DOMINI DE FUNCIONS TEMA 9

DIA 1

1-CONCEPTE DE FUNCIONS (p.180)

Una funció es una relació entre las variables x i y. De forma que a cada valor de x li correspongui un sol valor de y.

Observa aquest dos dibuixos 

El primer no és funció perque per un valor de x, hi ha dos de y.

La variable x s’anomena variable independent, li dono els valors que jo vull, i la variable y és la variable dependent, el seu valor depen del que jo he donat a les x.

2-REPRESENTACIÓ GRÀFICA (P.181)

Totes les funcións es poden representar fent una taula de valor i posant els punts en uns eixos de coordenades.

3-DOMINI (p.182)

El domini d’una funció, Dom f , són tots els valors que pot tenir la x, i varia segon sea la funció.

3.1-FUNCIONS POLINÒMIQUES

Les funcions polinomiques poden ser:

Rectes com els dibuixos 1 i 2, paràboles com el dibuix 3 i polinómiques de grau 3,4,5…en el cas del dibuix 4 és de tercer grau.

Els gràfics són diferents, pero en tots puc donar qualsevol valor de x i obtenir un valor de y. Per tant: Dom f= R , R=reals, el reals són tots els nombres.

Sempre les funcions polinòmiques Dom f=R

3.2-FUNCIONS RACIONALS

Són les funcions que tenen denominador, com un nombre partit per 0 no existeix el Dom f= R-(tots els nombres que anul.lin el denominador).

Per tant hem de resoldre les equacions del denominador i buscar quan valen 0.

A continuació estudiarem alguns casos:

3.2.1.HIPERBOLA

Són funcions racionals que tenen denominador, mira aquests gràfics:

La més senzilla és y=1/x puc donar tots els valors menys 0, que anul.la el denominador, per tant Dom f= R-(0).

Què passa si són del tipos del dibuix 2 i 3?, he de buscar el nombre que anul.la el denominador, per exemple:

y= 1/(x-2)   no vull que x-2=0 per tant quan x=2 s’anul.la, Dom f=R- (2)

y=1/(x+2) ; x+2=0 per tant x=-2 i Dom f=R-(-2)

Aquests valors que anul.len el denominador fan que en aquest punt la gràfica es trenqui, ja no és continua. En matemàtiques a aquestes lineas verticals imaginaries(mira els dibuixos) per on no passa la funció l’anomenem assiptota i como és una linea vertical assiptota vertical.

3.2.2.FUNCIONS RACIONALS EN GENERAL

a)  El denominador no pot ser zero, per tant hem de resoldre l’equació de segon grau: x^2-5x+6=0  i trobar les soluciones, en aquest cas són x=3 i x=2, així puc dir Dom f=R- (2,3)

b)f(x)= (2x²-x+1)/(x²-1) el denominador s’anul.la quan x² -1=0, es a dir x=1,  x=-1 , per tant Dom f=R-(1,-1). Mira el vídeo si tens dubtes.

b)Mira aquest video, tens més exemples:

Exercicio 1

p.183 ex.12

Exercicio 2

p.184 ex.14

Aquí tens les solucions:

DIA 2

3.3.FUNCIONS IRRACIONALS D’INDEX PARELL

Són les funcions que tenen una arrel per exemple  

Com calculem el domini?, recorda que les arrels de nombres negatius no existeixen per tant l’equació de dins de l’arrel ha de ser més gran o igual a 0, tindrem que resoldre una inequacions, que ja hem vist durant el curs.

–3.3.1.Exemple irracional amb arrel quadrada i equació de primer grau:

el domini de  per tant l’equació de dins ha de ser:

x ≥ 0 , es decir,   Dom(f) = [0, +∞).

–3.3.2.  per tant l’equació de dins de l’arrel ha de ser 0, no importa el nombre 3 perquè no té x,  x + 2 ≥ 0   ⇒  x ≥ – 2 i per tant el domini serà:  Dom(f) = [- 2, +∞) .

—3.3.3.Exemple irracional amb arrel quadrada i equació de segon grau:

el domini de la funció , hem de resoldre , fent primer l’eauació de segon grau x²-5x-14=0 obtenim x=-2 o x=7, tant  , ara hem de fer una gràfica per veure quins valors cumpleixen aquesta euació

La solució són els nombres més petits que -2 i els nombres més gran de 7.

Podem escriure que el domini serà 

–Exemple de irracionals amb un index diferent de dos, pero parell, no passa res es fan igual mira el video.

Exercici 3

p.183 ex 13

Aqui tens la solució

 

3.4-FUNCIONS IRRACIONAL D’INDEX IMPARELL

Ara serà diferent perque les arrels cúbiques tenen solució tant si el número de dins es positiu com negatiu.

–Exemple 3.4.1, troba el domini .

com no hi ha restrincions el domini serà Domf=R.

3.5-FUNCIONS IRRACIONAL D’INDEX PARELL O IMPARELL AMB DENOMINADOR

En aquest exercicis hem de tenir en compte que és una arrel i una raccional, hem de fer inequacions de divisions que es fan com les inequacions de segon grau, fent gràfics.

Exemple 3.5.1.y= arrel(3-x)/(x+2)

si mirem que és una racional sabem que x+2=0 no pot ser per tant x=-2 no ha d’estar en el domini.

Al ser una arrel sé que la fracció (3-x)/(x+2) ha de ser més gran que 0, quant una divisió és positiva? doncs fàcil. quan el numerador i denominador són positius o bé quan el numerador i denominador els dos són negatius

Per tant hem de resoldre inequacions quan 3-x>0 o igual, i el denominador x+2>0 no puede ser igual como hemos visto antes x=-2 no és del domini

Ahora ja puc fer el gràfic.

Exactamente igual haré 3-x<0 o igual i x+2<0, dibujamos el gràfic i obtenim la solució.

I hara que fem? mira el vídeo. Solo mira el dominio, no el rango.

DIA 3

4-FUNCIÓ LOGARITMICA

La funció logarítmica té aquest aspecte y=log x ,

on la x pot ser un polinomi o una fracció racional o una arrel. Si recordes no existeix el logaritme dels nombres negatius ni del 0, per tant Dom ^f=Reals positius.

–4.1-Exemple, troba el domini de f(x)=ln(x+1) ,

dona igual que sigui log o ln (logsritme neperia) x+1>0  aillem x>-1 aquest serà el domini Domf=(−1,∞)

–4.2-Exemple, troba el domini de f(x)=log(−3x^2+5x−2),

como ja sabem el ponimi -3x^2+5x-2>0 hem de resoldre l’equació dona x=2/3 i x=1 i després hem de fer un gràfic i provar punts , la solució dona per valors entre 2/3 i 1, per tant:     Domf=(2/3,1)

Exercici 4

f(x) =log (x² -16) troba el domini, aquí tens la solució

5-FUNCIONES EXPONENCIALES

Una funció exponencial ha de tenir la base positiva i la variable x en el exponent, posi el nombre que posi d’exponent sempre té solucoò per tant el domini és fàcil, Dom f=R

Una funció exponencial té aquest aspecte: y= 2^x també y=e^x

EXERCICI 5

Troba el domini de a)y= e^x

b)g(x)=3^2x-1

c)h(x)=4^(1/x-2)

d)i(x)=2^arrel(x-1)

Aquí tens la solució

DIA 4

6-DOMINI DE FUNCIONS A TROSSOS

La funció a trossos com el seu nom indica està formada per diferents funcions unides en una mateixa gràfica.

Com pots veure està feta per quatre funcions, aquesta justament és continua i el seu Dom f=R, a vegades pot ser discontinua o tenir salts

 

Altre funció

Dom f=(inf,1]U(2,5)U(5,inf)  observa que x=5 és un punt buit,

Exercici 6

Fes el domini d’aquestes dos gràfiques

A vegades no tenim el dibuix només les equacions, hem de fer un petit esquema de la situació com els dibuixos de les inequacions, mira el següent vídeo.

 

Observa que una funció a trossos a partir de les seves expressions algebraiques es pot representar.

7-FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES

Les funcions sinos i cosinos són continues i molt semblants, les seves gràfiques són:

  

Dom f=R

Dona igual que sigui sin x o sin 2x el seu domini serà els reals.

La tangent és sinx/cosx i tindrem un problema quan cox=0 , si recordes quan l’angle val 901 o 270º, …., per tant la funció no serà continua, mira el gràfic

Ara tindrem que fer intervals per definir el seu domini

Dom f=ℛ – {…,–π/2, π/2, 3π/2, …} , en π/2 habrà una asimptota una recta imaginaria per on no passarà la funció, igual passarà per  3π/2 , etc.