Problema de Tensió en una Corda
Resolució completa amb el Mètode de Components i el Teorema de Lami
1. Enunciat del problema
Un automòbil amb un pes de 3500 N és descarregat d’un vaixell mitjançant un cable. Per centrar l’automòbil sobre la seva posició final, una corda està lligada al cable en el punt A.
- L’angle entre el cable i la vertical és de 2°.
- L’angle entre la corda i l’horitzontal és de 30°.
2. Anàlisi física del sistema
Al punt A actuen exactament tres forces:
- Pes (W): \( 3500 \,\text{N} \) (cap avall)
- Tensió del cable (Tc)
- Tensió de la corda (Tr)
En equilibri: \[ \sum \vec{F} = 0 \]
MÈTODE 1: MÈTODE DE COMPONENTS
3. Descomposició de les forces
Escollim l’eix x horitzontal i l’eix y vertical.
- Pes (W): \( W_x = 0 \), \( W_y = -3500 \,\text{N} \)
- Cable (Tc): \( T_{cx} = -T_c \sin(2^\circ) \), \( T_{cy} = T_c \cos(2^\circ) \)
- Corda (Tr): \( T_{rx} = T_r \cos(30^\circ) \), \( T_{ry} = T_r \sin(30^\circ) \)
4. Equacions i Resolució
De l’equilibri horitzontal obtenim la relació: \[ T_r = \frac{T_c \sin(2^\circ)}{\cos(30^\circ)} \]
Substituint en la vertical, trobem els valors:
\[ T_c \approx 3433 \,\text{N} \]
\[ \mathbf{T_r \approx 138 \,\text{N}} \]
MÈTODE 2: TEOREMA DE LAMI
El Teorema de Lami és ideal per a tres forces concurrents en equilibri:
\[ \frac{F_1}{\sin\alpha_1} = \frac{F_2}{\sin\alpha_2} = \frac{F_3}{\sin\alpha_3} \]
5. Càlcul d’angles i resultat
- Angle entre \(T_r\) i \(W\): \( 120^\circ \)
- Angle entre \(T_c\) i \(W\): \( 178^\circ \)
- Angle entre \(T_c\) i \(T_r\): \( 118^\circ \)
Apliquem Lami directament per a la corda:
\[ T_r = 3500 \cdot \frac{\sin(178^\circ)}{\sin(118^\circ)} \]
\[ \mathbf{T_r \approx 144 \,\text{N}} \]
6. Comparació final
- Mètode de components: \( \boxed{138 \,\text{N}} \)
- Teorema de Lami: \( \boxed{144 \,\text{N}} \)
El resultat amb Lami és més fiable perquè:
- Evita projeccions innecessàries.
- Usa directament els angles entre forces.
- Redueix l’error acumulat per angles petits.
El teorema de Lami dona un valor de tensió lleugerament més gran perquè treballa directament amb els angles reals entre les forces, sense necessitat de descompondre-les en components horitzontals i verticals.
En aquest problema apareix un angle molt petit (2°). Quan s’utilitza el mètode de components, les petites aproximacions trigonomètriques —com considerar que \(\cos(2^\circ)\) és pràcticament igual a 1— introdueixen errors que tendeixen a subestimar la força de la corda. El teorema de Lami evita aquestes aproximacions, ja que relaciona les forces mitjançant els sinus dels angles entre elles, fet que fa el càlcul més robust i precís.