Llibres comentats

 profemates

 

Títol:  Matemática curiosa y divertida

Autor: Malba Tahan

Editorial: Gedisa (Barcelona  1995)

Pàgines: 164

 

Malba Tahan (1895-1974) és el pseudònim de Julio César de Mello e Souza, professor de matemàtics i autor d’un dels més meravellosos llibres de joc i divulgació escrits mai: L’home que calculava. Només per això ja s’hauria de comprar el llibre.

El llibre està concebut com una mena de collage en el que trobem peces matemàtiques de tota mena: petits problemes, anècdotes, apunts històrics i literaris… La tria és bona i hi trobarem que alguns d’aquests apunts són prou nous ja que no apareixen en altres llibres similars.

 

Títol:  Aritmética aplicada e impertinente

Autor: Jean-Louis Founier

Editorial: Gedisa (Barcelona  1995)

Pàgines: 213

 

Gedisa és de les poques editorials que mantenen una col·lecció fixa dedicada a les recreacions matemàtiques. Així el seu catàleg es va mantenint amb llibres d’autors tan importants com Gardner, Alem, Stewart o Smullyan. Aquest llibre, publicat al 1995 però encara localitzable a les llibreries, és ben diferent. Vindria a ser una mena d’acte de venjança als problemes escolars típics. L’autor afirma que el llibre “ha estat escrit per a tots aquells que han d’ajustar comptes amb els nombres i pels alumnes que són els últims de la classe”. Així, destil·lant un humor corrosiu (i moltes vegades massa negre per aplicar-lo directament a classe) ens proposa un divertit recull de problemes sobre mesura (longitud, àrees i volums), proporcionalitat (regla de tres, percentatges, mòbils), fraccions… Els problemes, a més, sempre es poden resoldre amb “l’aritmètica de tota la vida”

                 

Títol:  Enginy2

Autor: Àngels Navarro i Tere Moral

Editorial: Empúries (Barcelona  2003)

Pàgines: 111

 

La gran virtut d’aquest llibre d’enigmes és el seu disseny: format quadrat de mida raonable, bon paper, un problema per pàgina, bons colors…

La tria de problemes (uns 80) és variada i hi trobarem molts estils que reconeixerem: transvasaments, tangrams, quadrats màgics, figures d’un sol traç, llumins, itineraris, il·lusions òptiques… i també jocs lingüístics. Els problemes estan presentats de manera clara i els enunciats són curts, la majoria molt aptes pels infants.

En general no hi novetats especials però l’embolcall és magnífic i fa que el llibre sigui agradable de mirar. És el primer esquer per animar-se a resoldre problemes. El segon són els mateixos enigmes però molta gent ja haurà picat amb el primer, la qual cosa no és poc mèrit.

 

Títol:  Gimnasia mental 2

Autor: Jordi Deulofeu

Editorial: Martínez Roca (Madrid  2003)

Pàgines: 185

 

Segon volum que recull les recreacions presentades a l’antiga secció del suplement científic setmanal de La Vanguardia: Para pensar de un minuto a una hora. L’anterior (Una recreación matemática: historia, juegos y problemas) va se una bona iniciativa.

Aquest llibre no té la unitat de l’anterior i està dividit, d’una manera més clàssica, en capítols dedicats a un tipus de recreació (paradoxes, problemes de transvasament o pesades…) o a problemes amb un nexe comú (cap-i-cues, geomètrics, probabilístics…). A més hi ha dos capítols especial: un dedicat a la resolució de problemes i un altre als petits jocs d’estratègia. Tots dos són temes molt en la línia del treball didàctic desenvolupat  pel Jordi Deulofeu.

La tria de problemes és molt interessant. Quan se’ns presenten els clàssics venen acompanyats de variants curioses o de pinzellades històriques que fan redescobrir-los des d’una perspectiva nova. Quan no ho són tant de clàssics, són, moltes vegades, sorprenents.

Però si un valor afegit té el llibre és la manera en que moltes de les propostes inicials es van estirant fins a convertir-se en petites investigacions matemàtiques.

Així, un aparent petit llibre de recol·lecció de problemes es converteix en un no-tant-petit-llibre-de-recol·lecció-de-problemes molt més interessant del que pot semblar a primera vista.

 

Títol:  Matemáticas recreativas

Autor: Yàkov Perelman

Editorial: Martínez Roca (Barcelona  2002)

Pàgines: 254

 

De tant en tant toca córrer a les llibreries perquè no se’ns torni a escapar un clàssic. Els llibres de Perelman (un dels noms a unir als de Sam Loyd, Henry Dudeney o Martin Gardner com els grans inventors-recol·lectors de problemes) són pràcticament impossibles de trobar des de la desaparició de l’editorial russa Mir que traduïa els seus llibres al castellà. L’únic títol que va publicar una altra editorial al nostre país va ser aquest que la pròpia Martínez Roca recupera del seu fons editorial (hi va haver també un edició de col·lecció de la Salvat).

Aquest llibre no arriba a ser la versió completa del mateix títol de la Mir però “más vale pájaro en mano…”.

Molts dels seus problemes ja són prou coneguts perquè els anem trobant recopilats en molts altres llibres i és que les obres de Perelman són llibre de capçalera de qualsevol amant dels entreteniments matemàtics (i, per tant, dels autors de recopilacions).

En conclusió: si no teniu el llibre compreu-lo. Potser coneixereu moltes de les recreacions però tindreu a les mans un autèntic clàssic.

 

Títol:  Enigmes i jocs matemàgics

Autor: Lluís Segarra

Editorial: Pòrtic  (Barcelona  2001)

Pàgines: 175

 

No descobrirem ara a Lluís Segarra ni el seu interès “històric” per la popularització de les matemàtiques. Segurament estem parlant d’una de les persones que ha fet més per l’entrada de la part recreativa de les matemàtiques a les escoles.

En aquest llibre (que va tenir una primera versió castellana feta pel Círculo de Lectores) hi ha una gran col·lecció de problemes d’entreteniment. La varietat és molt gran: problemes clàssics, no tan clàssics, variants dels clàssics…

Els problemes estan classificats en 7 apartats:

Prestidigitació matemàtica (24 jocs)

Escuradents (9 problemes)

Problemes d’enginy (68 problemes)

Enigmes i endevinalles (133 enigmes)

Punts i línies (10 problemes)

Problemes amb el tauler d’escacs (18 problemes)

Els nombres i les seves curiositats (122 problemes)

Cada autor té preferències per determinat tipus de problemes però la col·lecció presentada és prou diversa perquè hi hagi al gust de tothom i, a més, la gran majoria aprofitables per proposar-los a les aules. N’hi ha per tots els nivells.

 

Títol:  Juegos y enigmas de otros mundos

Autor: Martin Gardner

Editorial: Gedisa  (Barcelona  2000)

Pàgines: 249

 

Aquest llibre és, bàsicament, un recull de problemes que Martin Gardner a la revista Isaac Asimov’s Science Fiction Magazine. Els problemes es presenten en forma de petit conte (o més aviat pesudoconte ja que el desenllaç l’ha de produir el lector resolent el petit enigma). Els problemes, com sempre en Gardner, presenten diferents nivells de dificultat. Una dels les aspectes més interessants és que l’apartat de solucions és en realitat un apartat de “primeres solucions”, perquè cadascuna de les 37 històries inicials, porten a un segon problema que ens guia cap a l’apartat de “segones solucions”, que, de vegades ens fan viatjar fins a “terceres” i “quartes solucions” amb la proposta de nous problemes.

La lectura o relectura dels llibres de Gardner sempre és molt recomanable.

 

Títol:  La maravilla de los números

Autor: Clifford A. Pickover

Editorial: Ma Non Troppo [Ediciones  Robinbook ] (Barcelona  2002)

Pàgines: 284

 

Aquest nou títol de Clifford A. Pickover té les mateixes virtuts i defectes que el llibre anterior del mateix autor publicat per aquesta editorial, El prodigio de los números, del qual es declara continuació. Tots dos llibres tenen exactament el mateix esquema en 4 parts:

Acertijos entretenidos y reflexiones breves – Una sèrie de problemes més o menys fàcils barrejats amb alguns breus capítols de divulgació. Una part força entretinguda.

Cuestiones raras, listas y encuestas

Delicias digitales endiabladamente difíciles

La colección peruana

La part menys interessant del llibre també torna a ser la de les “delícies digitals”: problemes (alguns curiosos, d’altres no tant) que sempre demanen l’ús de programes informàtics per resoldre’s. La part més nova i curiosa també torna a ser la de “qüestions estranyes” amb la presència, com al llibre anterior de les llistes top-ten (les 10 equacions més importants, els 10 articles matemàtics més estranys…). també torna a ser molt bona la selecció de cites. Si coneixeu el llibre anterior del mateix autor i us va agradar podeu repetir tranquil·lament. 

 

Títol:  Carnaval matemático

Autor: Jaime García Serrano

Editorial: Autopublicat (Madrid 1997)

Pàgines: 266

 

Millor que comentar el llibre serà parlar de l’autor. Jaime García Serrano és un gran calculista que va tenir una certa presència mediàtica els mesos anteriors a la implantació de l’euro fent demostracions i explicacions de trucs per fer el “canvi” pessetes-euros i a la inversa de manera ràpida. És possessor, a més, d’alguns rècord Guinnes relacionats amb el càlcul ràpid i amb la memòria. Actualment resideix a Catalunya i és fàcil contactar amb ell perquè realitzi exhibicions de càlcul ràpid i “prodigis memorístics” als centres escolars (tan a primària com a secundària). Per les “actuacions” cobra “la voluntat” però demana poder vendre els seus llibres entre l’alumnat i el professorat.

La veritat és que les seves actuacions tenen alguns moments especialment impactants: com repetir del dret i del revés un nombre d’unes 30 xifres que se li acaba d’escriure i que ha pogut observar uns segons o quan fa càlculs grans més ràpidament que un alumne amb la calculadora. També incorpora alguns petits trucs màgics de càlcul. L’actuació no té només aspectes d’exhibició sinó que també explica alguns dels seus trucs; és a dir, hi ha una part didàctica.

Encara que inicialment puguem tenir una certa resistència a convertir el càlcul en un espectacle és cert que la repercussió que pot tenir en la vida diària del centre (tant entre l’alumnat com entre el professorat) la seva actuació ja que durant ben bé una setmaneta les matemàtiques seran les protagonistes de moltes converses. A més, obre la possibilitat a que el nois i noies comprin algun llibre d’entreteniments matemàtics com el que citem aquí; i si el llibre està a casa és possible que s’obri, i si s’obre és possible que es llegeixi, i si es llegeix… més encara si els professors i professores de matemàtiques recullen alguns dels jocs per aprofitar-los a classe mentre durin el “efectes” de l’actuació.

Els que estiguin interessats en connectar amb ell, saber-ne alguna cosa més o en comprar un dels seus llibres (en té algun més sobre l’ús de l’àbac, sobre el cub de Rubik i sobre com potenciar la memòria) ho poden fer a través de la seva web:

http://www.jaimegarcia.com

El llibre aquí triat és, bàsicament, un recull força digne de clàssics problemes d’entreteniment: criptogrames, jocs de màgia (força abundants), il·lusions òptiques, trucs de càlcul mental… No hi ha cap ordre especial que els agrupi. A la part final abunden jocs  i problemes extrets del “Matemàtica recreativa” de Y. Perelman (llibre que, per cert, s’acaba de reeditar). Pot ser, malgrat tot, un bon títol per començar a afeccionar-se als jocs matemàtics. 

 

Títol: El prodigio de los números

Autor: Clifford A. Pickover

Editorial: Ma Non Troppo (Ediciones Robinbook)  (Barcelona  2002)

Pàgines: 305

 

L’autor es declara en deute amb Martin Gardner, Ian Stewart, Theoni Pappas, John Conway… i sembla voler recollir l’esperit de barreja d’intenció divulgativa i originalitat en la proposta de problemes que, de manera molt especial, han defensat els dos primers escriptors de la llista. I, de fet, el llibre no comença malament, però va perdent embranzida (per reiteratiu) a mesura que va avançant la seva lectura.

Hi ha un esforç notable de ser original en la proposta de problemes i, en ocasions s’aconsegueix. Però (només és una opinió) hi ha un excés de problemes d’investigació numèrica que, a més, per la grandària dels resultats, demana l’ús de programació informàtica per investigar-los.

Tot i així el llibre té punts d’interès. Alguns dels problemes permeten reduccions o dones idees per variants. també són curioses unes llistes a les que estem habituats en altres camps però no tant en la matemàtica: “Els 10 matemàtics més influents de la història”, “Els 10 nombres més interessants”, etc. També és destacable la varietat i qualitat de cites incloses a cada capítol.

 

Títol: Un conte embolicat de Lewis Carroll

Autor: Eduard Castaño i Lluís Mora

Editorial: Laertes – Sèrie Crèdits – Col·lecció Lectures i Itineraris (nº 30)  (Barcelona  1998)

Pàgines: 140

 

Hi ha molts llibres de recreació matemàtica, però no són tants els “inventors” de problemes de recreació. Per això, de tant en tant, és bo acudir a les fonts originals: Dudeney, Loyd, Perelman, Gardner, Smullyan… Entre tots ells Lewis Carroll ocupa un lloc especial, principalment perquè és l’únic d’aquesta llista que transcendeix l’àmbit de les matemàtiques per entrar en el de la gran literatura anglesa. Les relacions entre la lògica matemàtica i els texts d’Alícia ja estan abastament tractades a la versió comentada d’en Martin Gardner dels dos llibres d’Alícia. Molts podem recordar, també,  l’edició de Leopoldo Panero dels problemes matemàtics de Carroll que es va publicar amb el títol de “Matemática demente” (i que darrerament ha estat objecte d’una nova edició). El llibre “Un conte embolicat…” recull 12 “nusos” que van aparèixer fa més de 100 anys a la revista The Monthly Packet. Cada nus proposa entre un i dos problemes en forma de petita història. El traductor ha hagut de lluitar amb els habituals jocs de paraules d’en Carroll.

Cada nus té un esquema similar: 

la història d’en Carroll

un apartat amb un resum de l’enunciat del problema i la seva solució

una proposta de treball que, a partir dels aspectes matemàtics del “nus” ens fa suggeriments d’ampliació de tipus històric, o de tècniques de resolució de problemes, o de, fins i tot, “petita” divulgació matemàtica.

Comentaris de caire didàctic es barregen també al llarg del text.

Tot aquest batibull el fan un llibre més que interessant i recomanable. Com a crèdit sembla més pensat per a 2n Cicle d’ESO (els problemes, si bé accessibles, no són especialment fàcils). Però tots i totes podem fruir de la seva lectura ràpida i fàcil. 

 

Títol: Problemates

Autor: Lluís Segarra

Editorial: Edi-Liber (col·lecció Mil·leni nº 3, Barcelona 1999)

Pàgines: 150

 

Al mercat és ben fàcil trobar llibres que recullen col·leccions més o menys afortunades de problemes d’entreteniment. Són menys els títols en català (encara que aquest trimestre en destaquem tres) però encara són menys els que s’ha confeccionant per ajuda dels i les ensenyants de matemàtiques. Fa més de 10 anys de l’aparició del clàssic “Encerca el cercle” del mateix Lluís Segarra. Aquest nou títol ens proposa més de 250 problemes “per a totes les edats” indicant el nivell pel que són recomanables.

A més de recollir una bona tria de problemes d’entreteniment pels últims cicles de Primària i pels dos de Secundària, una de les novetats importants respecte a altres títols és la tan reivindicada presència d’entreteniments per Educació Infantil i pel primer cicles de Primària (tot un capítol sencer!). D’aquesta manera s’atén una mica una de les queixes clàssiques del professorat de l’alumnat més petit: la pràctica inexistència de materials específics amb jocs matemàtics pensats per treballar amb les primeres edats.

El llibre té cinc seccions:

“Matematiquetes” (30  problemes per EI i 1r Cicle de Primària)

100 engimes

Problemes de geometria (53 problemes)

Lògica (44 problemes)

Problemes clàssics (36 problemes)

 

Títol: Llibre d’enigmes (El gran joc de les neurones)

Autor: Jérôme Bonaldi

Editorial: Pòrtic (Enciclopèdia Catalana – Barcelona 1999)

Pàgines: 110

 

Fent honor al títol, el llibre no és només una col·lecció de problemes matemàtics sinó que reuneix 200 enigmes de diferents tipus, entre els que abunden els de lògica verbal, de “trampa” i de càlcul. Hi ha barrejats alguns dels problemes que es coneixen com “de pensament lateral i endevinalles. En trobem a mancar problemes geomètrics.

No hi cap criteri de classificació (com a la totalitat de títols que comentarem) ja que està pensat per “anar-lo fent”: 4 o 5 problemes per pàgina i les solucions a la següent (la qual cosa facilita la consulta d’aquestes, ja que no les han posades totes juntes al final del llibre).

 

Títol: Enigmes en diagonal

Autor: Edgar Trevi i Leandre Terol

Editorial: Edi-Liber (col·lecció Mil·leni nº 3, Barcelona 1999)

Pàgines: 126

 

Al programa Diagonal de Catalunya Ràdio conduït pel Jordi González es va proposar un dia el clàssic problema dels 3 amics, el cambrer i la pesseta que desapareix. Pel que expliquen, la centraleta telefònica es va col·lapsar i es va decidir fer-ne una secció fixa. Els oients van participar també enviant enunciats a la redacció. Els dos autors han fet un recull d’aquests problemes als que han afegit alguns de geomètrics que no van poder proposar a la ràdio. Hi són presents alguns de molt clàssics però altres que no ho són tant. La majoria tenen un sentit molt juganer. En total es presenten 128 problemes (sense cap ordre especial) amb un disseny d’edició força atractiu: pàgina blanca amb l’enunciat i revers negre amb la solució invertida.

 

Títol: Acertijos divertidos y sorprendentes

Autor: Martin Gardner

Editorial: Zugarto Ediciones (Colección deMente, Madrid-2000)

Pàgines: 139

 

Una tria de problemes sense fer una ullada a algun llibre d’en M. Gardner és imperdonable. En aquest recull de 64 problemes hi trobem alguns dels seus preferits: laberints, geomètrics, il·lusions òptiques, pensament lateral, llumins… i, com a novetat, alguns problemes d’observació visual.

 

Títol: Para resolver en el ascensor

Autor: J.J. Mendoza Fernández

Editorial: Zugarto Ediciones (Colección deMente, Madrid-1996)

Pàgines: 110

 

Gairebé dos centenars de problemes d’enunciat curt i, a diferència dels títols anteriors, classificats per temes, cosa que ens ajudarà a localitzar més ràpidament els d’un tema concret que ens pugui interessar especialment. Els capítols porten els següents títols: Comptant, Mesurant i comparant, Pesant i amb cadenes, Barrejant, Mesurant el temps, Paraules, La família i Lògica ràpida.

 

Títol: ¿Odias las matemáticas?

Autor: Alejandra Vallejo-Nágera

Editorial: Ediciones Martínez Roca (Barcelona, 1998)

Pàgines: 159

Un llibre adreçat al públic juvenil i, més que ser pròpiament un recull de problemes, presenta una bona col·lecció de curiositats numèriques i geomètriques, trucs de màgia-matemàtica, laberints, simetries, figures d’un sol traç, jocs, etc.

 

Títol: Magia inteligente

Autor: Martin Gardner

Editorial: Granica Ediciones (Juegos&Co) (Buenos Aires, 1988)

Pàgines: 190

 

Poques coses noves queden per explicar de Martin Gardner. Cal recordar, però, que una de les seves grans afeccions és la màgia i, particularment, els trucs que tenen alguna relació amb la matemàtica. Tal com ell mateix explica al prefaci del llibre “la màgia matemàtica combina la bellesa d’una estructura matemàtica amb l’entreteniment que aporta un truc”. En aquest llibre fa un recull d’alguns dels que més li agraden, encara que podem buscar-ne de diferents als altres publicacions seves d’entreteniments. 

Aquesta edició concreta deu ser ja difícil de trobar, però no fa gaire (potser un parell d’anys) va ser reeditat a la col·lecció “Colección De Mente” de l’Editorial Zugarto (el número 6 de la col·lecció).

A l’igual que el llibre d’en Lluís Segarra “Matemàgica” ens pots donar idees per organitzar una funció de Màgia Matemàtica amb el nostre alumnat.

 

Títol: Magia inteligente

Editorials: Zugarto Ediciones/Juegos&Co. (Colección DeMente nº 25) (Madrid-1996)

Autors: Daniel Samoilovich

Pàgines:  93

En aquest llibre, l’argentí Daniel Samolilovich, es dedica a la recerca d’elements lúdics (alguns clarament matemàtics i d’altres lingüístics) a les obres d’autors tan diferents com Poe, Shakespeare, Carroll, Apollinaire, Cortázar, Cabrera Infante, Swift, Nabokov, Conan Doyle, Gómez de la Serna, Lear, Breton, Bradbury o Burroughs. Així trobem cirptogrames, problemes de lògica, jocs per dues persones, cal·ligrames, problemes d’escacs, etc.

 

Títol: Refrescos matemáticos

Editorial: Rubes

Autor: Luis Balbuena, Luis Cutillas i Dolores de la Coba

Pàgines: 110

Si ens agraden els entreteniments matemàtics és molt probable que disposem d’una bona col·lecció de problemes amb llumins o escuradents i que coneguem uns quants estils de problemes amb aquestes eines: reconversió de figures, recomptes diversos, ampliació o reducció d’ares i perímetres, bromes amb text o numeracions romanes… Aquest llibre conté 75 problemes diferents amb escuradents, però amplia la classificació anterior ja que incorpora altres problemes sobre sèries que demanen recursos nous, com poden ser els algèbrics. Un factor a afegir és que els tres autors són ensenyants, amb la qual cosa podem suposar que hauran aplicat molts d’aquests exercicis a les seves aules. En el cas concret d’en Luis Balbuena i Dolores de la Coba (membres de la Societat Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton) ja hem pogut trobar altres publicacions anteriors que relacionen els entreteniments matemàtics i l’escola, concretament el llibre La matemática recreativa vista por los alumnos publicat per Proyecto Sur Ediciones a l’any 1992.

 

Títol: Divertimentos matemáticos

Autor: Brian Bolt

Editorial: Labor

Pàgines: 128

 

Hem triat aquest títol de Brian Bolt perquè, si t’interessa, encara estàs a temps de localitzar-lo en alguna llibreria, ja que l’editorial ha desaparegut (tot i que cada vegada costa més trobar-ne). I hem triat aquest com podíem haver agafat qualsevol altre llibre d’aquest magnífic autor defensor de la presència d’unes matemàtiques més lúdiques tant al carrer com a les escoles.

És un recull de 126 problemes d’entreteniment que abasta totes les categories (lògics, numèrics, geomètrics,…) amb presència de problemes clàssics i no tant clàssics.

Igual de recomanables són els altres títols del mateix autor que ha publicat la mateixa editorial (Actividades matemáticas, Más actividades matemáticas i Aún más actividades matemáticas). Pels ensenyants és especialment interessant el llibre 101 proyectos matemáticos que proposa moltes possibilitats d’investigació per l’alumnat (hi ha més del centenar que promet el títol!). Pels aficionats a la tecnologia també és magnífic el llibre Matemáquinas, on analitza els aspectes matemàtics que afecten al disseny de molts objectes i màquines del nostre entorn directe.

En resum, si trobeu un llibre de Brian Bolt, caceu-lo. Cada vegada són més difícils de trobar. Són fàcils de reconèixer: tots tenen el mateix format (primets, blancs i de 19×24 cm).

 

Títol: Matemàgica

Editorial: Pòrtic (Col·lecció Pòrtic Temes)

Autor: Lluís Segarra

Pàgines: 126

 

Hi ha pocs llibres d’entreteniment matemàtic en català i menys encara que siguin útils al cent per cent a l’escola. Per això és doblement benvingut aquest títol que, tot i no estar pensat específicament per l’aula, ens serà, ben segur, de gran utilitat. L’autor és un reconegut “popularitzador” de les matemàtiques, especialment en el camp escolar, i la tria que ha fet de trucs, problemes, curiositats, etc.. és perfectament assimilable a l’escola. Recordem també altres llibres del mateix autor adreçats directament als educadors com Repertori (Ed. Teide) o Encercla el cercle (Ed. Graó). També podem trobar aspectes de matemàtica lúdica en els seus nombrosos llibres de text.

Aquest nou llibre d’en Lluís Segarra està força centrat en el camp de la Màgia Matemàtica amb una especial atenció als trucs d’endevinació que es serveixen de conceptes matemàtics. Però també trobem una bona col·lecció de problemes, il·lusions òptiques, etc. que, encara que presenten diferents nivells de dificultat, mai no excedeixen el que es pot treballar amb l’alumnat de l’ensenyament obligatori i ens poden ajudar a formar el nostre propi Calaix de Problemes per la classe.