¡Paren las rotativas! ¡Notición! Todos los mapas planos de nuestro querido planeta Tierra que hayamos podido ver en lo que llevamos de vida, y todos los que podamos contemplar en lo que nos queda por aquí, están mal. ¡Todos!

¿Cómo puede ser que ni uno solo de los mapas planos de la Tierra que han existido, existen y existirán esté bien? ¿Tan malos somos haciendo mapas? No, no va la cosa por ahí. En realidad son las matemáticas las que tienen la culpa. Bueno, más que “culpa” lo que tienen es la explicación de este curioso hecho.

Antes de adentrarnos en la parte matemática, vamos a analizar la situación visualmente. Realizando en Google la búsqueda “mapa terrestre” encontraréis multitud de mapas planos de nuestro planeta. He tomado algunos de los que aparecen en la primera página de resultados y he rodeado Groenlandia en todos ellos:

 Como podéis ver, la forma de Groenlandia y su tamaño relativo al resto de territorios no es el mismo en todos los mapas. Podéis hacer lo mismo con islas, países o continentes: lo más probable es que encontréis diferencias significativas en ellos dependiendo del mapa que estéis consultando.

¿Cómo se construye un mapa terrestre plano? Pues, suponiendo que la Tierra es una esfera (se acerca lo suficiente a ella como para que esta suposición sea adecuada), un mapa plano terrestre se construye mediante una proyección de cada punto de la esfera terrestre en un plano. Y hay muchas formas de proyectar una esfera en un plano: tenemos proyecciones cilíndricas, proyecciones cónicas, proyecciones azimutales, modificaciones o combinaciones de las mismas…

A un mapa plano “perfecto” de la Tierra podríamos pedirle muchas cosas, pero, al menos, debería cumplir que, salvo factores de escala, mantenga las áreas y las distancias y también que conserve los ángulos. Vamos, que las áreas de los territorios en el mapa plano sean proporcionales a las áreas en la esfera (y con la misma proporción), que las distancias entre distintos puntos en el plano sean proporcionales a las de la esfera (también con la misma proporción) y que los ángulos entre distintas rectas en el plano sean los mismos que los ángulos que forman las líneas correspondientes en la esfera.

Las proyecciones más utilizadas para la realización de mapas presentan alguna de estas características, pero fallan en otras. El problema es que es imposible construir un mapa plano de la Tierra que cumpla esos tres requisitos. Y este hecho no es muy difícil de comprobar.

En una esfera podemos dibujar un triángulo de una manera parecida a como lo haríamos en un folio. Nosotros vamos a representar un triángulo muy especial:

Nos situamos en el punto más alto de la esfera (que podríamos llamar polo norte) y bajamos hasta el ecuador de la misma mediante un arco de circunferencia. Volvemos a situarnos en el polo norte, giramos 90º desde el arco dibujado antes y volvemos a bajar al ecuador con otro arco de circunferencia. Y ahora unimos los dos puntos del ecuador mediante otro arco de circunferencia. Nos queda un triángulo esférico que, además, tiene la característica de que sus tres ángulos miden 90º:

Si quisiéramos construir un mapa plano perfecto proyectando esta esfera, dicho triángulo esférico debería convertirse en un triángulo plano, un triángulo de los de toda la vida. Pero, como muchos habréis apreciado ya, eso es imposible, ya que la suma de los ángulos del triángulo esférico es 270º y la suma de los ángulos de un triángulo plano debe ser, obligatoriamente, 180º. Por tanto, no se puede proyectar de manera perfecta una esfera sobre un plano y, en consecuencia, la construcción de un mapa plano perfecto de la Tierra es imposible.

El ejemplo del triángulo esférico nos ha servido para descartar que pueda construirse un mapa plano perfecto de nuestro planeta, pero se puede profundizar algo más en las matemáticas que hay detrás de este hecho. Una proyección que nos diera como resultado un mapa plano perfecto se denomina isometría. Por otra parte, para cada punto de una superficie se puede dar una medida de cómo se curva dicha superficie denominada curvatura de Gauss.

El propio Gauss demostró que la curvatura que lleva su nombre se conserva mediante isometrías. Es decir, si dos superficies son isométricas (esto es, existe una isometría que transforma una en la otra), entonces las curvaturas de Gauss deben ser obligatoriamente iguales. Y se da la circunstancia de que la curvatura de Gauss de un plano es 0 y la de una esfera es 1 entre su radio al cuadrado, por lo que nunca será 0. Curvaturas de Gauss distintas implican, por tanto, que las superficies no son isométricas. Adiós a nuestro mapa perfecto.