És el crupier l’únic que sap on està la moneda. El jugador tria un got al atzar i el separa. Després el crupier aixeca un des dos gots restant on sap que no hi ha la moneda, i li ofereix si vol canviar el got triat pel jugador, per l’altre got que no ha aixecat el crupier.
  • Activitat d’aprenentatge: El jugador ha de fer varis torns per adonar-se quin dels got te més possibilitats d’estar premiat: el seu, o el que li ofereix el crupier.

Jocs de les Parelles

  • Descripció: consta de varis cordills d’uns 20cm de llarg.
  • Procediment: Després de l’explicació d’una història mil•lenària on es relata l’origen d’aquest joc, es trien parelles de jugadors. Cada parella agafarà 8 cordills amb les mans, deixant els extrems dels cordons visibles. Llavors, la Sacerdotessa del joc, ajudarà a que els jugadors cordin les parelles de cordills que els hi sobresurten per la mà. Segons el joc, només aquelles parelles que aconsegueixin crear un sol llaç amb tots els cordills, seran felices.
  • Activitat d’aprenentatge: els jugadors poden comprovar amb la repetició d’aquest joc, si es més probable que es formi o no un sol llaç amb els cordills. 4

Criptografia: els codis secrets

Anotació

Tercer d’ESOcripto3
Institut Santa Eugènia
Girona

La criptografia és tan antiga com l’escriptura: sempre que hi ha hagut una comunicació entre dues persones, hi ha hagut una tercera persona que podia estar interessat en interceptar i llegir aquella informació, sense permís i coneixement dels altres.cripto2

Generalitzant encara més, sempre que algú amaga alguna cosa, sempre hi haurà persones interessades en descobrir-lo.

És per això que sempre que hi ha gent que l’interessa xifrar un missatge (criptografia), hi ha algú interessat en desxifrar (el Criptoanàlisi).

cripto1En aquesta activitat farem un repàs dels mètodes més clàssics d’encriptació, com ara el xifrat de Cèsar, o xifrat mitjançant una escítala, passant per la famosa màquina enigma, la qual va ser un element clau de la II Guerra Mundial fins a xifrats que s’estan fent servir a l’actualitat, com ara el RSA.

Els i les participants s’hauran de convertit en veritables espies i desxifrar tots els codis que els anirem proposant, tot fent servir el seu enginy, i eines que disposarem al seu abast.

Per saber-ne més:

Paritat i matemàgia

Anotació

Club de matemàtiques
Institut Montilivi
Girona

Objectius

  • Observar com el principi de paritat pot utilitzar-se en diversos jocs de màgia.
  • Conèixer alguns dels trucs divulgats per Martin Gardner (1914-2010), un dels principals divulgadors de Matemàtiques de la història.

Material

  • Tres gots
  • Jocs de cartes[youtube]http://youtu.be/RhKVF6NzxZg[/youtube]

ELS 3 GOTS

Com ho fem?
Col•loquem tres gots en fila, alternant les posicions cap amunt i cap avall. Mostrem que es poden deixar els tres gots cap amunt fent moviments consistents en voltejar alhora dos gots adjacents, sense canviar-los de lloc.
Què observem?
Et reptem a que facis el mateix. Observaràs que no seràs capaç d’aconseguir-ho.
El principi de paritat
Al començament, hem col•locat els gots alternant avall-amunt-avall. Donat que el moviment permès no canvia la paritat dels gots que hi ha boca amunt, podem passar d’1 a 3 sense dificultat. Tanmateix, si quan demanem a l’espectador que repeteixi l’acció li deixem preparada la línia de gots alternant amunt-avall-amunt, aquesta vegada serà impossible passar de 2 a 3, perquè canvia la paritat.

ATRAPATS! (adaptació de “la mansió embruixada”)

Com ho fem?
Col•loquem sobre la taula 5 cartes que van de l’1 al 5.
-Posa el dit sobre la carta 1 – Ara passa sobre quatre cartes seguides, canviant de direcció cada vegada que vulguis – A continuació, passa sobre 3 cartes seguides (també pots canviar la direcció) – Ara passa sobre tantes cartes com vulguis, però recorda bé quantes són, perquè a continuació has de tornar a passar pel mateix nombre de cartes – Si ets un noi, queda’t on ets, però si ets una noia mou-te dos llocs – Ara avança dos llocs (si arribes a la carta 5, gira)…
Què observem?
Si has realitzat correctament tots els moviments, segur que et trobes sobre la carta 4!.
El principi de paritat
Les cartes parells i senars estan alternades, pel que en cada moviment es canvia de paritat. Hem començat en una carta senar (1). Si les instruccions que donem són de fer un nombre parell de passes, no canviarà la paritat, però si demanem que es faci un nombre senar de passes, la paritat canviarà. A més, si repetim el nombre de passes que hem fet (tal com es demana en una ocasió),  sempre es mourà un nombre parell de vegades (parell + parell = parell i imparell + imparell = parell). Tenint en compte aquestes indicacions, aconseguim tenir la certesa de que l’espectador arribarà finalment a situar-se sobre la carta 4.

CARTES GIRADES

Com ho fem?
Tria unes quantes cartes de la baralla (tal vegada entre 5 i 10)  i col•loca-les de forma que unes quedin cara amunt i d’altres cara avall. Ara em giraré i tu pots girar les cartes que vulguis, fent-ho d’una en una i dient “GIRO” cada vegada que ho facis. Finalment, tria una carta i amaga-la amb la mà.
Què observem?
Jo endevinaré si la carta que has amagat està cara amunt o cara avall.
El principi de paritat
Abans de girar-me he mirat el nombre de cartes que hi havia cara amunt, comprovant si  es tractava d’un nombre parell o senar. A continuació, sé que cada vegada que es fa un gir canvia la paritat, i això és el que tindré en compte finalment per saber la col•locació de la carta tapada.

DUES MONEDES DE 5 I 10 CÈNTIMS

Com ho fem?
Posa una moneda de 5 cèntims en una mà, i una moneda de 10 cèntims a l’altra mà. Multiplica el contingut de la mà dreta per un nombre parell, i el de la mà esquerra per un nombre senar.
Què observem?
Et diré en quina mà tens cada moneda sabent únicament el resultat de la suma de les dues operacions anteriors.
El principi de paritat
Parell*5 (mà dreta)+ Senar*10=Parell (Si el resultat  de la suma és parell, la moneda de 5 c és a la mà dreta)
Senar*5 (mà esquerra)+Parell*10=Senar (Si el resultat de la suma és senar, la moneda de 5 c és a la mà esquerra)