Dédalo fue expulsado de Atenas por orgulloso. Éste intentó matar a su sobrino a causa de los logros de este último, como suelen decir, el aprendiz supera al maestro. Pero este, es otro mito.
Cuando lo expulsaron de Atenas lo llevaron a Creta donde reinaba Minos. Ahí se puso al servicio del monarca y en una ocasión de Pasifae, la reina, que por una maldición de Poseidón, señor del mar y hermano de Zeus, se volvió loca de amor por un toro. Como siempre la locura lleva a la pasión, la pasión a la carne y la carne a la vida, así que nació Asterión un ente medio toro, medio humano. Por orden del rey, Dédalo construyó un laberinto para encerrar al monstruo.
Los laberintos desde la antigüedad han estado presentes en todas las civilizaciones, quizás representando el cerebro humano, quizás representando algo religioso…..quién sabe, pero podemos encontrarnos algunos en la actualidad como el de Horta en Barcelona.
Pero, seríamos capaces de salir de un laberinto como Tesseo?
Se puede analizar desde un punto de vista matemático?
Pensemos un laberinto como un conjunto de puntos y aristas. Donde cada camino es una arista y cada rincón, donde se unen dos caminos, un punto. Obtenemos algo llamado grafo, si en un grafo hay una dirección en el camino, lo llamamos, grafo dirigido.
Fue Leonard Euler el precursor de la teoria de grafos. Todo empezó, como creo que empiezan las matemàticas, por un problema llamado los puentes de Kroninsberg.
Pero, volvamos a los laberintos, supongamos un laberinto como el de la izquierda, podríamos representarlo en forma de grafo como la imagen de la derecha.
Por tanto, salir de un laberinto se podría traducir en un lenguaje matemático de la siguiente forma: podríamos encontrar un camino que recorra el grafo desde un punto A a uno X, o al mismo A.
Para contestar a esta pregunta deberíamos saber algunas cosas sobre grafos. Veamos:
Se denomina camino entre dos vértices, a y b, de un grafo a toda sucesión ordenada de vértices y aristas que unan ambos puntos.
A lo largo de un camino se pueden pasar tantas veces como se quiera por un mismo vértice o recorrer más de una vez una misma arista.
Un grafo se dice que es conexo cuando siempre existe al menos un camino entre cualesquiera dos vértices tomados. Un camino se dice que es cerrado cuando el vértice del que se parte es el mismo que el vértice al que se llega, esto es, cuando a = b.
Si a lo largo del camino no se repite ninguna arista, nos encontraremos ante un recorrido. Los recorridos cerrados se denominan circuitos.
Si a lo largo del camino no se pasa más de una vez por cada vértice tendremos un camino simple; un camino simple y cerrado recibe el nombre de ciclo.
Las cuestiones a resolver en este punto son dos: dado un laberinto cualquiera, ¿existe un camino que visite todos las estancias?; y en caso afirmativo, ¿seremos capaces de dar un algoritmo que lo construya de manera efectiva?
La primera pregunta tiene una respuesta afirmativa inmediata pues lo que buscamos es, en términos matemáticos, un recorrido euleriano, es decir, un recorrido que atraviese toda arista del grafo exactamente una vez. En este sentido si llamamos grado de entrada de un vértice al número de aristas que llegan a dicho vértice; y grado de salida de un vértice al número de aristas que salen del mismo, se demuestra el siguiente teorema: “
Las condiciones necesarias y suficientes para que el digrafo posea un circuito euleriano son que sea conexo y que todo vértice posea el mismo grado de entrada que de salida”.
Como todos los vértices de los grafos dirigidos que modelizan los laberintos poseen un número par de aristas incidentes con ellos, la mitad de entrada, y la otra mitad de salida, el anterior teorema se satisface y el camino buscado existe. Ahora bien, lo difícil queda por llegar pues hemos de construir tal camino.
Reflexionemos brevemente sobre la situación en la que nos encontramos: el momento antes de entrar a una estancia o el instante inmediatamente después de haberla dejado, todas ellas —esto es, todos los vértices del grafo— salvo la de partida deben tener un número par de pasadizos que han sido atravesados una vez, de tal forma que el número de aristas recorridas hacia dentro debe ser el mismo que el número de aristas recorridas hacia fuera; consecuentemente, una vez que se ha llegado a una estancia —y no se ha abandonado— el número de pasadizos recorridos una vez hacia dentro excede en una unidad al número de pasadizos atravesados una única vez hacia fuera.
Si, en estas circunstancias, hay un único pasadizo que ha sido usado una única vez, éste debe ser por el que entramos por primera vez en la estancia, pues el resto o han sido recorridos en ambos sentidos o permanecen inexplorados. Por tanto, deberíamos volver por dicho pasadizo si no existiera ninguno inexplorado.
De esta forma, Gaston Tarry propuso la siguiente implementación:
1) Cada vez que nos adentramos por primera vez en un pasadizo, dejaremos dos marcas en la entrada del mismo.
2) Cada vez que lleguemos a una estancia, dejaremos en la salida del pasadizo una marca si dicha estancia ya ha sido visitada o tres marcas si no lo ha sido.
3) Cada vez que salgamos de una estancia hemos de elegir aquellos pasadizos inexplorados (no tienen marcas) o aquellos que sólo han sido recorridos en el sentido de entrada (poseen una marca).
De esta forma los pasadizos por los que nos adentramos por primera vez en una habitación estarán etiquetados (tres marcas) y no podremos volver a pasar por ellos a no ser que el resto de los pasadizos que conduzcan a la estancia posean otras tres marcas.
Podríamos pensar en una propuesta didáctica para alumnos de secundaria. La creación de un laberinto. Dependiendo de la profundidad de los conceptos que podamos trabajar sería conveniente para un curso u otro. Quizás para primero o segundo de la eso, podríamos pedir que crearan un laberinto solamente con un tipo de figura geomètrica, por ejemplo triángulos de diferentes formas o longitudes de base….Quizás para cuarto de la eso, podríamos hacer el diseño del laberinto y la aplicación del algoritmo. El diseño del laberinto vendría acompañado por algo de teoría de grafos.