1. Dades i Geometria

Primer convertim la massa en pes (Força):

$$W = m \cdot g = 280 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 = 2746,8 \text{ N}$$

Geometria del cilindre hidràulic ($B-C$)

Per calcular les forces, necessitem l’angle $\theta$ que forma el cilindre amb l’horitzontal. Mirem les coordenades relatives entre els punts $C$ (base) i $B$ (unió amb el braç):

• Distància horitzontal ($dx$): La diferència entre 1,5m i 0,8m és $dx = 0,7 \text{ m}$.
• Distància vertical ($dy$): Segons el dibuix, l’altura entre cotes és $dy = 1,2 \text{ m}$.
• Longitud del cilindre ($L$):
  $$L = \sqrt{0,7^2 + 1,2^2} = \sqrt{1,93} \approx 1,3892 \text{ m}$$

Ara obtenim els factors trigonomètrics de l’angle $\theta$:

2. Càlcul de la Força del Cilindre ($F_{BC}$)

Utilitzem l’equació de moments respecte al passador $A$ ($\sum M_A = 0$). Això és ideal perquè les reaccions a $A$ no creen moment (distància zero) i podem aïllar directament la força del cilindre.

Considerem el sentit antihorari com a positiu (+).

Desglossem els moments:

• Moment del Pes ($W$):
  El pes està a una distància horitzontal total de $1,5 + 2,5 = 4,0 \text{ m}$ a l’esquerra de $A$.
  Gira en sentit antihorari (+).
  $$M_W = + 2746,8 \cdot 4,0 = +10987,2 \text{ N}\cdot\text{m}$$
• Moment de la Força Vertical del cilindre ($F_y$):
  La component vertical és $F_{BC} \sin\theta$. Actua a $1,5 \text{ m}$ a l’esquerra de $A$.
  Empeny cap amunt, fent girar el braç en sentit horari (-).
  $$M_{Fy} = – (F_{BC} \cdot 0,8638) \cdot 1,5 = -1,2957 F_{BC}$$
• Moment de la Força Horitzontal del cilindre ($F_x$):
  La component horitzontal és $F_{BC} \cos\theta$. Actua a una altura sobre $A$.
  L’altura del punt $B$ respecte a $A$ és $1,2 – 0,6 = 0,6 \text{ m}$.
  Empeny cap a l’esquerra per sobre del pivot, creant gir antihorari (+).
  $$M_{Fx} = + (F_{BC} \cdot 0,5039) \cdot 0,6 = +0,3023 F_{BC}$$

Equació final de moments:

$$10987,2 – 1,2957 F_{BC} + 0,3023 F_{BC} = 0$$
$$10987,2 – 0,9934 F_{BC} = 0$$
$$F_{BC} = \frac{10987,2}{0,9934}$$

3. Càlcul de les Reaccions a $A$

Ara fem servir els sumatoris de forces per trobar $A_x$ i $A_y$.

Sumatori de Forces Horitzontals ($\sum F_x = 0$)

Suposem la reacció $A_x$ cap a la dreta (+). El cilindre empeny cap a l’esquerra.

$$A_x – F_{BC} \cos\theta = 0$$
$$A_x = 11060 \cdot 0,5039$$

Sumatori de Forces Verticals ($\sum F_y = 0$)

Suposem la reacció $A_y$ cap amunt (+).

$$A_y + F_{BC} \sin\theta – W = 0$$
$$A_y + (11060 \cdot 0,8638) – 2746,8 = 0$$
$$A_y + 9553,6 – 2746,8 = 0$$
$$A_y = 2746,8 – 9553,6$$

Nota: El signe negatiu ens diu que la força realment va cap avall, contrari a la nostra suposició inicial.