DIA 1

Funció polinòmica de segon grau  y=ax²+bx+c

1.PROPIETATS DE LES PARÀBOLES

Em vist la funció polinòmica de primer grau que se anomena recta lineal o recta afí, ara estudiarem la funció polinómica de segon grau que s’anomena paràbola. La seva expressió és: y=ax²+bx+c 

Le paràboles tenen unes característiques que hem de memoritzar:

1.1.CONTINUITAT

-Són contínues es pot fer el dibuix sense axeicar el llapis del paper.

Funció discontinua   

 

1.2.VÈRTEX

Tenen un vèrtex que és el punt en què la funció passa de ser creixent a decrecient o viceversa. Es a dir tenen un màxim o un mínim.

  

El vèrtex és molt important i s’ha de calcular, com calculem el vèrtex ?

Recorda que una equació de segon grau té aquest aspecte: ax²+bx+c=0  que està relacionada amb la paràbola o funció quadratica. La funció quadràtica és igual y=ax²+bx+c , si donem valor a les x obtenim valor de y i podem fer el dibuix.

Per calcular el vèrtex hem de trobar primer el valor de la x, fem servir la fòrmula:         x=(-b)/(2.a)

Exemple 1

Anem a fer un exemple, quin és vertèx de la funció y=2x²-8x+6 ? primer identifiquem les lletres a=2 b=-8 c=6, per tant apliquem la fórmula:

x=(-b)/(2.a)      x= -(-8)/(2.2)= 2 per tant x=2 si ara substituim en la funció:

y=2.2²-8.2+6 =-6 , per tant el vèrtex és (x,y)=(2,-6)

Mir el vídeo si tens dubtes.

Exercici 1

Troba el vèrtex de la paràbola y=x²+6x+3

Exercici 2

Troba el vèrtex de la paràbola y=-2x²+4x+1

Exercici 3

Troba el vèrtex de la funció f(x)=x²-2x-3

DIA 2

1.3-EIX DE SIMETRIA

És una recta que passa pel vèrtex i és paral.lela a l’eix y que divideix la corba en dues parts simètriques.

És una funció simètrica quan fem el dibuix hem d’ intentar que ho sigui. Ademés com pots veure és una corba.

1.4.FORMA DE LES PARÀBOLES SEGON EL PARÀMETRE A

Si el paràmetro a és positiu la funció està rient, si a es negativa està triste, que vol dir això? mira el dibuix.

Observa que la funció vermella la a és a=1 i està “contenta” en matemàtiques diem que és convexa, la paràbola blava està “triste” la a és a=-1 i es diu que la funció és concava

1.5.PODEN TALLAR ALS EIXOS

1.5.1.l’EIX X(ABSCISSES)

Una paràbola pot tallar a l’eix de les x (abScisses),com pots observar en aquest dibuix talla en el punt x=2 x=4, com es fa? doncs posan y=0 es a dir si  y=ax²+bx+c  tindrem  0=ax²+bx+ c i hem de resoldre l’equació de segon grau.

 

1.62..L’EIX Y (ORDENADES)

Com podem veure en l’exercici anterior talla en y=7. I com es fa?, es posa x=0 en l’equació  y=ax²+bx+c  i trobem la y, es a dir y=0+0+c=c

Exemple 2

Troba el vèrtex i els punts de tall per la paràbola y= x² -6x+5  a=1, b=-6 c=5

El vèrtex serà x=-(-6)/(2.1) =3 substituim en la equació y= 3²-6.3+5 =-4

Vèrtex=(3,-4)

Tall amb l’eix y, donc x=0 per tant y=0+0+5=5 punt (0,5)

Tall amb l’eix x, doncs x² -6x+5=0 hem de fer l’equació de segon grau ( mireu el vídeo) i s’obté com solució x=5 i x=1, per tant els punts són (5,0) i (1,0).

Mireu el vídeo i observa com ho calculen i com ho fan el dibuix de la paràbola.

Exercici 4

Troba els punts de tall amb els eixos si la paràbola té d’equació y=x² -2x-3

Exercici 5

Troba els punts de tall:

a)y=2.x²

b) y=-x²– 3

c)y=3x²– 8x +3

DIA 3

2.TIPUS DE PARÀBOLES

2.1. FUNCIONS DEL TIPUS       y= a.x²

Són les més fàcils no tenen b, ni c.

Totes tenen el vèrtex en el punt (0,0), i tallen els eixos en (0,0)

2.2.FUNCIONS DEL TIPUS   y=ax² +c

Observa la gràfica com el vèrtex puja i baixa sobre l’eix de les y. No se desplaça cap a el costat.

Exercici 6

Fes en la matiexa gràfica y= x² i la paràbola y=x² +3 , observa cap a on va la gràfica, fes-ho amb geogebra i ENVIA una foto (més avall hi ha més geogebra)

Pots anar com el altre dia a geogebra i escriure  l’equació.

2.3.FUNCIONS DEL TIPUS   y=ax² +bx

Ara la gràfica és desplaça el vèrtex respecte a  y=ax²  que es la gràfica més senzille, ara ja no està sobre l’eix de les x. Observa que sempre passa pel punt (0,0).

Exercici 7

Fes en geogebra la funció y= x² +2x , pots fer la gràfica en el mateix gràfic d’abans. Fes una foto. Observa les seves característiques.

2.4.FUNCIONS DEL TIPUS y=ax²+bx+c 

En aquesta funció es mou respesta a la paràbola inicial.Observa aquestes gràfiques

Exercici 8

Inventa una paràbola d’aquest tipus en el geobrebra i fes una foto

DIA 4

Exercici 9

Practica tot en que has après en aquesta aplicació de geobrebra

a)Mou a i observa que passa

b)Deixa fixa a i posa c=0 mou b i observa que passa.

b)Mou totes les lletres i observan que passa

https://www.geogebra.org/m/hPkmqY7c

Envia un foto de la paràbola que volguis.

3.REPRESENTACIÓ D’UNA PARÀBOLA

Es té que seguir un procedimente que és:

1-Trobar el vèrtex i posar aquesta x en la taula

2-Donar a les x dos nombres més que el vèrtex i dos valors menors.

3-Posar 5 punts i trobar les y

4-Representar en un eix de coordenades.

Exercici 9

Representa y=x²– 6x +2 en un full quadriculat

 

Exercici 10

Sigui y=x²– 5x +6 , troba el vèrtex, els punts de tall i la gràfica