Crist amb anelles





Crist amb Anelles


Problema integrat d’Estàtica i Biomecànica

Crist amb Anelles

Un atleta de 60 kg de massa i 1,70 m d’estatura realitza l’exercici gimnàstic conegut com a Crist amb anelles, mantenint el cos completament immòbil amb els braços estesos horitzontalment.

Cada mà subjecta una anella, i cada anella està suspesa mitjançant un cable ideal que forma un angle constant de \(10^\circ\) amb la vertical. El sistema és perfectament simètric, de manera que les dues anelles suporten tensions iguals.

L’atleta es troba en equilibri estàtic. En una primera aproximació, el cos es pot modelitzar com uncos rígid, amb el pes total aplicat al seucentre de masses.

En una segona part del problema, s’analitza un dels braços de l’atleta de manera aïllada. El braç es modelitza com una barra rígida horitzontal articulada a l’espatlla, sobre la qual actuen:

  • la tensió transmesa per l’anella,
  • el pes propi del braç,
  • la força muscular responsable de mantenir la posició,
  • i la reacció de l’articulació de l’espatlla.

Es considera que la força muscular s’aplica a una distància petita de l’articulació i amb un angle determinat respecte al braç.

L’objectiu del problema és aplicar les lleis de l’estàtica per analitzar l’equilibri del sistema i interpretar el significat físic i biomecànic de les forces que intervenen en aquest exercici.

Part A – Estàtica global del sistema


Pas 1 · Identificació de forces

  • Pes total \(P\), vertical cap avall
  • Dues tensions iguals \(T\) als cables

Pas 2 · Equilibri vertical

\[
2T\cos10^\circ = P
\]

\[
T = \frac{588}{2\cos10^\circ}
\approx \boxed{298\ \text{N}}
\]

✔️ Cada cable suporta una tensió de 298 N.

Part B – Model biomecànic del braç

Dades del braç

  • Pes del braç: \(W = 17{,}6\ \text{N}\)
  • Longitud: \(L = 0{,}595\ \text{m}\)
  • Centre de masses: \(0{,}2975\ \text{m}\)
  • Força muscular aplicada a \(0{,}05\ \text{m}\)
  • Angle del múscul: \(15^\circ\)

Esquema de forces sobre un braç (Diagrama de cos lliure)

Es representa el braç com una barra horitzontal articulada a l’espatlla.
S’indiquen totes les forces que actuen, amb els seus angles i sentits.

Angles de les forces

  • Tensió de l’anella \(T\):
    forma un angle de 10° amb la vertical
    (o 80° amb l’horitzontal)
  • Força muscular \(F_m\):
    aplicada amb un angle de 15° respecte al braç
  • Pes del braç \(W\):
    vertical cap avall (90°)
  • Reacció a l’espatlla \(R\):
    resultant de \(R_X\) i \(R_Y\), amb direcció obliqua

Lectura física del diagrama

El diagrama mostra clarament que:

  • La força muscular té un braç de palanca molt petit
  • La tensió de l’anella genera un moment gran sobre l’espatlla
  • La reacció articular és molt elevada i inclinada

Això explica l’enorme demanda mecànica del crist amb anelles i el
risc associat a l’articulació de l’espatlla.

Pas 1 · Càlcul de la força muscular

Equilibri de moments respecte l’espatlla:

\[
F_m \sin15^\circ \cdot 0{,}05 =
T\cos10^\circ \cdot 0{,}595 + W \cdot 0{,}2975
\]

\[
F_m \approx \boxed{13\,900\ \text{N}}
\]

Pas 2 · Components de la reacció a l’espatlla

Equilibri horitzontal

\[
R_X = T\sin10^\circ – F_m\cos15^\circ
\approx -13\,400\ \text{N}
\]

Equilibri vertical

\[
R_Y = W – T\cos10^\circ – F_m\sin15^\circ
\approx -3\,870\ \text{N}
\]

Pas 3 · Mòdul i angle de la reacció

Mòdul

\[
R = \sqrt{R_X^2 + R_Y^2}
\approx \boxed{13\,950\ \text{N}}
\]

Angle respecte l’horitzontal

\[
\alpha = \tan^{-1}\!\left(\frac{|R_Y|}{|R_X|}\right)
= \tan^{-1}\!\left(\frac{3870}{13400}\right)
\approx \boxed{16^\circ}
\]

Altre lloc XTECBlocs