Forces sobre la cinquena vèrtebra lumbar

Enunciat

Calculem la magnitud i la direcció de la força que actua sobre la cinquena vèrtebra lumbar utilitzant el model de la part superior del cos, tal com es mostra a la figura següent.

Solució

1. Càlcul de la força muscular \(F_M\)

Per al braç de palanca de la força muscular, considerem que la distància real on actua la força és de 48 cm, i que la distància perpendicular (braç de palanca) és:

\[
d_M = (48\,\text{cm})\cdot \sin 12^\circ.
\]

Segons la figura, els braços de palanca per als pesos es determinen multiplicant les distàncies des del punt \(S\) pel sinus de 60°. Es donen:

\[
d_C = 0.72\,\text{m},\quad d_B = 0.48\,\text{m},\quad d_T = 0.36\,\text{m}.
\]

I les fraccions del pes total \(w\) del cos són:

\[
w_C = 0.07\,w,\quad w_B = 0.12\,w,\quad w_T = 0.46\,w.
\]

La força muscular \(F_M\) tendeix a girar el tronc en sentit antihorari (positiu), mentre que els pesos generen moments negatius. L’equació de moments, prenent com a referència el punt \(S\), és:

\[
F_M\,(0.48\,\text{m}\sin 12^\circ) – (0.72\,\text{m}\sin 60^\circ)(0.07\,w) – (0.48\,\text{m}\sin 60^\circ)(0.12\,w) – (0.36\,\text{m}\sin 60^\circ)(0.46\,w) = 0.
\]

Resolent per \(F_M\):

\[
F_M = \frac{(0.72\,\text{m}\sin 60^\circ)(0.07\,w) + (0.48\,\text{m}\sin 60^\circ)(0.12\,w) + (0.36\,\text{m}\sin 60^\circ)(0.46\,w)}{0.48\,\text{m}\sin 12^\circ}.
\]

Substituïm els valors numèrics: \(\sin 60^\circ \approx 0.8660\) i \(\sin 12^\circ \approx 0.2079\).

Calculem el numerador:

Terme cap: \(0.72 \times 0.07 = 0.0504\); \(0.0504 \times 0.8660 \approx 0.0437\,w\).

Terme braços: \(0.48 \times 0.12 = 0.0576\); \(0.0576 \times 0.8660 \approx 0.0499\,w\).

Terme tronc: \(0.36 \times 0.46 = 0.1656\); \(0.1656 \times 0.8660 \approx 0.1434\,w\).

Suma del numerador: \(0.0437\,w + 0.0499\,w + 0.1434\,w = 0.2370\,w\).

Denominador:
\[
0.48\,\text{m}\sin 12^\circ \approx 0.48 \times 0.2079 \approx 0.0998.
\]

Llavors:
\[
F_M \approx \frac{0.2370\,w}{0.0998} \approx 2.37\,w.
\]

2. Càlcul de la força lumbar \(F_V\)

Per obtenir els components de la força resultant sobre la vèrtebra, considerem que, a partir de la figura, la línia d’acció té un angle de \(30^\circ – 12^\circ = 18^\circ\) amb l’horitzontal. Així, els components són:

Component horitzontal:
\[
F_{Vx} = F_M \cos 18^\circ.
\]

Component vertical:
\[
F_{Vy} = F_M \sin 18^\circ + w_C + w_B + w_T.
\]

Utilitzant \(\cos 18^\circ \approx 0.9511\) i \(\sin 18^\circ \approx 0.3090\), i notant que:
\[
w_C + w_B + w_T = 0.07\,w + 0.12\,w + 0.46\,w = 0.65\,w,
\]
obtenim:

\[
F_{Vx} \approx 2.37\,w \times 0.9511 \approx 2.25\,w,
\]
\[
F_{Vy} \approx 2.37\,w \times 0.3090 + 0.65\,w \approx 0.732\,w + 0.65\,w \approx 1.38\,w.
\]

La magnitud de \(F_V\) és:
\[
F_V = \sqrt{F_{Vx}^2 + F_{Vy}^2} \approx \sqrt{(2.25\,w)^2 + (1.38\,w)^2} \approx \sqrt{5.06\,w^2 + 1.90\,w^2} \approx \sqrt{6.96\,w^2} \approx 2.64\,w.
\]

Es pot expressar aproximadament com:
\[
F_V \approx 2.6\,w.
\]

L’angle \(\mu\) que forma \(F_V\) amb l’horitzontal es determina per:
\[
\tan \mu = \frac{F_{Vy}}{F_{Vx}} \approx \frac{1.38\,w}{2.25\,w} \approx 0.613,
\]
i per tant:
\[
\mu \approx \arctan(0.613) \approx 32^\circ.
\]

Resultats Finals

La solució completa és:

\[
F_M \approx 2.37\,w,\quad F_V \approx 2.6\,w,\quad \mu \approx 32^\circ.
\]

Interpretació i Observacions

NOTA: La força sobre la cinquena vèrtebra lumbar equival a més d’un cop el pes total del cos! Aquesta força és exercida pel sacrum a la base de la columna, a través del disc intervertebral ple de fluid i una mica flexible. Els discs a la base de la columna estan sotmesos a forces molt elevades.

Si el cos estigués menys corbat (per exemple, si l’angle de 30° de la figura es convertís en 40° o 50°), la tensió sobre l’esquena baixa seria menor.

A més, si una persona de la figura té una massa de 90 kg i sosté 20 kg addicionals (això augmenta \(w_B\) a 0.34\,w), aleshores \(F_V\) augmentaria fins a representar gairebé 3.7 vegades el pes de la persona. Per a una persona de 90 kg, la força sobre el disc seria de 333 kg! Amb tals forces tan intenses, és fàcil entendre per què moltes persones pateixen dolor d’esquena baixa en algun moment.

Finalment, es pot comprovar l’equilibri de forces:

\[
F_{Vx} – F_M \cos 18^\circ = 0,\quad F_{Vy} – F_M \sin 18^\circ – (w_C + w_B + w_T) = 0,
\]
i la reacció a la base de la columna, \(F_{BV}\), resulta aproximadament:

\[
F_{BV} \approx 2.37\,w\quad \text{(o 2.4\,w, segons el mètode de càlcul)}.
\]