Tot allò que faria Leonhard Euler…

Fractals interactius d’Andrew Hoyes

fmontard | 15 setembre 2012

Els fractals són uns objectes matemàtics que es caracteritzen perquè si fem un zoom molt potent en aquell objecte veiem el mateix que véiem al començament. Aquesta no és la definició matemàtica estricta sinó que és una definició per tal que ens entenguem, ELs fractals són figures geomètriques que tenen una dimensió no entera, és a dir, no són obejctes de dimensió 1, ni 2, ni 3… sinó que poden tenir dimensió 3/4 per exemple.

En aquesta pàgina podeu trobar imatges de figures fractals captades des del Google Earth: http://paulbourke.net/fractals/googleearth/

Històricament hi ha hagut construccions fractals famoses. El conjunt de Mandelbrot potser és el més conegut. el fractal de Sierpinski, el de Kock… en el següent link tenia una pàgina interactiva feta per Andrew Hoyes on amb el ratolí pots anar construint les diferents successions d’un conjunt fractal: http://andrew-hoyer.com/andrewhoyer/experiments/fractals/

Jugueu-hi!

Comentaris: Sense Comentaris »
Categories: 1r Batxillerat, 2n Batxillerat, 3r ESO, 4rt ESO, Mates
Etiquetes: Mates 2n batx, Mates 3r ESO, Mates 4rt ESO, Video
Comentaris RSS
Retroenllaç

La música dels nombres irracionals

fmontard | 15 setembre 2012

Michael John Blake és un pianista que ha creat sintonies musicals a partir de les xifres decimals d’alguns nombres irracionals (no totes, evidentment!). Ha assignat notes musicals a cadascuna de les xifres i li han sortit coses com les següents:

La simfonia del nombre Pi:

[youtube]http://www.youtube.com/watch?v=wK7tq7L0N8E[/youtube]

La següent ha quedat molt bé, fixeu-vos com sona el nombre TAU, que és 2*PI:

[youtube]http://www.youtube.com/watch?v=3174T-3-59Q[/youtube]]

I no podia faltar el nombre d’or:

[youtube]http://www.youtube.com/watch?v=W_Ob-X6DMI4[/youtube]

I ja posats en aquesta selecció musical, la cantant anglesa Kate Bush va fer una cançó dedicada al nombre PI. De fet explica la història d’un home que tenia una obsessió malaltisa amb els decimals d’aquest nombre. La cançó estava inclosa en el seu disc “Aerial” i durant la cançó anomena algunes xifres decimals… però jo he trobat errades…

[youtube]http://www.youtube.com/watch?v=j3TsRNm7SKE[/youtube]

Comentaris: Sense Comentaris »
Categories: 1r Batxillerat, 2n Batxillerat, 3r ESO, 4rt ESO, Mates
Etiquetes: Mates 1r Batx, Mates 2n batx, Mates 3r ESO, Mates 4rt ESO, Video
Comentaris RSS
Retroenllaç

Curiositat matemàtica dels nostres cognoms

fmontard | 4 setembre 2012

Suposo que vostès sabran que en les nostres contrades és habitual tenir 2 cognoms. Si s’ho para a pensar vostè mateix deu ser un cas. Això no és gaire habitual al món (que tingui dos cognoms, no que vostè sigui un cas).

Doncs bé, ara comença el joc matemàtic. Intentem allargar una mica més els nostres cognoms. Com? Afegim després del nostre segon cognom el segon cognom del nostre pare i a continuació el segon cognom de la nostra mare. Després afegim el tercer cognom del nostre pare (que serà el segon del nostre padrí) i el tercer cognom de la nostra mare. I així successivament… D’aquesta manera pot fer un nom tan rocambolesc com li vingui de gust. I si afegeix la preposició “de” entre cognoms semblarà algun marquès o comte d’aquells que surten a l’ABC.

El cas és que una forma molt més senzilla d’anar posant cognoms als que ja tenim seria la següent: posem en les posicions senars els cognoms del progenitor del mateix sexe que nosaltres. Evidentment per fer aquest procés cal tenir clar el sexe de cadascú. És a dir, si som homes posem en les posicions imparelles els cognoms dels nostres pares i si som dona posem els de les nostres mares en posició senar. Com quedaria, aleshores, la nostra successió de cognoms? Assignarem un 0 a cada cognom que sigui el primer de la persona que sigui del nostre mateix sexe i un 1 al primer cognom de cada avantpassat nostre que sigui de sexe diferent. D’aquesta manera ens queda una successió de 0 i 1 agrupats de 2 en 2. És a dir de la fomra 2^k. Anem a veure què passa:

Si k=1: en aquest cas són els nostres cognoms que corresponen als primers cognoms dels nostres pares. Tant si som homes com dones la seqüència ens quedarà 01.
Si k=2: tenim els cognoms dels nostres padrins. Els de posició imparella són els del nostre pare, per tant 0 i 1 i els de posició parella els de la nostra mare. Com el primer cognom de la nostre mare ve d’un padrí patern serà un 1 i com el segon cognom prové de la seua mare serà un 0. Així la successió queda 0110.
Si k=3: fent el mateix raonament que l’apartat anterior la successió seria ara: 01101001
Si k=4: 0110100110010110
Si k=5: 01101001100101101001011001101001
Si k=6: 011010011001011010010110011010011001011001101001011010011001011

I així anar fent. A veure si ens adonem d’algunes cosetes. La més fàcil de veure és que la primera meitat de cada fila és igual a la fila anterior. I el que també podem observar és que la primera meitat de cada fila és igual als elements de posició imparell de cada fila, aquesta costa una mica més de fixar-s’hi.

Doncs aquesta successió que es forma fent aquest joc dels cognoms és una successió famosa en matemàtiques. Meravellós! És la successió coneguda com successió de Thue-Morse. L’any 1906 Axl Thue va necessitar “inventar” aquesta successió per un treball de combinatòria lingüística i el 1921 Marston Morse l’utilitzà en una branca ben diferent, per resoldre uns problemes de geometria diferencial. I el que passa amb les sucessions és que apareixen quan menys t’ho esperes, aquesta és la gràcia (i la bellesa) de les matemàtiques. Per exemple, el jugador d’escacs Max Euwe la va aplicar per l’estudi de partides d’escacs.

A més, si prenem aquesta successió (infinita) com un nombre binari amb una part entera d’una sola xifra i el passem a base 10 obtenim el 0,41245403364… que és irracional (evidentment) i trascendent. Aquest nombre s’anomena constant de Thue-Morse

Guau! Si us ha agradat el tema aquest de Thue-Morse podeu consultar:

L’Enciclopèdia de les successions.
Pàgina de la Viquipèdia dedicada a aquesta successió.
El web de Paco Santos, un crack de matemàtic espanyol qui crec que va tenir la idea de relacionar aquesta successió amb els cognoms.
La constant de Thue-Morse a Mathsworld.

Comentaris: Sense Comentaris »
Categories: 2n Batxillerat, Mates
Etiquetes: Mates 2n batx
Comentaris RSS
Retroenllaç

Premi Abel 2012: Endre Szemerédi

fmontard | 23 març 2012

L’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres (quants equips de futbol noruecs coneix vostè?) ha decidit atorgar el Premi Abel 2012 a Endre Szemerédi “Per les seves contribucions fonamentals a la matemàtica discreta i la ciència de la computació teòrica, i en el reconeixement del profund i durador impacte d’aquestes contribucions en l’additiva teoria dels nombres i la teoria ergòdica.“ Això és el que diu la nota oficial. I vostè dirà… sí, sí, això deu ser molt interessant i molt difícil… però què volen dir totes aquestes coses tan fardones per les quals li han donat 800.000 €?

La matemàtica discreta no és la matemàtica que passa desapercebuda. És l’estudi d’estructures com gràfics, seqüències, permutacions de camins, i configuracions geomètriques. La matemàtica d’aquestes estructures és la base teòrica de les ciències de la computació i la teoria de la informació. Per exemple, les xarxes de comunicació, com ara Internet pot ser descrit i analitzat amb les eines de la teoria de grafs, i el disseny d’eficients algoritmes de càlcul (com el Pagerank de Google) es basa fonamentalment en les aportacions de la matemàtica discreta.

La seua aportació més important va ser l’any 1977 quan va enunciar el teorema d’Szemerédi per poder demostrar la conjectura d’Erdos-Turán. Paul Erdös i Paul Turán van conjecturar que qualsevol conjunt d’enters amb densitat positiva hauria de tenir progressions de longitud k per qualsevol valor de k. El teorema d’Szemerédi afirma que si la densitat d’un conjunt infinit d’enters és positiva, aleshores conté progressions aritmètiques arbitràriament llargues.

La demostració d’Szemerédi era purament combinatòria i extremadament complexa i enginyosa. Per això guanyà el 1.000 dólars de premi que Paul Ërdos donava per la resolució de la seua conjectura.

Aquest teorema ha donat molt joc a les matemàtiques dels últims anys. L‘any 2004, Ben Green i Terence Tao van demostrar que els nombres primers (que tenen densitat zero) també tenien la propietat de contenir progressions aritmètiques arbitràriament llargues. Aquest és el famós teorema de Green-Tao i pel qual van guanyar el 2006 la medalla Fields.

Totes aquestes teories englobades dins la branca moderna de la teoria ergòdica té múltiples aplicacions en la teoria de nombres o en els sistemes dinàmics. Sistemes necessaris per conéixer la previsió meteorològica que mirarà vostè quan acabi el telenotícies i que li permetrà saber si aquest cap de setmana podrà anar a fer un arrosset a Cambrils.