Anàlisi Completa d’una Maleta d’Equipatge
La figura mostra un carret d’equipatge d’aeroport i el seu diagrama de cos lliure quan es manté en equilibri en una posició inclinada. Si el carret suporta un pes $W = 222.41 \, \text{N}$, l’angle d’inclinació és $\alpha = 30^\circ$, i les dimensions geomètriques són $a = 0.2032 \, \text{m}$, $b = 0.4064 \, \text{m}$ i $d = 1.2192 \, \text{m}$, quina força vertical $F$ ha d’exercir l’usuari per mantenir el sistema en repòs?
1. Definició del Sistema
Dades de l’enunciat:
2. Equacions de l’Equilibri Estàtic
Considerem el punt $C$ (eix de la roda) com el centre de moments. Definim $\theta$ com l’angle de la força $F$ respecte a l’horitzontal.
$$\sum M_C = 0 \implies F \cdot d \cos(\theta – \alpha) – W(b \cos \alpha – a \sin \alpha) = 0$$
$$R_x = F \cos \theta \quad ; \quad R_y = W – F \sin \theta$$
$$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \quad ; \quad \phi = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right)$$
3. Càlcul Segons l’Angle d’Aplicació ($\theta$)
Cas A: Força Vertical ($\theta = 90^\circ$)
Configuració estàndard. La força de l’usuari és $F = 52.73 \, \text{N}$.
La reacció a la roda és vertical: $R = 222.41 – 52.73 = \mathbf{169.68 \, \text{N}}$.
Cas B: Força Perpendicular ($\theta = 120^\circ$)
L’usuari estira perpendicularment al mànec. La força baixa a 45.66 N.
La reacció total puja a 184.29 N amb un angle de $82.89^\circ$.
Cas C: Força a 45° ($\theta = 45^\circ$)
Aplicant la fórmula de moments: $F_{45} = \frac{55.67}{1.2192 \cdot \cos(15^\circ)} = \mathbf{47.28 \, \text{N}}$.
- $R_x = 47.28 \cdot \cos 45^\circ = 33.43 \, \text{N}$
- $R_y = 222.41 – 33.43 = 188.98 \, \text{N}$
- Resultant: $R = 191.92 \, \text{N}$ a $79.97^\circ$
4. Resum Comparatiu
| Configuració | Angle $\theta$ | Força $F$ (N) | Reacció $R$ (N) | Angle $R$ ($\phi$) |
|---|---|---|---|---|
| Vertical | $90^\circ$ | $52.73$ | $169.68$ | $90.00^\circ$ |
| Perpendicular | $120^\circ$ | $45.66$ | $184.29$ | $82.89^\circ$ |
| Obliqua | $45^\circ$ | $47.28$ | $191.92$ | $79.97^\circ$ |
Conclusió: El cas de $45^\circ$ és el que genera una càrrega més gran sobre l’eix de la roda ($191.92 \, \text{N}$), mentre que el cas perpendicular és el més ergonòmic per a l’usuari.