Tema 11- Funció exponencial i logarítmica

DIA 1

1-FUNCIÓ EXPONENCIAL

y=a^x

Sempre que a sigui positiva i diferent de 1, sino no és exponencial.

El domini seran tots els reals.

El recorregut el sabré al fer el dibuix, si mirem la gràfica de sota, podem veure que Imf=(0, inf), sempre.

És una funció continua.

Punts de tall:

Si x=0  Y=a⁰=1  per tant totes les funcions exponencials tallen l’eix y en el punt (0,1). Una funció exponencial no talla l’eix de les x perquè 0=a^x no té solució( serà una asimptota horitzontal)

Si a>1 serà una funció creixent, si a entre el 0 i el 1 serà una funció decreixent, i si a<0 no és funció exponencial.

Observa que te una asimptota en l’eix horitzontal, no és pot calcular com ho hem fet anteriorment mirant els graus del denominador i numerador, perquè aquí no hi ha, es dedueix a través del dibuix. Podem dir que y=0 és una asimptota horitzontal.

1.1-PROPIETATS

Què passa si el nombre a augmenta?.

Exercici 1

Ves a geogebra https://www.geogebra.org/classic?lang=es

Escriu y=2^x , y=3^x  ,y= 7^x, observa que passa i contesta a les preguntes:

a) són creixents? b)tallen totes en algún punt? c) a mesura que a augmenta es taquen més o es obren més?. Recorda fer foto.

Exercici 2

Ves a geogebra https://www.geogebra.org/classic?lang=es

Escriu: y=(1/2)^x , y=(1/3)^x  ,y= (1/7)^x observa que ara a esta compresa entre el 0 i el 1. Les gràfiques són diferentes, contesta les preguntes:

a) són creixents? b)tallen totes en algún punt? c) a mesura que a augmenta es taquen més o es obren més?. Recorda fer foto.

Ja has tret, espero, la teva propia conclusió ,ara fes l’exercici:

Exercici 3

p.222 ex.1

Exercici 4

p.222 ex. 2 (fes geogebra i veures la resposta fàcilment)

1.2-REPRESENTACIÓ

El domini són tots els reals per tant puc donar qualsevol valor.

1.2-FUNCIONS EXPONENCIALS DEL TIPUS y=a^x+b

Exercici 5

Al sumar un nombre la gràfica es desplaça.Ve a geogrebra i escriu y=2^x i y=2^x +1 y=2^x +3 i contesta cap a on es desplaça la gràfica ?.Foto

https://www.geogebra.org/classic?lang=es

I si li sumo un nombre negatiu?

DIA 2

1.3.FUNCIONS EXPONENCIALS DEL TIPUS y= a^(x+b)

Exercici 6

Dibuixa en geogebra y= y=2^x  , y=2^x-1      y=2^x+1

https://www.geogebra.org/classic?lang=es

Contesta:a) si b>0 la gràfica es trasllada cap a?  b) si b<o la gràfica es trasllada cap a?. Foto.

Es manté el punt de tall amb l’eix vertical?.Tenen asimptota horitzontal?

2-FUNCIONS LOGARITMIQUES DEL TIPUS y= log_ax

La funció logarítmica es l’inversa de l’exponencial.

El nombre a del logaritme és la base.

Per tant y=2^x i y=log₂x son funcions inverses.

Observa que els valor que dono a la x en la funció logarìtmica per obtenir resultats fàcils son potències de la base (2), comfirmem que la funció logaritme i exponencial són inverses.

Són simètriques a una linea imaginaria.

2.1.PROPIETATS DE LA FUNCIÓ LOGARÍTMICA(P.226)

Com ja hem vist una funció exponencial el seu domini són el reals i el seu recorregut (0, inf), ara la inversa serà al revés Dom f=(0,inf) i Im f= R.

-log_a1= 0

-log_a 0= no està en el domini, no existeix

-log_a a = 1

Com les exponencials poden ser creixent i decrecent depen de la base, si mires el dibuix anterior amb a=2 tant la funció exponencial com la logarítmica era creixent. Per tant si a>1 creixent. Si 0<a<1 és decreixent.

Recorda la base no pot ser negativa

Exercici 7

Amb l’ajuda del geogebra https://www.geogebra.org/classic?lang=es , fe ex.16 p.226 . per posar logaritmes de base diferent de 10 o 2 hem de escriure

y=log( <b> , <x> ) és el primer comand.

Exercici 8

Observan les gràfiques anterior podem dir que les funcions anterior són creixents o decreixents?. Si la base és més gran que 1 són? Totes tallen en un punt que és?. Si la base és a>1 i augmenta la funció s’aproxima o s’allunya de l’eix horitzontal? I si 0<x< 1 ?.

DIA 3

3.QUE ES EL NOMBRE e

Per tant la base d’un logaritme pot ser aquest nombre e, perque com has vist és molt últil per datar el temps d’un objecte, …. , log_e se li diu logarítme neperià i s’expressa com ln , cumpleix totes les característiques dels logaritmes. El nom de e es deu a un matemàtic que es deia Euler.

Algunes curisitats del nombre e:

a)S’aplica en biologia per explicar el creixement de les bacteris i virus seguint la fórmula (P_o és la població inicial)

 

Com pot imaginar aquesta fórmula aquest dies de pandemia la han fet servir molt.

b)Per fer la datació d’un fòsil , es mira la quantitat de carboni 14 , seguint la fórmula.N t= quantita de carboni 14 final , N₀= carboni inicial i t= temps trasncorregut

c)Una corda penjant(asembla una paràbola, però si se estudia bé és una expressió exponencial de e), la tela d’una aranya tenen la següent expressió

 

I hi ha moltes més curiositat recorda que el nombre e és:

4-QUE PASSA SI SUMEM NOMBRES A LA FUNCIÓ LOGARÍTMICA (P.228)

4.1- y=log_a x +b

Exercici 8

Amb geogebrahttps://www.geogebra.org/classic?lang=es

Fes les gràfiques y=log₂ x +1 e y=log₂x -1 i contesta (també fes y=log₂ x per comparar). a)Respecte a  y=log₂ x  quan es suma un nombre cap a on va la funció logarítmica? b) I si restes un nombre?.Foto

Conclusió si b>0 es trasllada cap amunt, si b<o es trasllada cap avall.

4.2- y=log_a (x +b)

Exercici 9

Amb geogebrahttps://www.geogebra.org/classic?lang=es

Fes les gràfiques y=log₂ (x +1) e y=log_2 ^(X -1) i contesta (també fes y=log₂ x per comparar). a)Respecte a  y=log₂ x  quan es suma un nombre cap a on va la funció logarítmica? b) I si restes un nombre?.Foto

Observa que les funcions del l’exercici 8 i 9 són diferents degut al parèntesis.

Exercici 10

p.228 ex.24

Pots fer servir geogebra. Observa que el logaritme no té base escrita, recorda perque la base és 10.

Para que serveixen els logaritmes mira aquest vídeo

Després de l’exercici podem deduir que si es suma un nombre positiu es trasllada la gràfica cap a l’esquerra i si el nombre<0 es desplaça cap a la dreta.

Com has observat la funció logaritme inicial talla en el punt (0,1), ara aquest punt de tall ha canviat.

Conclusió: si b>o es trasllada cap a l’esquerra i si b<0 cap a dreta.

5-CALCULAR L’EXPRESSIO ALGREBRAICA D’UNA FUNCIÓ EXPONENCIAL DEL TIPUS y=a^x A PARTIR DE LA GRÀFICA (P.232)

Mira el gràfic

1)Agafa un punt que no sigui (0,1) per exemple (1,2)

2)Has de substituir en y=a^x per tant 2= a¹ com pots veure a=2.

3)La gràfica és de la funció y=2^x

Exercici 11

p.232 ex.40

Exercici 12

p.232 ex 41 Pots fer servir geogebra per confirmar les teves hipòtesis.

DIA 4

Exercici 13

p.233 ex 50.Pots fer servir geogebra per confirmar les teves hipòtesis.

Exercici 14

p.235 ex.64 .Fes l’exercici per geogebra. Foto

Exercici 15

p.235 ex.65