Els vectors i les rectes

DIA 1

1-Vectors

Un vector és un segment orientat, una fletxa, que té un origen i un extrem (la punta de la fletxa).

S’anomena mòdul la seva longitud, direcció la inclinació que té i sentit que és cap a on va dirigida la fletxa.

1.1.Les coordenades o components d’un vector són la resta de les coordenades de l’extrem menys l’origen.

Si les coordenades de A y B són:

Les coordenadas o components del vector són .

Ex:Troba les coordenades del vector

Puedes practicar las componentes d’un vector

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/ejercicios-interactivos-de-operaciones-con-vectores.html

1.2-Mòdul d’un vector

És la longitud del vector i es calcula:

Explicaciones y ejemplos de módulo de un vector - 8

Ex. Explicaciones y ejemplos de módulo de un vector - 9

1.3-Vector paral.lels

Dos vectors són paral.les quan tenen la mateixa direcció, es a dir inclinació. No vol dir que les seves components són iguals sino que poden ser proporcionals.

Resultado de imagen de vectores paralelos definicion

Observa la fórmula (llibre p.159).

1.4 .Vector perpendiculars

També els vectors poden ser perpendicular, formen un angle de 90º. Per saber si dos vectors són perpendiculars és poden dibuixar o bé multiplicar les seves coordenades, s’anomena fer el producte escalar i ha de donar 0.

Si $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ el producte escalar es fa de la següent forma:

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$

Ex. Són perpendiculars els vectors segënts?: $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ .

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15$ No són perpendicular perque no dona 0.

1.5.Saber l’angle entre dos vectors

Per saber l’angle faren servir la fórmula següent:

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha$

Les lletres u i v entre barres significa el mòdul dels vectors. La part esquerra de l’igualtat és el producte escalar.

Per tant seguint amb l’exemple anterior:

Els mòdul seràn: $\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3, \qquad \left| \vec{v} \right| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Per tant:

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right|}$

Si el cosino dona 0, vol dir que són perpendicular , pero no dona 0 , per tant es pot calcular l’angle.

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{3 \cdot 5 + 0 \cdot 5}{\sqrt{3^2 + 0^2} \sqrt{5^2 + 5^2} } = \frac{15}{3 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Per calcular l’angle es té que fer arc cos x del resultat i amb la calculadora dona 45º.

1.6.Vectors ortogonals

Dir que dos vectors són ortogonals vol dir que són perpendiculars.

Ex. Són ortogonales els vectors $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ ?

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15 \neq 0$

No són ortogonales, no són perpendiculars.

1.7.Aplicació del producte escalar

El resultat del producte escalar ens dona informació de com són entre si dos vectors:

Com pots veure si són perpendiculars dona el producte escalar 0, si dona 1 vol dir que són paral.lels o coincidents i si dona -1, vol dir que ´son paral.lels i de sentit contrari.

1.8.Curiositat de dos vectos pendiculars

Perque doni 0 el producte escalar, las componentes dels vectors han de ser iguals però una de signe contrari, es a dir si v=(2,3) i w=(-3,2),son perpendiculars. Molt important!

v.w = 2.(-3)+3.2=0

Exercicis :

p.159 ex.4)a) i b)

p.159 ex 5)a) i b)

2-Operacions amb vectors

2.1-Suma i resta (p.160)

Dos vectors es poden sumar de dos formes o sumant les coordenades de cada vector (analiticament) o gràficament.

Si tenemos r=(3,2) i s=(-2,5) la suma r+s =(3+(-2), 2+5)= (1,7) este mètode s’anomena analìtic.

El mètode gràfic pot ser pel mètode del paralelogram com hem vist al vídeo o per un altre mètode on posem un vector i després seguit posem l’altre.

Per poder sumar és bona idea posar l’origen del vector en el punt (0,0) així es més fàcil.

Dos vector són equipolents si tenen el mateix mòdul, components i sentit, pero poden estar en diferents llocs del espai (el seu origen és diferent).

Resultado de imagen de vectores equipolentes Aquest vectors no són iguals, són equipolents.

Es adir, la suma per paral.legram tindrà aquesta forma

Resultado de imagen de suma paralelogramo de vectores

La suma por el otro mètode del triangulo

Resultado de imagen de suma paralelogramo de vectores

EXERCICIS

p.160 ex.7 a) i b)

p.160 ex.8 a)

La resta es fa igual que la suma:

$\vec u = (-2, 5)$

$\vec v = (3, -1)$

$\vec u - \vec v = (-2-3, 5-(-1))=(-5,6)$

Métode del triángle

Representación gráfica del método del triángulo resta

Para restar dos vectors $\vec u$ y $\vec v$ es trian com representants dos vectores tals que el extrem d’ un coincideix amb l’ origen del altre vector però ara l’oposat (-v)

Métode del paralelogram

Representación gráfica del método del paralelogramo resta

DIA 2

2.2.Multiplicació d’un vector per un nombre.(p.161)

Com veiem en el vídeo la multiplicació és pot ver analíticament i gràficament.

EXERCICIS

p.161 ex 10 a)

3-Equacions d’una recta

Hem estudiat els vectors per poder estudiar ara la recta, com ja sabeu la recta és infinita no té principi ni fí, sempre podem posar, sobre ella, un vector perque ens orienti de la inclinació que té, aquest vector que cadascun pot tria un diferent, aquest vector s’anomena vector director.

Vector director de la recta representacion grafica

Com faries per trobar aquest vector director?, molt fàcil se agafan dos punts i és va la resta, així tenim les components del vector.

Si la recta té dos punts A=(1,2) i un altre punt B(2,5), el vector director serà AB=(1-2,2-5)=(-1,-3) aquest és un vector director, pot a veure molts més vectors, en comptes de posar AB que implica saber que comença en A i acaba en B, podem posar v=(-1,-3) que serà un vector equipolent que es pot posar en seu origen on vulguis.

Ara que ja saps que sobre una recta pots escriure un vector podem començar a escriure l’equació de la recta.

Hi ha moltes formes d’escriure l’equació de la recta i hem d’ apendre totes les formes amb el seu nom, anem a començar:

3.1.Equació vectorial de la recta

Aquí tenim la recta r i he posat un vector de nom v i dos punts P i X. Observa que hi ha dos vectors de color verd OP i OX.

PX serà:

És decir que varies vegades el vector v, ens dona PX. K es un nombre real qualsevol (enter, decimal, etc).

Equació vectorial

No t’has d’apendre la teoria, però sí aquesta fórmula final.

Et vaig a posar un exemple i veures que es molt fàcil.

a)Una recta passa per el punt A(−1, 3) i té un vector director = (2,5). Escriu la seva equació vectorial.

aquesta és la resposta:

No es té que resoldre.

En el llibre posa t en compte de k (p. 162), pero k és la lletra més usual.

Altre exemple:

b)Escriu l’equació vectorial de la recta que passa pels punts A(1, 2) y B(−2, 5).

, és el vector director

equació vectorial.

Anem a un altre equació:

3.2.Equació paramétrica de la recta (p.163)

A partir de la vectorial s’obté la paramètrica

S’iguala cada coordenada i ja està.

aquesta és l’equació paramètrica

Exemple. Una recta passa pel punt A(−1, 3) i té un vector director = (2,5). Escriu sus ecuacions paramétriques.

Exemple.Escriu les equacions paramétriques de la recta que passa pels punts A(1, 2) y B(−2, 5).

Com pots veure es molt senzill.

DIA 3

3.3.Equació continua (p.164)

Ara partint de l’equació paramètrica aillarem K i igualarem les dos k,ja tenim l’equació continua.

Equació continua de la recta

Si mirem aquesta equació veiem que té x i y però en el denominador apareix les coordenades d’un punt i en el denominador el vector director, per tant per fer l’equació continua no cal escriure primer la paramètrica sino voleu.

Exemple. Una recta passa pel punt A(−1, 3) i té un vector director = (2,5). Escriu l’equació continua.

Exemple.Escriu l’ equació continua de la recta que passa pels punts A(1, 2) i B(−2, 5).

3.3.Equació punt pendent (p.165)

Partim de l’equació continua la recta, treiem els denominadors multiplicant en creu i aillem les y:

Aquesta divisió

s’anomena pendent.

S’ obtiene:

Exemple. Calcular l’equació de la recta que passan pels punts A(−2, −3) i B(4,2).

Recordant el tema de la trigonometria on la tangent era catet oposat dividit per catet contigu, tenim

dibujó

Observa que tg x és el mateix de v₂dividint per v₁.

Per tant la tag x= m = pendent de la recta (Inclinació de la recta)

Exemple.Calcular l’equación de la recta que passa per A(−2, −3) i té una inclinación de 45°.

3.4.Equació cartesiana, general o explícita (p.166)

Partim de l’equació continua la recta

Treiem denominadors:

Igualem a 0:

Fem un canvi a aquesta equació:

I obtenim l’equació cartesiana

Exemple. Escriu l’equació genral de la recta que passa pels punts A(1, 2) i

B(−2, 5).

Multiplica en creu: 3x-3=-3y+6

Iguala a 0: 3x+3y-9=0

Si vols pots simplificar:

Exemple. Calcular l’equació de la recta que passa per A (1,5) i té com pendent m = −2.

Partim de l’equació punt-pendent

3.6.Equació explícita

Si aillem la y de l’equació general de la recta tenim l’ equació explícita.

On -A/B és -(-v₂/v₁) es adir v₂/v_{1, per tant el pendent}

b es l’ordenada en l’origen, el punt que talla la recta amb l’eix y. Les seves coordenades són (0,b).

El coeficient(nombre que hi ha davant de la x) de la x és el pendient, m.

Exemple.Calcular l’equación en forma explícita de la recta que passa per A (1,5) i té com pendent m=−2.

Partim de l’equació punt pendent

Aillem la y, i tenim l’equació explcíta , que es la més usual a matemàtiques per expressar l’equació d’una recta.

EXERCICIS

Fes els exercicis següents en la teva llibreta, si no el saps fer o tens dubtes pots veure els vídeos. Intenta no copiar, sino fer-los.

Exercici 1

Troba de totes les formes possibles l’equació de la recta que passa pels punts A(1,0) i B(4,2).

Intenta fer-ho tu sol, però aquí tens la resposta.

DIA 4

Exercici 2

Escriu l’equació vectorial de la recta que passa pel punt A(3,5) i v(-3,1)

Exercici 3

Calcula l’equació vectorial de la recta que passa pels punts A(8,-7) i B(-2,1)

Exercici 4

El punt A(3,-2) i B(8,5) pertany a recta (x,y)= (1,0)+ t.(-1,1)?

Exercici 5

Calcula l’equacio paramètrica de la recta que passa pel punt A(3,5) i v=(-2,1)

Exercici 6

Si x=2t i y=-1-5t, troba un punt i un vector director. Escriu també l’equació vectorial.

Exercici 7

Calcula l’equació continua de la recta que passa pels punts A(0,-1) i B(-2,3).

Exercici 8

Donada l’equació (x-1)/4 = y+4 , troba un punt i el vector director. Escriu l’equació paramètrica.

exercici 9

Troba l’equació general de la recta que passa per A(3,2) i de vector director v(4,-1)

Exercici 10

Troba un punt i un vector director 7x-2y+8=0

exercici 11

Escriu l’equació explícita de la recta que passa pels punts A(-1,-7) i B(3,5)

Exercici 12

Obté l’equació vectorial de la recta y=5x-4

DIA 5

4-POSICIÓ RELATIVA DE DUES RECTES EN EL PLA P.168

Dues rectes en el pla poden ser paral.leles, coincidents i secants.

Posición relativa de dos rectas en el plano - Matemáticas IES

Per saber com són entre sí aquestes rectes es poden fer de tres formes:

criteri 1-Vectors directors si v=(a,b) i r=(c,d)

a/c = b/d si són iguals poden ser paral.leles o iguals. I si aquesta divisió és diferent serà secants.

Com pots veure no hi ha diferència entre parl.leles i coincidents, però això és millor fer servir els criteris 2 i 3, que veiem a continuació

criteri 2-Es compara els pendents de les rectes, es a dir m=b_/a amb el pendent m’=d/c

Criteri 3-Es compara els coeficientes A, B i C de les equacions generals

	Ecuación explícita-criteri 2r ≡ y = mx +n s ≡ y = m’x +n’	Ecuación general-citeri 3r ≡ Ax +By +C =0 r ≡ Ax +By +C =0
r y s secantes	m ≠ m’
r y s paralelas	m = m’n ≠ n’
r y s coincidentes	m = m’n = n’

Exemple 1

Estudia les posicions relatives dels següents rectes: (aplicant el tercer criteri)

Només he dividit per saber la resposte.

Exemple 2

Troba la posició relativa d’aquestes rectes

Hem aplicat el criteri 2, tenen la mateiza pendent 2, peró com la n es diferent (en aquest cas +1 i -5) no són coincidents.

Exercici 13

Són paral.leles les rectes r: 2x-y=4 i s: passa pel punts (1,-2) i (3,2)?

Exercici 14

Quina és la posició relativa entre les rectes r: y=x-2 i s: x-3y=2 ?

Resposta:

Exemple 15

Com són aquestes rectes entre si? si les rectes són y=2x-1 i (x-3)/2 =(y+1)/3.

Hi ha varies formes de fer-ho aquí en el vídeo explican una forma.

Realitza el següents test per saber com son entre si la posició relativa de dues rectes

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/recta/posiciones-relativas-de-dos-rectas-4.html

DIA 6

6-RECTES PARAL.LELES I PERPENDICULAR A UNA RECTA DONADA P.169

Per fer una recta paral.lela O PERPENDICULAR a una donada es necessita saber un punt de la nova recta i un vector director

Exemple

Troba una recta paral.lela a 2x-3y+4=0 i que passa pel punt (2,1).

a)Primera forma: si són paral.leles les dues rectes seran de la forma 2x-3y+C=0 sabem que passa pel punt (2,1), substituim 2.2-3.1 +C=o i trobem que C és- 1,

l’equació serà 2x-3y-1=0 (veure el vídeo)

b)Segona forma:el vector director de la recta és (-B,A) per tant (3,2), si sé un punt i un vector director escric la equació continua (x-2)/3 = (y-1)/2 i ja està.

Troba un recta perpendicular a la anterior .

c)El vector director és (3,2) i un vector perpendicular es cambiar l’ordre i un de signe pot ser (2,-3) o bé (-2,3), ara es pot escriure la continua com abans

(x-2)/2 =(y-1)/-3

O bé la general A=V₂ B=-V₁ (es té que apendre de memoria) -3x-2y+C=0

com pasa per (2,1) -3.2-2.1+C=0 c=8 per tant -3x-2y+8=0 , también 3x+2y-8=0

Si tens dubtes mira el vídeo

Exercici 16

Troba la recta paral.lela a 2x-3y=5 i que passa per (2,-1) de forma explícita

Mirar el resultat final no es té perque fer així.

Exercici 17

Donada la recta r:2x-3y+2=0,a)troba la recta s paral.lela a r que passa por A(4,1) b) troba la recta t perpendicular a r que passa pel punt (0,-2).

Resposta: 2x-3y-5=0 i 3x+2y+4=0 (no val posar només la resposta)

DIA 7

P.168 EJERCICI 33

Calcula la pendent d’una recta perpendicular a la recta y=2x+3

Primer hem de trobar el vector director mirant el pendent (m=V₂/V₁) en aquest cas m=2 per tant dos nombre que donin 2 al dividir 2/1 per tant v=(1,2)

Per obtenir el vector perpendicular he de canviar de lloc una coordenada i de signe la coordenada que vulgui. w=(-2,1) o bé (2,-1)

El pendent serà 1/-2

Conclusió si abans el pendente era 2 ara és -1/2 , per tant es posa la inversa del nombre i es cambia el signe

Els pendents m i -1/m són de dos rectes inverses

Exemple 18

Calcula el pendent d’una recta perpendicular a y= 3x+4

Exemple 19

Calcula el pendent d’una recta perpendicular a y=(4/5).x +6

Exemple 20

Ex. 34 pàgina 34-Determina el valor de A perquè les rectes r : y=Ax+6

i s: x/2 = (y-2)/4 siguin paral.les.

Exemple 21

Troba l’equació de la recta de pendent -4 i que passa pel punt (-2,-3)

Es pot fer de moltes formes.

DIA 8

Exercici 22

Troba l’equació de la recta que passa per dos punts A(-2,1) i B(3,9).Escriu la forma explícita.

Es pot fer de moltes formes

Exercici 23

Escriu l’equació explícita de la recta que passa per (2,5) i és paral.lela a y= 2x+4

Recorda que hi ha moltes formes de fer-ho

Exercici 24

Troba la recta perpendiculara a 5x+2y+3=0 que passa pel punt (1,-3).

Recorda que: Per obtenir el vector perpendicular he de canviar de lloc una coordenada i de signe la coordenada que vulgui.

Es pot fer de moltes formes.

Els vectors i les rectes

Deixa un comentari Cancel·la les respostes