Índex
Introducció	Regletes de Napier	Àbac de Napier	Regle de càlcul	Descarregar pdf

Introducció

Han estat molts els matemàtics que s’han preocupat per qüestions de caràcter pràctic i per fer la vida més còmoda als seus contemporanis. I un dels aspectes que més els hi va preocupar va ser facilitar el càlcul. És força coneguda la “pascalina” inventada per Blaise Pascal, amb 19 anys, per facilitar la feina del seu pare comptable. També és conegut que el mateix Leibniz la va perfeccionar.

Però poques eines de càlcul (excepte l’àbac) han sobreviscut al pas del temps com ho ha fet el regle de càlcul, que només va ser vençut per la popularització de la calculadora electrònica fa, aproximadament, uns cinquanta anys. Encara que no va ser directament inventat pel matemàtic escocès John Napier, aquest estri és fill directe dels seus logaritmes, que tant van ajudar a simplificar els càlculs dels navegants i els astrònoms del seu temps.

Elaborant un butlletí meteorològic amb ajuda del regle de càlcul (Font: Was there life before the digital era)

John Napier va ser el “pare” també d’altres instruments interessants: els reglets o “ossos” de Napier, per multiplicar, i que van gaudir també d’una gran popularitat, i un àbac que, no per menys conegut, no deixa de tenir un gran interès, ja que, deixant de banda la seva facilitat d’ús i el seu curiós sistema per multiplicar, ja anticipava l’ús del sistema binari que fan servir els moderns aparells de càlcul electrònics moderns.

Qui va ser John Napier?

L’escocès John Napier va néixer l’any 1550. El seu pare, Archibald Napier, propietari d’importants hisendes, només tenia 16 anys quan va néixer el seu fill John. Quan aquest va complir els 13 anys va entrar a la Universitat de St. Andrews, però, pel que sabem, no va acabar els seus estudis allà sinó que va continuar estudiant pel seu compte viatjant per Europa (es pensa que a París, Itàlia i els Països Baixos). Quan va tornar a Escòcia, al voltant del 1572, va contraure matrimoni i va assumir el govern del seu castell i de les seves possessions a Merchiston. Va tenir un fill, va enviduar i, en un segon matrimoni, va tenir 5 fills i 5 filles més.

Napier es va dedicar a les matemàtiques per afició. De fet, l’obra de la qual estava més orgullós era un llibre teològic amb un títol ben llarg: “Un descobriment pla de la Revelació completa de Sant Joan: posat per escrit en dos tractats: L’un examinant i demostrant la veritable interpretació del mateix: L’altre aplicant el mateix  parafràsicament i històricament al text. Preparat per John Napier; Lord Merchiston jove. A la qual s’afegeixen certs oracles de la Sibila, concordants amb la Revelació i d’altres llocs de l’Escriptura”. Aquest llibre va arribar a atenir 21 edicions a la seva època, però sembla que contenia un important error que li va fer perdre fama: predeia el final del món pels volts del 1700. També va escriure obres de caràcter polític i amb idees per la defensa de la seva illa (com una mena de miralls incendiaris, i d’altres invents que recorden a les metralladores i als tancs).

Pel que sabem, va ser un bon negociant i algunes anècdotes ens poden donar alguna imatge sobre el seu caràcter. Per exemple, s’explica que un veí seu tenia uns coloms que s’alimentaven sovint del gra dels camps d’en Napier. Aquest va pactar amb el seu veí que es podia quedar amb tots els coloms que pogués agafar vius. Diuen que Napier va escampar arreu pèsols mullats en conyac i es va afartar d’enxampar coloms empipadors quan, ben “pipats”, caminaven fent tentines. També s’explica que tenia un criat que li feia cisa, però que no sabia quin era. Per descobrir-lo va reunir al servei i els va dir que tenia un gall negre amb el poder màgic de comunicar-li qui era el que li robava. Després va ordenar als criats que entressin en una habitació amb el gall i acaronar-li. Napier va descobrir al lladre perquè va ser l’únic que no es va atrevir a tocar el gall. Ho va saber perquè abans havia untat les plomes del gall amb sutge i només va haver de buscar al criat que sortís amb les mans netes.

Gall al Museu Nacional d'Escòcia a la sala sobre Napier i que recorda l'anècdota (font Turismo matemático)

Napier va morir l’any 1617. Actualment, hi ha un cràter de la Lluna d’uns 140 km d’amplada que porta el seu nom (a més dels famosos logaritmes neperians!). També hi ha un asteroide, el 5558, amb el seu nom.

Cràter Napier

Obra matemàtica

Ja hem dit que Napier es va dedicar a les matemàtiques en el seu temps d’oci. La seva obra més important va ser Mirifici Logarithmorum canonis descriptio (Descripció de l’admirable regla dels Logaritmes, publicada el 1614).

Del que es va adonar John Napier era de la correspondència entre una progressió geomètrica (per exemple, de les potències d’un nombre) i una d’aritmètica (els seus exponents). Mirem-ho amb les potències de 2.

Potències de 2	1	2	4	8	16	32	etc.
Exponents corresponents	0	1	2	3	4	5	etc.

La multiplicació de dos termes de la 1a sèrie es correspon amb la suma dels dos associats de la segona sèrie i, de la mateixa manera, la divisió amb la resta.

Potències de 2	1	2	4	8	16	32	etc.
Exponents corresponents	0	1	2	3	4	5	etc.

Observa que 4·8 = 32 s’aparella amb 2+3=5 i que 8:4=2 es relaciona amb 3-2=1.

Amb aquest senzill mètode, i amb l’ajut d’unes bones taules de potències i exponents, es transformaven multiplicacions i divisions, operacions especialment complicades a l’època amb nombres grans, en sumes i restes, respectivament. Els navegants i els astrònoms, obligats a fer grans càlculs constantment, van estar profundament agraïts al descobriment d’en Napier.

La trobada amb un altre important matemàtic anglès contemporani,  Henry Briggs, li va permetre millorar les seves idees inicials triant la base 10 com la més idònia pels seus logaritmes. Diuen que quan es van conèixer els dos matemàtics van estar admirant-se, en absolut silenci, durant més d’un quart d’hora! Uns anys més tard William Oughtred va tenir la idea de representar els logaritmes en una mena de regles mòbils que formarien el primer regle de càlcul.

Una altra obra important de Napìer va ser un petit llibre titulat  Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo (Dos llibres de rabdologia o numeració mitjançant varetes) on explicava altres mètodes de càlcul com els reglets i l’àbac que explicarem a a continuació.

Tornar a l’índex

Les regletes de Napier

Petita història

Ja hem comentat que al seu llibre Rabdologiae, publicat al 1617, va proposar alguns mètodes de càlcul nous. Un d’ells van ser el que es coneix com a “Regletes o ossos (a causa del material en què s’acostumaven a fer) de Napier”, i que servien per facilitar la multiplicació i feia innecessària la memorització de les taules de multiplicar. De fet, hem de tenir en compte que en temps de John Napier la capacitat de càlcul de la majoria de la població era molt petita. Això va fer que ràpidament es popularitzessin per tota Europa.

Un disseny actual de les regletes de Napier

Les regletes, com veurem, eren bàsicament unes tires amb les taules de multiplicar que, convenientment alineades, permetien calcular diferents multiplicacions. Per tal de poder realitzar càlculs diversos calia tenir més d’un joc de tires del 0 al 9, per això es venien amb uns prismes quadrats amb una tira per cara. Napier va proposar que les cares oposades de cada reglet sumessin 9.

Pot ser un problema curiós trobar la manera de confegir aquests reglets. Mirem les condicions:

• Tenim 10 reglets amb 4 cares.
• A cada cara hi ha d’haver un nombre diferent i els nombres de les cares oposades n’han de sumar 9.
• Cadascuna de les xifres del 0 al 9 ha d’aparèixer a 4 cares.
• No poden haver-hi dos reglets iguals (amb els mateixos 4 nombres).

En aquest enllaç pots veure la solució que va proposar Napier.

També es van arribar a fer amb cilindres: cadascun contenien totes les regles del 0 al 9.

Com són i en què es basen?

Ja hem dit abans que les regletes són, bàsicament, unes tires amb les taules de multiplicar. La xifra de les desenes i de les unitats estan separades per una línia diagonal. Per multiplicar només cal alinear les tires que corresponents a les xifres del nombre que volem multiplicar i procedir després a sumar. Ho veurem amb més detall una mica més endavant-

El funcionament dels reglets és molt semblant al procediment àrab per realitzar la “multiplicació en reixeta” o “en gelosia”. Aquí tens un exemple de com multiplicar 732×815. Es col·loquen els productes parcials a cada casella i després se sumen seguint les línies diagonals (emportant-nos les que convinguin cada vegada).

Com es fan servir?

Amb les regletes de Napier només podem multiplicar per nombres d’una xifra cada vegada. Si en volem fer una multiplicació per un de més haurem de fer servir el llapis i el paper i sumar convenientment els resultats parcials. A continuació podem veure un exemple:

Practiquem

Pots practicar descarregant-te unes regletes i imprimint-les o amb aplicatius en línia.

• Enllaç per descarregar en pdf.
• Aquest és un simulador de regletes fetes en fusta.
  
• Aquest altre és visualment una mica més clar.
  

Les regletes de Genaille

Més d’un segle més tard, l’enginyer francès Henry Genaille, al 1891 va inventar unes regletes que estalviaven fer la suma i donaven directament els resultats de les multiplicacions. Pots descobrir aquestes regletes en aquest mateix web.

Tornar a l’índex

L’àbac de Napier

Com és l’àbac de Napier?

L’àbac de Napier va ser un instrument de càlcul descrit també a la Rabdologia però que va caure totalment en l’oblit. Els àbacs sobre taulers eren molt freqüents a l’Edat Mitjana i en èpoques posteriors. Hi ha moltes paraules que es fan servir en assumptes econòmics que tenen relació amb aquests taulers: el mot “xec” prové de la paraula angles “checkers” i fins i tot “banc” sembla tenir el seu origen en uns taulers de recompte, que a Alemanya es deien “Rechenbank”. Tamble la paraula “bancarota” té el seu origen a Gènova, quan als canvistes, que feien servir aquests taulers, els hi trencaven si feien fallida.

L’àbac de Napier consisteix, senzillament, en un tauler de 8×8 (ampliable a altres quadrats) i un joc de fitxes per anotar els nombres. Als marges inferior i dret del tauler hi trobem escrits els valors de les primeres potències de 2. 

L’àbac de tauler inventat per Napier és, en quant al seu funcionament, totalment diferent als que es coneixien en aquells temps. És un tauler com el dels escacs però basat en un sistema binari, un segle abans que Leibniz expliqués com calcular amb aquests nombres. De fet en John Napier no esmenta el sistema binari, però el seu àbac treballa amb potències de 2, el que és equivalent.

Qualsevol nombre es pot descompondre d’una sola manera en potències de 2. Per escriure una quantitat, Napier ens fa posar una fitxa a cada casella que es correspongui amb una de les potències que intervenen en la descomposició dels nombres amb que treballem. Per exemple, el 185 es representaria així:

185=128+32+16+8+1

Com es veu, l’escriptura (i lectura) dels nombres requeria una certa agilitat de càlcul mental que no era freqüent en el seu temps. D’aquí, segurament, la manca d’èxit d’aquest aparell de càlcul. Tot i així, superat aquest primer escull, amb ell es poden fer les cinc operacions bàsiques (suma, resta, multiplicació, divisió i arrel quadrada) amb una certa facilitat. Nosaltres només veurem les tres primeres.

Lectura i escriptura de nombres

Amb aquest aplicatiu pots veure exemples aleatoris d’escriptura de nombres a l’àbac de Napier.

Hi ha una operació important a fer amb l’àbac. Com hm vist només pot haver una fitxa per casella. Però sovint, quan calculem, ens trobarem amb 2, 3, 4 o més fitxes. Haurem de fer una “rectificació” del tauler. Si observes les caselles immediatament a l’esquerra ( o immediatament a dalt) valen el doble. Per tant, si a una casella tenim dues fitxes les podem eliminar i agegir una fitxa a l’esquerra (o a dalt). O, dit d’una altra manera, elimnar una fitxa i passar-ne l’altra a l’esquerra o a dalt. I això es fa per a cada grup de dues fitxes. Podem veure un exemple.

Calculem amb l’àbac de Napier

• Sumar (89+52+14)

• Restar (107-54)

• Multiplicar (13×19)

Practiquem amb l’àbac de Napier

Amb aquest aplicatiu pots fer pràctiques de suma, resta i mutliplicació.

Tornar a l’índex

El regle de càlcul

Petita història del regle de càlcul

El regle de càlcul va ser un dels estris de càlcul més utilitzats entre la desaparició dels àbacs i l’aparició de les calculadores electròniques. Fins i tot va “sobreviure” durant el temps de les calculadores mecàniques, ja que aquestes eren molt pesades i el regle hi cabia a una butxaca o una cartera de mà. El feien servir, fonamentalment els enginyers, químics, arquitectes, etc. Per tant, era un estri força especialitzat. De fet, ja veurem que per determinats càlculs no era massa fàcil utilitzar-los.

Pel que sabem el primer regle de càlcul el va fabricar William Oughtred, al 1621 aprofitant els logaritmes que set anys abans havia calculat Napier. Un alumne seu ; Richard Delamain, va fabricar més tard (al 1630) un regle de càlcul circular. Oughtred es va inspirar en un regle logarítmic previ construït per Edmund Gunter al 1620.

El regle de Gunter es feia servir amb un compàs

El que Oughtred va fer, bàsicament, va ser transformar-lo en un regle de doble escala amb una part mòbil i l’altra fixa. El cursor va aparèixer amb els primers regles circulars. A partir d’aquí anem trobant models diferents de regle.

Regles de càlcul circular del 1972 i regle utilitzat a les missions Apol·lo

Si voleu saber m´s dobre la història dels regles de càlcul i la seva evolució teniu aquests dos enllaços:

• A brief history of the slide rule
• The Evolution of a Slide Rule

En què és basa?

El regle de càlcul es basa, com ja hem dit, en el càlcul amb logaritmes de Napier. Explicarem en què consisteix treballant en logaritmes en base 2.

Per exemple: imagina que volem multiplicar 8 · 32. Tots dos nombres són potències de (2³ i 2⁵, respectivament). Per tant, podem multiplicar les dues potències sumant els seus exponents (donat que tenen la mateixa base).

8 · 32 = 2³ · 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸ =256

Napier va pensar que, treballant amb aquests exponents (que ell va anomenar logaritmes), es podien convertir les multiplicacions, operacions d’una relativa complicació, en sumes, clarament més fàcils de resoldre.

• El primer que s’havia de disposar d’una llista de logaritmes. Si observem la llista de potències podrem veure com es cinstrueix la de logaritmes. La base del logaritme és la base de la potència (2 al nostre exemple). El logaritme és l’exponent al que s’ha d’elevar la base per obtenir el nombre concret. Així la primera taula ens genera el que seria una taula de logaritmes clàssica (en aquest cas en base 2).

• Per fer el producte de 8 · 32 busquem els seus logaritmes a la llista. Són 3 i 5.
• Es sumen aquests logaritmes: 3 + 5 = 8.
• Es busca a la mateixa taula d’abans de quin nombre és logaritme 8 i veiem que és 256. Aquest és el producte.

Raonant d’una manera anàloga es pot veure que les divisions es poden transformar en restes de logaritmes, les potències en productes més senzills i les arrels en divisions.

Haureu vist que hem fet una mica de trampa i que a la nostra llista de logaritmes no hi apareixen tots els nombres. Així si volem multiplicar 5 · 27 no hi trobem els seus logaritmes. De fet les llistes de Napier eren completes. Si 5 està entre 2² = 4 i 2³ = 8 l’exponent de 2 (i per tant el log₂ 5) que ens donarà 5 estarà entre 3 i 4, serà un exponent decimal. De fet és 2^2,32192…

La clau del regle de càlcul és fer dos regles (un de mòbil i l’altre no) amb una escala logarítmica i, ja que la multiplicació es resol sumant els logaritmes, amb ell les resoldrem sumant les longituds corresponents.

Escala logarítmica

Com es fa servir el regle de càlcul?

El primer que hem d’aprendre és a llegir les diferents escales del regle de càlcul. Estem acostumats a veure regles de mesura en els que les separacions entre les unitats i les gradacions són regulars. Al regle de càlcul no és així, ja que està basat en escales logarítmiques. Així la graduació de les escales principals de regle (en tenen altres de secundàries per càlculs trigonomètrics, arrels, potències, etc) acostuma anar de l’1 al 10 (que sovint es representa amb un altre 1) i la separació entre l’1 i el 2 és molt més gran que la que hi ha entre el 9 i el 10. Això permet definir amb més detall els decimals. Per exemple entre 1 i 2 podem precisar (en molts regles) fins a la centèssima, en canvi entre el 9 i el 10 només fins a la mitja dècima.

El regle de càlcul consta de tres parts, una fixa i dues de mòbils:

1. El cos del regle (fixa) que conté diverses escales
2. la regleta (mòbil) i que també conté escales
3. El cursor, que ajuda a llegir millor les escales

Si mirem la graduació d’un regle sembla que només es pot calcular amb nombres d’1 a 10 però realment, amb un bon domini del càlcul amb decimals es pot treballar amb qualsevol nombre. Així el 1,35 del regle podrà ser també 13,5 o 135 0 1350, etc. segons ens convingui. L’únic que haurem de fer serà recol·locar les comes convenientment als resultats. Nosaltres només provarem amb nombres d’1 a 10, per poder fer les lectures dels resultats el més directes possibles.

On aconseguir models?

Són moltes les adreces d’internet on es pot aconseguir informació per comprar regles de càlcul i no és tan difícil com sembla tenir algun conegut que en guardi un per algun raconet de casa. Però es més fàcil trobar programes o aplicacions en java que modelitzen els regles de càlcul. Amb un bon buscador obtindràs molts resultats.

 http://www.antiquark.com/sliderule/sim/index.html

A aquesta adreça trobaràs diversos models. Un de petit que pot fer bon servei és el 160-ES-microline.

També pots utilitzzar aquest regle mínim fet amb GeoGebra.

https://www.geogebra.org/m/ftd5ecf3

Com es fa servir?

Només explicarem els procediments per a multiplicar i dividir. En tots dos casos posarem tres exemples: un cas amb enters, un amb decimals,que juguen am l’1 de les escales i un que presenta una situació diferents, que juga amb el 10 de les escales.

• Multiplicació

• Divisió

Practiquem?

Aquíe tens un parell de tests per si vols practicar:

• Multiplicació
• Divisió

Tornar a l’índex