DIA 1

1-NOMBRES COMBINATORIS

Són unas expresiones matemàtiques que s’utilitzan en combinatoria per saber las possibilitats de que passi un succés.

Tenen aquesta forma \displaystyle C_{m}^{n} = \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \frac{m!}{n! (m - n)!}

m i n són dos nombres, sempre m>n , i que vol dir m! ?, s’anomena m factorial a una multiplicació de factors fins arribar a la unitat, es a dir 5!=5.4.3.2.1  ;  3!=3.2.1.

En la teva calculadora trobaras una tecla per factoritzar.

Exercici 1

p.264 ex.10 a) I b)

2-PROPIETATS DEL NOMBRES COMBINATORIS

Totes aquestes propietats es poden demostrar posan numeros.

La combinatoria es pot dividir:

Combinatoria

Hi haura variacions, permutacions i combinacions, primer les estudiarem per separat, cóm davant d’un problema las sabré diferenciar?.

Si quan hem de fer agrupacions i agafo tots els elements i importa l’ordre serà una permutació per exemple:tinc tres nombres 1,2,3 de quantes formes possibles els podré escriure, seria una permutació de tres.

Si quan agrupem no agafo tots els elemnets i importa l’ordre serà una variació, per exemple: tinc tres nombres i vull fer nombres de dos xifres, sera una variació de 3 agafats de 2 en 2.

I quan agrupem no importa l’ordre serà una combinació.

3-VARIACIONS (P.266)

En l’estudi que anem de moment a fer els elements no es repeteixen.

No agafo tots els element, no es repeteixen, si importa l’ordre.

La fòrmula: \textrm{V}_{m}^{n}=m(m-1)(m-2)(m-3)...(m-n+1)

Un exemple:

Exercici 2

Quants nombres diferents de 3 xifres es poden escriure amb 1,2,3,4 i 5.

(Recorda has de fer-te la següents preguntes, agafo tots els element?, es repteixen?, importa l’ordre?.

4-PERMUTACIONS

Agafo tots els element? si, es repteixen? no, importa l’ordre?.si

La seva fórmula: \textup{P}_{n}=n!

Per exemple, tres persones Anna, Jaume i Lucas han guanyat una cursa, de quates maneres possibles han estat els guanyadors.

Sempre hen de fer les preguntes i les respostes són: agafo tots els elements, no hi ha repetició, si importa l’ordre, per tant és una permutació , amplico la fórmula: 3!= 3.2.1 =6 formes.

Exercici 3

p.267 ex.21

5-COMBINACIONS (P.268)

Agafo tots els element? si/no, es repeteixen? no, importa l’ordre?.no

La fórmula:

\textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!(m-n)!}

Important no importa l’ordre.

Exemple: En una classe de 20 alumnes es volen fer grups de 11 persones per jugar un partir de futbol, de quantes formes es poden fer.

Agafo tots els element? no, es repteixen? no, importa l’ordre?.no

Per tant combinacions de 20 sobre 11, C20,11 = (20!)/(11!. (20-11)!)

Exercici 4

p.268 ex.25

6-QUÈ PASSA QUAN ELS ELEMENTS ES PODEN REPETIR?

Totes les fórmules anteriors canviaren:

variacions amb repetició    \textup{VR}^{n}_{m}=m^{n}

permutacions amb repetició \textup{PR}_{n}^{a,b,c,...}=\cfrac{\textup{P}_{n}}{a!\cdot b!\cdot c!\cdot ...} a,bc… són les vegades que es repeteix un element.

 

combinacions amb repetició \textup{CR}=\begin{pmatrix} m+n-1\\ n \end{pmatrix} =\cfrac{(m+n-1)!}{n!(m-1)!}

Exercici 5

Quants nombres de 5 xifres puc escriure amb 1,2 i 3 ?. quant son parells?. Sempre he fer-e les preguntes: Agafo tots els element? , es repeteixen? importa l’ordre? En la segona pregunta heu de pensar que acaba en 2, per tant només dexeu qutre espais per combinar els nombres. Si no ho saps fer aquí tens la resposta.

Exercici 6

Amb le xifres 2,2,2,3,3,3,3,4,4 quants nombres de 9 xifres podré formar?

Sempre he fer-e les preguntes: Agafo tots els element? , es repeteixen? importa l’ordre?

Solució:

Exercici 7

Quants packs de 2 ampolles de vi puc fer si tinc 4 marques de vi?

Sempre hem de fer les tres preguntes:Agafo tots els element? , es repeteixen? importa l’ordre?

Solució:

https://youtu.be/maiJoT-Idzg

Exercici 8

En un tren hi ha passatgers de 3 nacionalitats diferents, si vull fer una enquesta a 5 , de quantes formes poden ser les nacionalitat triades?.

Sempre hem de fer les tres preguntes:Agafo tots els element? , es repeteixen? importa l’ordre?

DIA 2

Exercici 9

p.269 ex.27

Exercici 10

p.269 ex.28

Exercici 11

p.269 ex.29

Exercici 12

p.269 ex.30

Exercici 13

p.269 ex.31

Exercici 14

p.269 ex.32

DIA 3

Repàs

Exercici 15

p.271 ex 51

Exercici 16

p.271 ex 52

Exercici 17

p.271 ex 53

Exercici 18

p.271 ex 54

Exercici 19

p.271 ex 55

Exercici 20

p.271 ex 56

Exercici 21

p.271 ex 57

DIA 4

Exercici 22

p.271 ex 63 A

Exercici 23

p.272 ex 67

Exercici 24

p.272 ex 68

Exercici 25

p.272 ex 69

Exercici 26

p.272 ex 70

Exercici 27

p.272 ex 71

Exercici 28

p.272 ex 72

DIA 5

Exercici 29

p.272 ex 73

Exercici 30

p.272 ex 74

Exercici 31

p.272 ex 75

Exercici 32

p.272 ex 76

Exercici 33

p.272 ex 77

Exercici 34

p.272 ex 78