Problema d’Estàtica: Excavadora Hidràulica
Es considera una excavadora en una posició fixa, en la qual la pala aplica una força
horitzontal de $20\,\text{kN}$ contra el sòl. El mecanisme està format per dos braços
articulats accionats mitjançant cilindres hidràulics. El braç principal $OAB$ és controlat
per dos cilindres idèntics $AC$, mentre que el braç secundari $EBIF$ és controlat per un
únic cilindre $DE$. En l’anàlisi es desprecien els pesos propis dels braços davant
l’efecte de la força aplicada al sòl.
Es demana determinar la força que suporta cada cilindre hidràulic i la pressió exercida
sobre els seus pistons, sabent que el diàmetre efectiu dels pistons del cilindre $AC$ és
de $95\,\text{mm}$ i el del cilindre $DE$ és de $105\,\text{mm}$.
1. Extracció de dades i geometria
Dades físiques:
- Força aplicada al sòl: $F = 20\,000\,\text{N}$
Dades geomètriques:
- Alçada del punt d’aplicació de la força: $h = 3{,}5\,\text{m}$
- Longitud efectiva del cilindre $DE$: $2{,}1\,\text{m}$
- Angle del cilindre $DE$: $12^\circ$
- Distància del punt $E$ al pivot $O$: $1{,}4\,\text{m}$
- Longitud efectiva del cilindre $AC$: $0{,}55\,\text{m}$
- Angle del cilindre $AC$: $35^\circ$
2. Anàlisi de l’equilibri del braç inferior
Per analitzar l’equilibri del braç $EBIF$, es planteja l’equació d’equilibri de moments
respecte del punt $E$, ja que així s’eliminen les reaccions internes del mecanisme.
\sum M_E = 0
$$
El moment produït per la força aplicada al sòl és:
M_E = F \cdot h = 20\,000 \cdot 3{,}5 = 70\,000\;\text{N·m}
$$
El braç perpendicular del cilindre $DE$ respecte del punt $E$ ve donat per:
d_{DE} = 2{,}1\sin(12^\circ) \approx 0{,}44\,\text{m}
$$
Imposant l’equilibri de moments s’obté:
F_{DE}\cdot 0{,}44 = 70\,000
$$
$$
F_{DE} = 1{,}59\times10^5\,\text{N}
$$
3. Anàlisi de l’equilibri del braç principal
La força transmesa pel cilindre $DE$ genera un moment sobre el braç principal $OAB$.
Per estudiar aquest efecte, es calcula el moment respecte del punt $O$.
M_O = F_{DE}\cdot 1{,}4 = 159\,000 \cdot 1{,}4 = 222\,600\;\text{N·m}
$$
El braç perpendicular de cada cilindre $AC$ és:
d_{AC} = 0{,}55\sin(35^\circ) \approx 0{,}316\,\text{m}
$$
Com que el mecanisme disposa de dos cilindres idèntics $AC$, l’equilibri de moments
s’expressa com:
2F_{AC}\cdot 0{,}316 = 222\,600
$$
$$
F_{AC} = 3{,}52\times10^5\,\text{N}
$$
4. Càlcul de les pressions hidràuliques
La pressió sobre el pistó de cada cilindre es calcula a partir de la relació
$p = F/A$.
Cilindre $AC$:
A_{AC} = \frac{\pi(0{,}095)^2}{4} = 7{,}09\times10^{-3}\,\text{m}^2
$$
$$
p_{AC} = \frac{352\,000}{7{,}09\times10^{-3}}
= 49{,}6\;\text{MPa}
$$
Cilindre $DE$:
A_{DE} = \frac{\pi(0{,}105)^2}{4} = 8{,}65\times10^{-3}\,\text{m}^2
$$
$$
p_{DE} = \frac{159\,000}{8{,}65\times10^{-3}}
= 18{,}4\;\text{MPa}
$$
Resultat final: cada cilindre $AC$ suporta una força de $352\,\text{kN}$ amb una pressió
de $49{,}6\,\text{MPa}$, mentre que el cilindre $DE$ suporta una força de
$159\,\text{kN}$ amb una pressió de $18{,}4\,\text{MPa}$.