COL.LEGI MARY WARD
PROFESSORA: FELI AYLAGAS
1-Instalación
Si no encuentras en el escritotio el programa deberas instalarlo.
Es un programa que te tendrás que bajar de Internet e instalarlo en tu ordenador, sirve para realizar dibujos geométricos .
http://www.geogebra.org
Después de descargar el programa ya puede acceder a él.
2-Abrir el programa
Cuando se abre el programa se ve esta pantalla,donde se puede observar la ventana dfe algebra ,la zona gráfica y abajo esta la zona donde se pondrán las fórmulas.
2.1-La ventana de algebra sirve para ver las ecuaciones de los segmentos, rectas, circunferencias, coordenadas de los puntos etc y los puntos que marcaremos en la zona grafica.
2.2-La zona grafica es la zona donde haremos los dibujos , se puede trabajar con una cuadricula y ejes de coordenadas, o bien quitarlos.
Busca en la barra de herramientas para poder quitar y poner la cuadricula. Usa el ratón para poner/quitar.
2.3-Observación y utilización de los iconos
Observa que existen 9 iconos investiga para que sirven.
Elegir, mover y rotar objetos.
Opciones de punto: nuevo punto, intersección de dos objetos, etc.
Opciones de recta: recta entre dos puntos, segmento entre dos puntos…
Opciones especiales de recta: recta perpendicular, tangente, paralela…
Polígono y polígono regular.
Opciones de circunferencia: compás, semicircunferencia…
Elipse, hipérbola, parábola…
Medidas: ángulos, área, distancias…
Refleja objeto en recta, por punto, en circunferencia…
Opciones varias: insertar texto, imagen, deslizador…
Opciones de visualización
• Observa que si haces clic en la parte inferior de los iconos aparecen otras herramientas. Todas las herramientas están clasificadas según sus funciones, de forma que las puedas encontrar sin dificultad:
Observa que sucede al tocar sobre estos iconos
3-Crea dibujos sencillo
• 1-En primer lugar crea tres puntos en el área gráfica con el icono
•
3.1-Construye un triangulo
Construye un triangulo uniendo los tres puntos anteriores. Busca el icono flecha y mueve los vértices y observa como cambia su forma. Intenta poner nombres a los lados, como en este dibujo.
Cambia los colores de los lados del triangulo, para ello debes ir a propiedades y elegir un color, también puedes elegir un tipo de trazado.
Busca el icono que desplaza la figura y úsalo.
También se puede hacer un triangulo usando el icono para figuras regulares.
Observa que con el icono flecha se puede mover.
3.2-Crea una recta que pasa por dos puntos
Busca el icono de recta, es el tercero, y dibuja una recta que pase por dos puntos, no la borres para seguir trabajando.
3.3-una recta perpendicular a la anterior
Dibuja una recta perpendicular a la anterior, busca el icono correspondiente.
3-4-Construye un cuadrilatero
1) Con las herramientas polígonos, crea cuadriláteros.
Con la herramienta Elige-y-Mueve (primer icono), movemos los vértices, la figura se “transformará” en otros cuadriláteros
Dibuja al menor 5 cuadriláteros diferentes y guarda las figuras-
5-Construcción de una cometa
Ahora que ya sabes manejar Geogebra diseña una cometa. Su contorno deberá tener forma de cuadrilátero.y la debes pintar como esta en la figura con los colores que quieras.Guarda con el nombre cometa.
1. Dibuja el cuadrilátero, mira el dibujo y observa que la primera cometa está formada por cuatro triángulos. Realiza el dibujo usando el icono de polígonos. Si te equivocas en el ultimo icono esta el borrador. Con el primer icono puedes modificar la cometa alargándola o estrechándola.
2. Pinta cada triangulo de un color.
• Aprieta el botón derecho del ratón sobre el dibujo y entra en propiedades del objeto.
• Coge el color que mas te gusta y la opacidad
• Repite en proceso para cada triangulo y ya tendrás tu cometa pintada
• Guarda tu dibujo en una carpeta para enseñarla al profesor.
3-Realiza la otra cometa y píntala como desees, guarda en la carpeta tu nueva cometa.
Observa que esta formado por un triangulo, un hexágono, un pentágono y un triangulo, finalmente. Usa tu imaginación para construirlo.
1-ANGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA con un arco de 180º
Todo ángulo cuyo vértice esté situado en una circunferencia y cuyos lados pasen por los extremos de un diámetro es recto. Vamos ha comprobar si es verdad.
Abre Geogebra
1. Dibuja una circunferencia con la herramienta “Circunferencia dados su centro y uno de sus puntos”.
2. Dibuja un segmento que pase por el centro, traza un diámetro de la circunferencia.
3. Dibuja un punto en la circunferencia.
4. Traza los segmentos que pasan por este nuevo punto y por los extremos del diámetro.
5. Comprueba que el ángulo obtenido es siempre recto, aunque muevas el punto . Para ello utiliza la herramienta “Ángulo” y toca, ordenadamente los tres vértices del ángulo. Observa que siempre sale de 90º.
. Mueve el punto a ver si canvia el valor del ángulo.Dibuja otro ángulo.
¿Puedes afirmar que un ángulo semiinscrito que tenga los vértices sobre el diámetro siempre medirá 90º?…………
El arco siempre será de…………………………
Un ángulo semiinscrito siempre mide la mitad del arco, ¿es verdad?…….
Guarda el archivo en tu carpeta
2-ACTIVIDAD ÁNGULOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA
• Dibuja la siquiente figura, para ello sigue las instrucciones siguientes:
1-Dibuja una circunferencia con centro O, y dos puntos A y B.
2-Dibuja un ángulo central.AOB
Utilizando el icono de segmento.
3-Pon la medida del ángulo central.
4-A partir de este ángulo central, dibuja diferentes ángulos inscritos y busca cuanto miden con el icono anterior
Observa que los dos o tres ángulos tienen el mismo valor.
Porque abarcan el mismo arco, y tienen el mismo ángulo central.
5-Observa que has construido los ángulos sobre el mismo arco. Comprueba que estos ángulos son la mitad del ángulo central.
Es verdad la afirmación ¿Un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central?…………..
Los ángulos inscritos tienen todos el vértice en la circunferencia, y su medida será la mitad del arco central que abarca
https://www.geogebra.org/m/FgHdKqWH#material/pd9tWJPH
3-ÁNGULO SEMIINSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Dibuja una circunferencia y una recta tangente
Seguidamente un punto en la circunferencia y un segmento
Mide el ángulo con el icono de medida de ángulos, el ángulo debe ser interior
Dibuja con el icono segmento los radios de la circunferencia para hacer el ángulo central
Mide el ángulo central
¿Qué relación hay entre el ángulo central y el ángulos semiinscrito?
https://www.geogebra.org/m/FgHdKqWH#material/XGZbzzZS
¿Los ángulos semiinscritos y los inscritos cumplen la misma fórmula?…………
4-ÁNGULO EXTERIOR
Dibuja un ángulo exterior como el dibujo
Utiliza los iconos circunferencia, punto y recta que pasa por dos puntos.
Ahora mide el ángulo exterior
Marca los puntos de intersección de la recta con la circunferencia, el icono esta al desplegar el segundo icono
Dibuja los angulos centrales de los dos arcos que han salido
Ahora mide los ángulos y busca la relación entre estos dos ángulos y el exterior, te doy una pista réstalos y divídelos por dos ¿obtienes el ángulo exterior?
Escribe aquí tus ángulos centrales y la comprobación, que si aplicas la fórmula se obtiene el ángulo exterior.
5-REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS UTILIZANDO EL GEOGEBRA
Debes averiguar los ángulos que no ponen datos y escribir el resultado.
6-ÁNGULOS INTERIORES
Ahora debes realizar un ángulo interior, medir su ángulo y después hacer sus ángulos centraesl, siguiendo los pasos que ya has aprendido.
Ahora has de hacer el otro ángulo central, utilizando el icono de las rectas
Ahora el punto intersección de la recta con la circunferencia y mide el ángulo
Busca una relación entre el ángulo interior y sus ángulos centrales.
¿Se cumple en tu caso esta fórmula?. Escribe aquí las operaciones y haz un bibujo aproximado
7-CLASIFICA LOS ÁNGULOS
CALCULA LOS ÁNGULOS
1-Dibuja un triángulo rectángulo, uno obtuso y otro acutángulo.
Mide sus ángulos . Calcula la suma de todos los ángulos.
Escribe quí los cálculos
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
2-Geogebra también puede calcular la suma de los ángulos interiores, deja solo un triángulo y escribe en la parte inferior de geogebra:
“suma de ángulos=” +(1ºángulo*2º ángulo+3ºángulo) , debes escribir en 1º,2º y 3º ángulo, la letra que figura en tu geogebra, suelen ser letras griegas
Por ejemplo: “suma de ángulos=”+(α+β+γ).
¿Te sale correcto?
3-Mueve los vértices con este icono observa como siempre la suma de los ángulos interiores es 180º.
4-¿Podemos afirmar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre son 180º?……..
5-Dibuja dos cuadriláteros y mide los ángulos.Uso este icono
6-¿Cuánto mide la suma de todos los ángulos?
Rectángulo:
Cuadrilátero:
7-Deja sólo un polígono y escribe en la parte inferior:
“Suma de los cinco ángulos = ” + (α + β + γ + δ + ε) ¿qué valor has obtenido?………
8-¿Podemos decir que siempre la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º?……………….
9-Dibuja ahora polígonos regulares (todos los ángulos miden igual) de3,4, 5, y 6 lados.
Se utiliza en icono de polígonos regulares, se ponen dos puntos y saldrá un cuadro donde nos pedirá el número de lados.
10-Mide los ángulos con el icono , observa como los ángulos miden igual en cada polígono.
En el triángulo miden ……, en el cuadrado………., en el pentágono……y en el hexágono……..
11-Calcula la suma de todos los ángulos interiores:
Triángulo…….
Cuadrado……
Pentágono…..
Hexágono……
¿Los ángulos interiores depende del número de lados?……………….
¿Todos los polígonos con igual número de lados la suma de los ángulos interiores será la misma?.
12-Puedes dibujar a partir de un vértices diferentes segmentos quedando los polígonos divididos de la siguiente forma:
El cuadrado (o un cuadrilátero) tiene 2 triángulos, como la suma de los ángulos interiores e de 180º, podemos decir que la suma de los ángulos interiores será: 180ºx2=
El pentágono tiene 3 triángulos: 180ºx3=
El hexágono tiene………………:180ºx…=
¿Coinciden estos valores con los que anteriormente has calculado?…
Hemos de deducir una fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono, ya sabemos que está relacionado con 180º y con los lados, busca en internet la solución o dedúcela tu.
La fórmula es:
13-Vamos a medir en un polígono regular el ángulo central, elegimos el hexágono regular (icono plígonos regulares)y medimos el ángulo central
Primero hacemos todas las diagonales del hexágono.
Marcamos el punto donde se cortan las diagonales, que será el centro del hexágono. En el segundo icono encontraremos el icono intersección entre dos objetos.
Mido el ángulo central. que será igual para todos los triángulos obtenidos.
El valor del ángulo central es…….
¿Todos los ángulos centrales miden igual?…..
¿Se puede obtener su valor de dividir 360º entre 6 ?…
Si está última afirmación es cierta, ¿en el pentágono regular el ángulo central se obtendrá de dividir 360º entre 5?………..
Dibuja el pentágono regular y calcula su ángulo central
El proceso será:
• Dibuja un polígono regular de 5 lados
• Dibuja dos rectas perpendiculares (mediatriz)
• Con el primer icono busca el punto de corte
• Mide el ángulo central que te aparece
•
El valor es………………..(redondea)
¿Qué valor se obtiene al dividir 360 entre 5?………………….
El ángulo central de un polígono regular es igual a dividir 360 entre el número de lados, ¿es verdad?……
Escribe la fórmula para calcular el ángulo central de un polígono regular es:
Dibuja un octágono regular y calcula el ángulo central y el ángulo interior
Ángulo central:
Ängulo interior:
Puedes hacer dos octágonos o uno.
Para hacer el ángulo central:
• Dibuja las diagonales
• Marca el punto central con el icono intersecció
• Con el icono ángulo busca el valor del ángulo central.
Angulo central ¿se obtiene de dividir 360 entre 8?……..
Angulo interior;¿se obtiene de restar dos al número de lados y multiplicar por 180º, y cuando tengamos la suma de todos los ángulos interiores, dividir por 8?………………..
Realiza aquí los cálculos
1-MEDIANAS DE UN TRIANGULO.BARICENTRO
1. Dibuja un triangulo
2. Dibuja las medianas, son segmentos que van desde el punto medio de cada lado hasta el vértice opuesto.
3. Con el icono encontraras el punto medio de cada lado.(Mirar segundo icono)
4-Trazar los segmentos
Estos segmentos se llaman—————————–
5-El punto donde se cortan las tres medianas se llama……………………
Utilizar el icono intersección de objetos para marcarlo(esta en el segundo icono y hay que apretar las dos rectas para que aparezca. Para que no se mueva el baricentro hay que tocar de dos en dos las rectas para obtener un punto único donde se cortan las medianas.
guarda el archivo
6-El baricentro divide a la mediana en dos partes, pero si midas bien no es la mitad, vamos a medir estos dos segmentos con el icono que se encuentro en el séptimo icono.Toca el baricentro y el extremo del segmento y obtendras el valor de estos segmentos
Observa atentamente los números y veras que un segmento es el doble que el otro.
Podemos decir que el baricentro divide a las medianas en dos partes, donde un segmento es el ……………..que el otro.
7-Mueve los vértices del triángulo , observa ¿está el baricentro siempre dentro del triángulo?……………………..
8-Define que es la mediana
2-Alturas de un triangulo.Ortocentro.
1-Dibuja un triangulo
2-Dibuja las alturas. Para dibujar las alturas tienes que hacer rectas perpendiculares a los lados que pasen por los vértices, utiliza en icono de rectas perpendiculares
Hay que tocar el vértice y el lado para obtener la altura.
3-Busca el punto intersección de las alturas. . Hay que tocar las rectas de dos en dos, para obtener un único punto
4-El punto donde se cortan las alturas se llama………………….
5-Mueve los vértices del triangulo ¿Está el ortocentro siempre dentro del triangulo?…………….
6-¿Dónde está en un triangulo obtusángulo?……………………………..
7–¿Dónde está en un triangulo rectángulo?……………………………….
8–¿Dónde está en un triangulo acutángulo?………………………………
Para responder estas preguntas haz diferentes triángulos
Guarda el archivo
9-Define que son las alturas de un triángulo:
3-MEDIATRIZ DE UN TRIANGULO.CIRCUNCENTRO
1-Dibuja un triangulo
2-Traza las mediatrices .Son rectas perpendiculares a los lados.
3-Busca el punto intersección de las mediatrices. . Hay que tocar las rectas de dos en dos, para obtener un único punto
4-El punto donde se cortan las mediatrices se llama…………………………
5 -Mueve los vértices del triangulo ¿Está el circumcentro siempre dentro del triangulo?…………….
6-¿Dónde está en un triangulo obtusángulo?……………………………..
7–¿Dónde está en un triangulo rectángulo?……………………………….
8–¿Dónde está en un triangulo acutángulo?………………………………
Para responder estas preguntas construye diferente triángulos
9-Este punto tiene la característica que es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices.
Aquí podéis ver un dibujo hecho con compás.
Con ayuda del icono dibuja la circunferencia de centro el circuncentro y que pase por los 3 puntos.
Puedes mover los vértices y obtendrás circuncentros en diferentes lugares, dentro, fuera y en el triangulo.
Guarda el dibujo.
Define que es una mediatriu, indica para que crees que se utiliza.
4-BISECTRIZ DE UN TRIANGULO.INCENTRO
1-Dibuja un triangulo
3-Dibuja las bisectrices de cada ángulo. ,Para dibujarlas has de clicar sobre los tres vértices .La bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales.
4-Como siempre busca el punto intersección.
5-Mueve los vértices , El incentro ¿siempre está dentro del triangulo?…….
6-El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triangulo.
Para dibujar la circunferencia sigue los siguientes pasos:
-Dibuja una recta perpendicular al lado que pase por el incentro
-Hacer una circunferencia que pase por el incentro y por el punto de intersección de la perpendicular con el lado.
Define que es la bisectriz:
5-Ejercicios con puntos notables
5.1-Dibuja el circuncentro de un triangulo de vértices A(-2,1) B(3,2) C(2,6).Dibuja la circunferencia que pasa por los vértices.Guarda el dibujo
5.2.Dibuja las alturas de un triangulo de vértices A(-2,2) B(3,4) C(2,5)
1-TRASLACIONES
1-Dibuja un polígono parecido al del dibujo con el icono
2-Dibuja un vector
3-Traslada cada punto del polígono según el vector que has elegido, ,toca cada punto y seguidamente el vector así apareceran nuevos puntos que debes unir
Utiliza el icono de segmento para obtener el nuevo dibujo.
Guarda el dibujo
¿El dibujo obtenido es igual?…………….
¿Qué hemos hecho a la figura?………………………………..
2-GIROS
1-Dibuja un polígono
2-Dibuja un punto que será el centro del giro.
3-Usa la herramienta rota objeto en torno a punto, el ángulo indicado
Aparece un cuadro que debemos poner ángulo y aceptar.
Aparece un deslizador de ángulos
si se mueve el deslizador se puede variar el ángulo por ejemplo 90º.
Tocar el icono , seguido del punto y el polígono , debe salir un cuadro de dialogo que ponemos el ángulo de 90 y después aplicar.
El polígono a girado noventa grados.Puedes mover el deslizador y probar otras medidas.
Si ponemos 180º y volvemos a realizar la operación obtendremos otra traslación.
¿Es lo mismo trasladar un objeto que girar?…….
3-SIMETRIA AXIAL
Dibuja una recta que será el eje de simetría y un polígono.
Usa la herramienta refleja objeto en recta , para que el programa dibuje la figura simétrica debes poner el icono hacer clic sobre el polígono y después sobre el eje de simetría.
Hacer clic
Guarda el dibujo
¿Es lo mismo la traslación que la simetría axial?—————-
4-ICONOS CON SIMETRIAS Y TRASLACIONES
Vamos a construir esta figura
1-Dibuja un triangulo equilátero, con el icono de polígono regular.
2-Dibuja el eje de simetria que pase por la base
3- Usa la herramienta refleja objeto en recta , para que el programa dibuje la figura simétrica debes poner el icono hacer clic sobre el polígono y después sobre el eje de simetría.
Se obtiene un rombo
4-Con el icono poligono, dibuja encima un rombo, para poderlo girar 120º
5- Usa la herramienta rota objeto en torno a punto, el ángulo indicado . En el deslizador hay que poner 120º
El centro del giro es el vértice del rombo, girar en dirección horaria de 120º
6-Repetir la operación haciendo clic en el segundo rombo, este será el aspecto del dibujo.
Si quieres que sea de color hay que ir a propiedades, elegir color y opacidad y tendremos la figura coloreada.
Guarda el dibujo.
Debes realizar un mosaico de hexágonos , primero has de hacer el hexágono regular con el icono de polígonos regulares( es recomendable tener la cuadrícula y dibujar bien
recto el hexágono).
Seguidamente dibujar con el icono de segmento un lado del hexágono (por ejemplo el vertical) y realizar una simetría axial (buscar el icono de simetría axial y tocar el segmento seguido del polígono).
Repetir el proceso en diferentes lados
1-Dibuja una recta tangente a una circunferencia
• Hacer la circunferencia
• Dibujar radio
• Dibujar una recta perpendicular al radio
¿Una recta tangente toca a la circunferencia en cuantos puntos?
¿Siempre una recta tangente es perpendicular al radio?
2-Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior
• Circunferencia pequeña
• Punto exterior
• Unir punto exterior con centro de la circunferencia
• Buscar punto medio de este segmento
• Dibujar circunferencia grande.
• Propiedades cambiar aspecto
• Buscar puntos de intersección entre las circunferencias
• Dibujar semirrectas que pasen por estos puntos y el punto exterior
• Estas rectas son las tangentes desde un punto exterior
¿Cuántas tangentes se pueden hacer desde un punto exterior?
¿Estas tangentes con el radio forman un ángulo de 90º
?
• Dibujar el radio desde el centro a uno de los puntos intersección
• Diujar un punto el la tangente
• Medir con el icono adecuado el ángulo
•
•
3-CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO r DADO:
Los centros de las soluciones han de equidistar de la recta s y del punto P; por esto, se traza la paralela a la recta s a la distancia r y la circunferencia de centro P y radio r; los puntos de intersección de ambas, O1 y O2 son los centros de las soluciones, cuyos puntos de tangencia con s son T1 y T2. (Fig. 8).
• El radio será 3
• Dibujar circunferencia
• Dibujar el radio con el icono segmento
• Diujar una recta perpendicular al radio que sea tangente a la circunferencia
• Dibujar recta paralela que pase por el centro
• Dibujo un punto arriba de la circunferencia y construyo una circunferencia de centro este punto y de radio 3.
• Marcar la intersección entre la recta paralela y la cnueva circunferencia
• A partir de este punto trazar la nueva circunferencia
•
•
¿Las dos circunferencias son tangentes a la recta?
¿Las dos circunferencias se cortan en el punto marcado?
1-Antes que nada, haz clic derecho sobre la zona gráfica y activa la Cuadrícula.
2-Dibuja un triángulo rectángulo, comprueba el ángulo con
3-Construye un cuadrado sobre cada lado del triángulo, con el icono de polígonos regulares
4-Calcula las áreas de cada cuadrado con el icono
5-¿Es verdad que el área del cuadrado que está sobre la hipotenusa
Es igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados?……..
6-El área del cuadrado es…………………………….
7-hipotenusa2 = cateto2+ cateto2
Las rectas son funciones matemáticas y se representan por equaciones de primer grado, se pueden escribir de muchas formas pero la mas usual es escribir y=a.x +b.
La variable independiente es la x y la y la variable dependiente
El valor de a es la pendiente e indica la inclinación de la recta, puede ser positiva o negativa.
El valor de b se llama ordenada en el origen y es el punto donde la recta corta el eje vertical (ordenadas).
Las rectas se llaman lineal si no tiene b, es decir pasa por el punto (0,0) y afin si tiene b y por tanto corta el eje de las y.
1-RECTA LINEAL
Una recta LINEALS tiene la forma y=ax, la letra a se llama pendiente e indica la inclinación de la recta. Dibuja diferentes rectas, en la entrada de abajo del geogebra.
Escribe y=2x ; y=x i y=-2x
Utiliza las propiedades para pintar las rectas de diferentes colores. Clica sobre la recta y aparecerá un desplegable, clica sobre propiedades y clica sobre color, también puedes cambiar el grosor de las rectas.
¿Qué valor tiene en este caso b?……
¿Todas las rectas pasan por un mismo punto?….
¿Todas son crecientes?………¿Porqué crees que hay una recta decreciente?….
¿Si la pendiente aumenta, se acerca o se aleja del eje vertical?……..
2-RECTA AFIN
Una recta AFÍN tiene la forma y=a.x+b, la letra a se llama pendiente e indica la inclinación de la recta, la letra b es la coordenada en el origen, es decir en punto donde corta el eje de las y.
1-Dibuja la recta y=2x+1. Introduce abajo la ecuación y se dibujará la gráfica
¿En qué punto corta el eje de las ordenadas?………….
¿En qué punto corta el eje de las abcisas?………….
¿Mirando el dibujo puedo saber el valor de b?….
2-Si variamos la pendiente la recta variará de inclinación, para ello vamos a colocar un deslizador que tomaran valores desde -3 a 5.
En el recuadro de nombre ponemos a, el intervalo entre -5 y 5.El deslizador se puede poner vertical o horizontal. Escribe en la parte de abajo y=ax+1, y varia el deslizador cuando toma valores positivos la recta es ……………, cuando toma valores negativos es …………..
Guarda el archivo
Fijate que siempre la recta corta al eje de ordenadas en el punto ………
Si a=0 ¿cómo es la recta?…………………………………Haz el dibujo para contestar.
2-Dibuja una recta y=2x+1 y crea como antes un deslizador que llamaras b, escribe abajo y=2x+b, varia este deslizador y observa que sucede.
¿Varia la inclinación?……… Las rectas como són entre si………………..
Podemos decir que dos rectas con la misma pendiente son……………. Y si la pendiente es diferente…………………..
3-Indica si las siguientes rectas son entre si secantes o paralelas.
a)y=x-1 y=2x-1
b)y=2x y=2x-1
c)Y=2x y=-2x
3-SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.1-Con geogebra se pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Escribe en la zona de entradas las ecuaciones x+y=2 y después 2x-y=1, observa como aparecen dos rectas secantes.
Observa que las rectas se cortan en un punto, que se puede hallar buscando el icono de punto de intersección de dos objetos y tocando las rectas.
En la zona de la derecha (zona algebraica) aparecerá el valor del punto A, en este caso A=……………….Esta es una forma rápida de resolver sistemas gráficamente.
Siempre que las rectas sean secantes el sistema tendrá solución única, como en este caso.
3.2-Resuelve gráficamente:
a) x+y=5 x-y=1
b)2x+y=2 4x+2y=4
c)x-y=3 2x-2y=4
4-ANGULOS ENTRE RECTAS
Dibuja las rectas paralelas: y=x+1; y=x+3
Seguidamente una recta decreciente que corte a las dos y=-2x+3
Observa que los ángulos son iguales dos a dos.
Para medir los otros ángulos has de marcar los puntos A y B,con el icono correspondiente, y por último el C (que será el punto donde se cortan las dos rectas, busca el icono intersección y toca las dos rectas aparecerá el punto C) y después ya puedes medir el ángulo.
Has de repetir la operación y marcar los puntos D y E, y el punto F que será la intersección de las dos rectas, seguidamente puedes medir el ángulo.
Observa que los dos ángulos que han salido ahora son iguales
Puedes escribir aquí todos los ángulos
Completa este dibujo con los ángulos que corresponde
5-RECTAS VERTICALES Y HORIZONTALES
Si escribimos y=3 ¿Cómo es esta recta?…………….
Si escribo x=4 ¿Cómo es esta recta?…………………
Haz un dibujo aquí
Hoy vas a estudiar las parábolas y=ax2+bx +c ,las funciones cuadráticas están relacionadas con las ecuaciones de segundo grado.
No todas las ecuaciones de segundo grado son iguales, hay ecuaciones completas (tienen a,b y c) en cambio otras son ecuaciones incompletas, les falta o b o c o las dos.
Vamos a escribir en primer lugar la mas sencilla b=0 c=0
1.Dibuja la parábola donde a=1 y=x2. Escribe la ecuación en la parte inferior.
Observa que el vértice está en el punto ……………….
Se simétrica respecto al eje…..
2-Suma un número positivo a la función anterior, y=x2+1, y=x2+2. ¿Qué sucede?……………………., ¿hacia donde se desplaza?………..,
Escribe los vértices (Escribe también la ecuación)
¿Qué pasa si sumas un numero negativo?…………….
Escribe un ejemplo…………. Y haz un dibujo aproximado.
Como conclusión si sumamos a la función inicial un número se desplaza hacia……………………pero si restamos ira hacia…………………, pero el vértice siempre está sobre el eje de las……………………………..
3-Dibuja la función y=x2, ahora suma una letra y=x2+x , y=x2+2x, ahora c=0
¿qué pasa ahora?………………………………
Observa que el vértice de la función ahora se desplaza hacia la ………………
Recuerda que el vértice se obtiene: , en el ejercicio anterior cuando y=x2 el vértice siempre está en x=0, en cambio ahora varia y se desplaza a la izquierda.
Si a la parábola inicial le restamos x ¿se desplaza la parábola hacia la derecha?………………………., realiza un ejemplo en el geogebra.
Como conclusión si a la parábola y=x2 le añadimos un número con x la función se desplaza hacia…………………….pero si le restamos un número con x la función se desplaza………………………
3-Escribe la ecuación y=x2 y con el primer icono de desplazamiento, mueve la gráfica hacia arriba y hacia abajo observa a la izquierda de la pantalla como la ecuación de la gráfica varia.
4-Tambien se puede variar el valor que hay delante de la ecuación de segundo grado, la a,primero probamos con una a positiva, después negativa, observa que unas parábolas tienen forma de U y otras de U invertido.Puedes probar con y=2×2, y=4×2
¿Qué sucede cuando a crece el valor de a?
5-Prova con valores a negativos:
¿Qué le pasa ahora a la gráfica?……………
Escribe una conclusión……………………………..
6-Las gráficas de las parábolas nos dan mucha información, su forma U;U invertida, donde está el vértice, y también las soluciones de la resolución de la ecuación de segundo grado.
A través de la gráfica se puede calcular las soluciones de la ecuación de segundo grado. Escribe y=x2-4x+4 y observa que la parábola toca el eje de las x, en el punto x=2, resuelve la ecuación
¿ES x=2 una solución doble de la ecuación.?………………..
Como es la raíz de cero, sale una solución repetida.
¿Cuando y=0 solo toca la función en un punto?…………..¿cuál?
7.-Escribe y=x2-5x+6en el geobebra, resuelve la ecuación
¿La función enx1=3 y x2=2. Corta el eje? ¿qué observas?……………………………
Efectivamente, las soluciones son los puntos donde la parábola corta el eje de las abscisas o eje de las x.
8-Mirando la gráfica ¿cuales son las soluciones de la ecuación –x2+7x-10=0?
9-A veces no son puntos exactos, pero con el programa geogebra se pueden calcular, dibuja la gráfica y=x2-3x+1 y con el icono intersección de dos objetos se puede encontrar el valor.
Observa que a la izquierda de la pantalla aparecen las coordenadas de las soluciones x=0,38 i x=2,62, se puede comprobar si es verdad resolviendo la ecuación.
10-¿Qué pasa si la ecuación de segundo grado no tiene solución?, comprueba si x2+x+3 tiene solución, después haz el dibujo.
Observa que ahora no corta el eje horizontal.
11-Por tanto según los puntos de corte con el eje de las x, podemos decir que una ecuación de segundo grado tiene 1, 2 o ninguna solución. ¿Es cierto?…..
12-La parábola también corta al eje de las y. Cuando y=x2 hemos observado que solo pasa por el punto (0,0) y todas las que son y=ax2 se comportan igual. Comprueba con el geogebra.
Cuando se añade un numero si que corta y=x2+1, y=x2+3
Ahora cuando x=0 corta la primera función en y=……….y en la segunda y=
Por tanto el valor del punto que corta el eje de las y, depende de c , será (0,c).en qué punto corta el eje de las ordenadas la parábola y=x2-x-2?.
Efectivamente en el punto (0,-2).
13-Si tengo una parábola y sé los puntos de corte con el eje de las x, es decir las soluciones ¿se puede escribir la ecuación?. Mira esta gráfica:
¿Cuáles son las soluciones?……………….
Si quiere escribir la ecuación basta realizar el producto
(x-solución).(x-solución)=0.
Escribe la ecuación………….
Escribe esta ecuación en el geogebra y comprueba que pasa por x=2 y x=-2.
1-Son funciones discontinuas que tienen una forma determinada,
dibuja y=2/x no tienen ni máximo ni mínimo.
Son funciones simétricas .
Se pueden dibujar unas rectas verticales y horizontales, que se llaman asíntotas, por donde la función no pasa pero se aproxima.
En la grafica de arriba estas rectas imaginarias coinciden con los ejes tienen asíntotas vertical en x=0 y horizontal y=0.
Cambia el número a negativo y a otros valores o observa como varia la función.
Haz un dibujo aproximado y escribe la ecuación que te has inventado.
2-El denominador puede ser variar y=2/(x-1). Observa como la asíntota vertical se desplaza a x=1, esto te puede hacer pensar que el valor de la asíntota vertical esta relacionado con el valor que anula el denominador,
¿Si el denominador varia, por ejemplo a y=2/(x-4) aparece la asíntota en x=4.?………………….
Comprueba con el geogebra.
¿Dónde esta la asíntota vertical si la ecuación es y= 1/(x-1)?………….
Si en el denominador es más complicado, si ponemos una ecuación de segundo grado, <¡aparecerán dos asíntotas?…………………………………….., dibuja y=2/(x2-12x+6)
Observa que ya no es una hipérbola porque aparece la función dividida en tres trozos, peo si que hay dos rectas verticales imaginarias en x=…….y x=………
Ya hemos estudiado como al variar el denominador varian las asíntotas……… cuando el numerador es un número no hemos notado que la hiperbola se haya desplazado hacia arriba o hacia abajo. Vamos a ver que pasa si pongo una ecuación de primer grado en el numerador.
3-Otras ecuaciones hiperbólicas son aquellas que la asintota horitzontal se desplaza debido a que existe un polinomio en el numerador.Dibuja la función y=x/(x-1)
Observa que ahora pasa por el punto (0,0) hay una asintota vertical x=1, que era dde esperar, y una asintota horizontal que ya no es el eje de las x, sino que se ha movido hacia arriba ahora está en x=…….
Practica diferentes ejemplos y predice como será la gráfica antes de hacerla
y=2x/(x-1) asintota horitzontal…………….
y= -3x/(x-1) asintota horitzontal…………….
1-Las funciones de tercer grado no tienen ninguna forma determinada són muy variables prueba: y=x3 haz el dibujo aproximado
Y=x3+x2
y = x3 + 2×2 –x+2
Observa que son continuas, como todas las polinómicas, y que pueden tener o no máximos y mínimos.
2-Las ecuaciones de cuarto grado son de forma variadas, prueba y=x4 +x y una bicuadrada y=x4-2×2 +1
Son funciones(continuas/discontinuas)………………………
-Suelen tener máximos y mínimos
La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, siempre será positiva o nula .
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
1-Escribe en geogebra .y=abs(x),
Es continua.
No es una curva
Siempre es positiva
Si observas la grafica anterior parece como si fueran dos rectas una decreciente y otra creciente que pasan por el (0,0), esto nos hace pensar que se puede romper estas gráficas en dos trozos, un trozo para los valores negativos de x y otro para los positivos, es decir:
Cuando una función se expresa así se dice que es una función a trozos.
Observa que sucede cuanto se le suma o resta números a la función
y=abs(x-1);
¿Qué sucede?…….
y= abs (x+4)
¿Qué sucede?…….
¿Se ha desplazado la función manteniendo la forma?…………………..
2-¿Tendrá la misma forma de V una función de valor absoluto cuadrática?……………..Diibuja la función y=abs(x2 +3x-4) y comprueba su forma
¿tiene valores negativos?………
¿De que letra tiene forma?………………
Resuelve la ecuación de segundo grado
¿Estos puntos aparecen en la gráfica?……………………
¿Te recuerda a una parábola donde los valores negativos se han subido?…..
Deibuja y=abs (x2) y comparala con y=x2. Az aquí los dos dibujos.
Dibuja la función y=sen x y la función y=cos x. Observa que son funciones que se parecen
¿son continuas?
¿son periodicas?
¿tienen máximos y mínimos?
Si dibujas y=tan x, observaras que ya no se parecen a las anteriores porque es discontinua.
¿también es periódica.?
Las funciones trigonométricas sirve para explicar ondas físicas como las del sonido.
Estas ondas se pueden sumar
Escribe f(x)=2*sin(x)
Ahora has de crear dos nuevas funciones con en deslizador. Introduzcamos en el cajón de entrada f(x-a) : Aparece una alerta con la sugerencia para crear un deslizador. Le damos al botón crear deslizadores.
Ahora hacemos lo mismo con f(x+a)
Obtenemos dos ondas que se moverán en direcciones opuestas .Si sumamos las ondas tendremos puntos con interferencia constructiva y destructiva
introduciremos la función sumaondas(x)=g(x)+h(x) .
Le damos un grosor más grande para que destaque y animamos el deslizador para ver el resultado.
Varia el deslizador y obtendrás diferentes ondas.
Dibuja la función
Se escribe:Función [x2+1 ,-3,0] y se obtiene un trozo de la función, se escribe seguidamente Función [x+1 ,0,3]
Esta función está escrita a trozos, pero esta en particular es continua
Esta función es continua pero se pueden realizar diferentes funciones que no sean continuas.
Otro ejemplo
Ahora la función es discontinua
Las funciones a trozos pueden tener muchas formas y ser continuas o discontinuas
1-dibujar planos en 3D paralelos a los ejes
x=a, y=b y z=c
1-Pon Vista 3D
2-Pon tres deslizadores con el segundo icono de la izquierda.
Repite esta operación para obtener el deslizador b y c
3-Vamos a dibujar tres planos sobre los ejes x, y, z.
Cada plano se pintará de un color, recuerda que debes ir a propiedades y elegir el color y la opacidad.
Debes escribir en la entrada: x=a
Después la tecla intro. El cursor debe antes tocar el dibujo 3D
Cambiar a color rojo
4-Repetir la operación escribiendo abajo y= b.Cambiar el color a verde.
5.Repetir la operación escribiendo abajo z=c. Asegúrate poner el cursor en la gráfica 3D Cambiar el color a naranja
6-Mueve los deslizadores, observa que sucede. Gira el dibujo y observa como se cortan los planos en el espacio.
Estos planos pasan por los ejer de coordenadas tridimensionales.
2- Dibujar planos que no tienen porque ser paralelos a los ejes
Como ya sabes para dibujar una recta has de escribir una función o bien de la forma y=ax+b o bien ax+by+c=0 (que se obtiene de igualar la primera ecuación a cero).
Los planos también tienen que venir dados por una formula si son sencillos x=a, y=b y z=c; cuando son mas complicados ax+by+cz= d
Como hay 4 letras hay que crear 4 deslizadores: a, b, c, y d.
2-Escribe en la entrada a*x+b*y+c*z=d
Aparece un plano inclinado, gira el dibujo y lo veras.
Si juegas con los deslizadores tomará diferentes inclinaciones
3-Vamos a dibujar un plano paralelo, para ello dibuja un punto A encima del eje vertical
4-Con el icono de planos paralelos, dibuja otro plano paralelo al primero que pase por A. Toca con el cursor el plano y después el punto.Pintalo de otro color.
5-Gira la figura para verlo mejor. Mueve los deslizadores y observa como cambia el plano inicial, pero siempre le acompaña el otro plano paralelo.
POLIEDROS REGULARES
TRABAJAR EN 3D
Dibuja con el programa Geogebra los siguientes poliedros regulares:
1-Cubo
Dibuja un cubo utilizando la gráfica •D, de lado 2 unidades
Busca el icono, y haz el desarrollo del cubo
Cambia el color de los cuadrados, mueve el deslizador y observa que ocurre
Observa que esta formado por seis cuadrados, cuenta los vértices y las aristas, y comprueba si cumple la fórmula de Euler:
Vértices=
Caras=
Aristas=
Fórmula de Euler:
C+V= A+2 (caras más vértices es igual a aristas más 2)
Calcula el volumen del cubo.V= arista3 (recuerda que el lado mide 2 cm), por tanto el volumen será……………………………….
Busca el icono de volumen y comprueba si da el mismo resultado.
2- Tetraedro
Construye un tetraedro de lado 2 unidades, como es una figura regular todos los triángulos deben medir sus lados el mismo valor, usa el icono de polígono reglar.
Observa y contesta
el numero de caras……,
vertices…….
aristas…..
¿Cumple la fórmula de Euler?
Calcula el volumen con el icono correspondiente
Observa que el resultado es de 1,14 u3
Para calcular el volumen no es tan sencillo como en un cubo porque la altura del tetraedro no coincide con el lado.
Vamos a trazar la altura del tetraedro para ello dibujaremos una recta
perpendicular al plano de la base y que pase por la cúspide
Dibuja el punto intersección de la recta con el plano inferior.
Gira el dibujo, aparece un punto en el dibujo 3D y en el dibujo 2D
Dibuja un segmento que vaya desde este punto a la cúspide, ¿cuánto mide?…………. este segmento que será la altura del tetraedro.
Usa el icono de la medida de segmentos para saber la medida
En mi caso DE=1,74
Como ya sabes el volumen del tetraedro es el área de la base por la altura dividido por tres.Se calcula el área de la base
Aplicando Pitágoras:……..
La altura será ……….
Área del triángulo=………………….. cm2 , si haces el área con geogebra sale 1,94cm2
Volumen del tetraedro=
Si hacemos así el volumen nos dará 1,14cm3, como se ve en la figura.
Queda comprobada la fórmula del volumen de un tetraedro .
Haz el desarrollo
Si quieres puedes cambiar el color del tetraedro
3-Dodecaedro
Escribir dos puntos A y B
En la entrada debes elegir Dodecaedro de dos puntos
Escribir en la entrada Dodecaedro[A,B]
Tenemos ya el dodecaedro
Se puede cambiar de color en propiedades
¿Cuántas caras tiene un dodecaedro?…………….
Hacer el desarrollo, busca el icono en 3D
Mueve el deslizador y experimenta
4-Icosaedro
Es un polígono regular formado por triángulos, cuantos lados tiene…..
Dibuja como antes dos puntos A y B.
Escribe en la entrada icosaedro [A,B]
Haz el desarrollo
Comprueba se hay 20 caras
5.Octaedro
Realiza el mismo proceso de antes, pero escribe Octoedro[A,B].¿Cuántas caras tiene?….
Haz el desarrollo
Observa por cuantos triángulos está formado el octaedro
Rellena el cuadro
Las caras son El número de caras Núm.
aristas Núm.
vértices Fórmula de Euler
Cubo
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
Los prismas pueden ser
Dibuja con el geogebra estos ejemplos
Para hacer el prisma oblicuo empieza como el prisma recto y elige un punto a una cierta altura y dibuja un vector ( que es el que marcará la inclinación del prisma)
Utizando el icono de vectores equipolentes (es decir vectores con la misma inclinación y longitud) se obtienen los nuevos puntos
Unir los puntos
Dibujar los lados del poliedro y quitar las flechas(se puede hacer en la columna izquierda donde esta anotado los valores de todos los puntos, desactivando los vectores)
Existen muchos prismas
Se llaman así por el número de lados de la base
Dibujalos con el geogebra
1-El primer prisma seria el cubo, que es un poliedro regular de base cuadrada
2-Prisma de base quadrada de 2m i altura 4 cm
3-Prisma de base triangular, el triangle equilàter de 3cm de costat i 4 cm d¡altura.
4-Prisma de base rectangular
5-prisma de base pentagonal
6-prisma de base hexagonal
Una pirámide geométrica es un poliedro limitado por una base, que es un polígono ; y por caras que son triángulos coincidentes en un punto denominado cúspide o vértice.
Las pirámides se pueden clasificar según el número de lados que tiene su base:
Pirámide triangular: la base es un triángulo (3 lados).
Pirámide cuadrangular: la base es un cuadrilátero (4 lados).
Pirámide pentagonal: la base es un pentágono (5 lados).
Pirámide hexagonal: la base es un hexágono (6 lados).
Dibuja estas piràmides y su desarrollo (pintalas de diferentes colores) con el geogebra por ejemplo:
Desarrollo
Dibuja por separado estos cuerpos redondos
Haz cada dibujo por separado y cambia los colores
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