Grua bolcada






Estàtica de la Grua – Solució Didàctica



Problema d’Estàtica: Equilibri i Bolcada

Es considera una grua formada per una ploma articulada que pot girar un angle $\theta$ respecte l’horitzontal, amb una massa pròpia $m_G=18000 \text{kg}$ aplicada al seu centre de massa $G_1$, situat a $1\text{m}$ del pivot, i una càrrega penjada a l’extrem de la ploma de massa $m_L=2500 \text{kg}$, sotmesa totes dues a la gravetat $g=9{,}81 \text{m/s}^2$; la grua recolza sobre dos suports al terra, un posterior $A$ situat a $x_A=-2 \text{m}$ i un davanter $B$ situat a $x_B=2 \text{m}$, prenent l’origen de coordenades al pivot de la ploma, mentre que la posició horitzontal de la càrrega ve donada per $x_L=12{,}25\sin\theta$; es demana analitzar l’equilibri estàtic del sistema i determinar l’angle màxim $\theta$ que pot assolir la ploma abans que la grua comenci a bolcar, considerant que la bolcada es produeix quan la reacció normal al suport posterior és nul·la ($R_A=0$) i utilitzant l’equació d’equilibri de moments respecte del punt $B$.

Ara resolem el problema de la grua, calculant les reaccions als suports i l’angle màxim abans de bolcar.

1. Extracció de Dades i Geometria

Dades físiques:

  • Massa de la Grua: $m_G = 18.000 \, \text{kg}$ (Actua a $G_1$).
  • Massa de la Càrrega: $m_L = 2.500 \, \text{kg}$ (Penja de l’extrem).
  • Gravetat: $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$.

Dades geomètriques (Distàncies horitzontals):

Definim l’origen $x=0$ a la frontissa (pivot) de la ploma.

  • Posició del suport posterior ($A$): $x_A = -2 \, \text{m}$.
  • Posició del centre de massa ($G_1$): $x_{G1} = 1 \, \text{m}$.
  • Posició del suport davanter ($B$): $x_B = 2 \, \text{m}$ (ja que està a 1m de $G_1$).
  • Longitud total de la ploma ($L$): $6,25 + 6 = 12,25 \, \text{m}$.
  • Posició horitzontal de la càrrega: $x_L = L \cdot \sin(\theta)$.

2. Càlcul de Pesos

Primer convertim les masses a forces (Pes $W = m \cdot g$):

$$ W_G = 18.000 \cdot 9,81 = 176.580 \, \text{N} $$
$$ W_L = 2.500 \cdot 9,81 = 24.525 \, \text{N} $$

3. Equacions d’Equilibri

Perquè la grua no es mogui, necessitem que la suma de moments sigui zero. Triem el punt B (suport davanter) com a pivot per calcular moments, ja que és el punt sobre el qual la grua bascularia si bolqués.

La distància de cada força al punt $B$ (situat a $x=2$) és:

  • Distància de $A$ a $B$: $d_A = 2 – (-2) = 4 \, \text{m}$.
  • Distància de $G_1$ a $B$: $d_G = 2 – 1 = 1 \, \text{m}$.
  • Distància de la Càrrega a $B$: $d_L = (12,25 \sin\theta) – 2$.

Equació de Moments a B ($\sum M_B = 0$):

Considerem sentit anti-horari positiu ($+$):

$$ \underbrace{(W_G \cdot 1)}_{\text{Pes Grua (antihorari +)}} – \underbrace{(R_A \cdot 4)}_{\text{Reacció A (horari -)}} – \underbrace{(W_L \cdot d_L)}_{\text{Càrrega (horari -)}} = 0 $$

Substituïm $d_L$:

$$ W_G \cdot 1 – 4 R_A – W_L(12,25 \sin\theta – 2) = 0 $$

4. Resolució per a la Reacció A ($R_A$)

Aïllem $R_A$ en funció de l’angle $\theta$:

$$ 4 R_A = W_G – W_L(12,25 \sin\theta – 2) $$
$$ R_A(\theta) = \frac{176.580 – 24.525(12,25 \sin\theta – 2)}{4} $$

Simplificant l’equació:

$$ 4 R_A = 176.580 – 300.431 \sin\theta + 49.050 $$
$$ 4 R_A = 225.630 – 300.431 \sin\theta $$
$$ R_A(\theta) = 56.407,5 – 75.107,75 \sin\theta $$

5. Càlcul de l’Angle de Bolcada

La grua comença a bolcar quan la roda del darrere (A) deixa de tocar el terra. És a dir, quan la reacció normal és zero ($R_A = 0$).

$$ 0 = 225.630 – 300.431 \sin\theta $$
$$ \sin\theta = \frac{225.630}{300.431} \approx 0,75102 $$

Calculem l’angle invers:

$$ \theta = \arcsin(0,75102) $$
$$ \theta \approx 48,68^\circ $$

Resultat: La grua bolcarà si l’angle supera els $48,68^\circ$.


Altre lloc XTECBlocs